Calculatrice de valeur future d’annuité

Valeur future = versement × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i × (1 + i si les versements ont lieu en début de période) (i = taux annuel ÷ versements par an ; n = années × versements par an)

Versement

Le versement périodique — la somme déposée à chaque période, la même à chaque fois, ce qui en fait une rente plutôt qu’une suite de dépôts arbitraires

Taux annuel

Le taux annuel nominal, qui est divisé par le nombre de versements par an avant toute autre opération — 7 % par an devient 0,5833… % par mois sur le cas par défaut

Années

La durée pendant laquelle les versements se poursuivent, multipliée par les versements par an pour donner le nombre de dépôts

i

Le taux par période — le taux annuel divisé par les versements par an, et le taux auquel chaque dépôt se compose réellement

n

Le nombre de versements, qui est aussi le nombre de périodes de capitalisation

Servez-vous-en pour savoir ce que vaudra un plan d’épargne régulière, et en particulier pour voir le partage entre ce que vous avez versé et ce que la croissance a ajouté — ce partage est la seule manière honnête de regarder un plan de long terme, parce qu’il vous dit quelle part du résultat dépend du taux plutôt que de vous. C’est aussi le bon outil pour la question inverse, ce qu’une suite de retraits laissera derrière elle, en changeant le signe du versement, et pour comparer deux plans qui ne diffèrent que par le calendrier : verser sur un compte le premier du mois plutôt que le dernier vaut 1 519,37 sur vingt ans avec les chiffres par défaut, ce qui n’est pas rien et ne coûte rien. Deux points à vérifier avant de faire confiance à la réponse. Le taux est un taux annuel nominal que la page répartit uniformément sur l’année : il rapporte donc exactement le taux annoncé sur douze mois de capitalisation mensuelle, mais pas sur douze mois d’une autre fréquence — et c’est une constante, si bien qu’un plan qui augmente ses versements au fil du temps n’est pas ce calcul. Et le réglage du moment n’est pas cosmétique : l’écart entre une rente de fin de période et une rente de début de période est une période entière d’intérêts sur chaque versement, ce qui se compose en plus d’un demi-point de pourcentage du solde final sur vingt ans.

1. 500 par mois pendant 20 ans à 7 %, versés en fin de mois

   1. Le taux par période : 7 % ÷ 12 = 0,5833… % par mois
   2. Le nombre de versements : 20 × 12 = 240
   3. Total versé : 500 × 240 = 120 000
   4. Valeur future : 500 × [(1,005833…)²⁴⁰ − 1] ÷ 0,005833… = 260 463,33
   5. Intérêts : 260 463,33 − 120 000 = 140 463,33

   Les intérêts dépassent les versements, et ce croisement est tout l’intérêt d’un plan de long terme : 140 463,33 du solde final est de l’argent que le compte a produit plutôt que de l’argent que vous avez versé. Notez aussi que le premier dépôt produit des intérêts pendant 240 périodes et le dernier pendant une seule, ce qui explique que la valeur future ne soit pas simplement les versements capitalisés à 7 % pendant vingt ans. Verser les mêmes 500 en début de mois plutôt qu’en fin de mois — l’exemple suivant — ajoute une période d’intérêt à chacun de ces 240 versements.

2. Le même plan en rente de début de période — 261 982,70

   1. Tout est identique, sinon que chaque versement de 500 part en début de mois au lieu de la fin
   2. Chacun des 240 versements produit donc un mois d’intérêt supplémentaire
   3. C’est la réponse de la rente de fin de période multipliée par (1 + 0,005833…) : 260 463,33 × 1,005833… = 261 982,70
   4. Les intérêts montent à 261 982,70 − 120 000 = 141 982,70

   L’écart de 1 519,37 est un mois d’intérêt sur la totalité du solde, et il vaut la peine d’être pris : il ne coûte que le calendrier du virement. Le même écart apparaît dans tous les plans, et il est proportionnellement plus grand quand le taux est plus élevé et la durée plus longue — c’est pour cela que ce réglage figure sur la page au lieu d’être enfoui dans les hypothèses.

3. 5 000 par mois pendant 10 ans à moins 5 % — le compte diminue

   1. Le taux par période : moins 5 % ÷ 12 = moins 0,4166… % par mois
   2. Le nombre de versements : 10 × 12 = 120, soit 600 000 versés
   3. Valeur future : 5 000 × [(0,995833…)¹²⁰ − 1] ÷ (−0,004166…) = 472 923,09
   4. Intérêts : 472 923,09 − 600 000 = moins 127 076,91

   C’est la même formule, et elle traite un taux négatif sans cas particulier, ce qui est précisément l’intérêt de le montrer : 600 000 versés en dix ans finissent à 472 923,09, le compte vaut donc 127 076,91 de moins que les dépôts. L’ordre des versements compte ici plus qu’ailleurs : les premiers dépôts perdent le plus, parce qu’ils ont le plus longtemps pour baisser.

Le taux est une constante unique pour toute la durée, et c’est l’hypothèse qui a le plus de chances d’être fausse sur un long horizon : un plan de vingt ans n’a pas un taux de vingt ans, et donner un taux moyen à cette calculatrice produit un chiffre qu’aucune suite réelle de rendements n’aurait produit, parce qu’une mauvaise année au début coûte plus qu’une mauvaise année à la fin. C’est un taux annuel nominal réparti uniformément sur l’année, donc avec des versements mensuels il se compose mensuellement, et le même taux annuel annoncé avec une autre fréquence de capitalisation donnerait une autre réponse — cette page ne convertit pas de l’un à l’autre. Les versements sont égaux et régulièrement espacés, si bien qu’un plan qui augmente sa cotisation avec l’inflation, saute une année ou ajoute une somme au départ lui échappe. Elle ignore entièrement la fiscalité : les versements sur un compte fiscalement avantagé, l’impôt sur la croissance et l’écart entre versements avant et après impôt changent tous ce que le solde vaut pour vous, et aucun n’apparaît. Elle ignore les frais, qui se composent contre vous exactement comme le rendement se compose pour vous, et elle ignore l’inflation, si bien que le chiffre final est exprimé dans la monnaie des versements et non en pouvoir d’achat d’aujourd’hui — 260 463,33 dans vingt ans, ce n’est pas 260 463,33 aujourd’hui. Elle suppose que le compte ne subit jamais de retrait, de pénalité de retrait anticipé ni de distribution minimale obligatoire. Enfin, elle traite toutes les périodes comme complètes : elle ne sait pas gérer un premier versement qui tombe au milieu d’une année ni une durée qui se termine entre deux versements, et elle ne modélise pas le calendrier réel, si bien que les intérêts crédités sur un vrai compte différeront légèrement de ce calcul à une date donnée.

Qu’est-ce que la valeur future d’une rente ?

C’est ce que vaudra à la fin de la durée une suite de versements égaux effectués à intervalles fixes, chaque versement ayant produit des intérêts pendant tout le temps où il est resté sur le compte. Sur le cas par défaut, 500 par mois pendant vingt ans à 7 % donnent 260 463,33, dont 120 000 de versements et 140 463,33 d’intérêts. Les versements doivent être égaux et régulièrement espacés — une suite de dépôts irréguliers est un autre calcul.

Comment calcule-t-on la valeur future d’une rente à la main ?

Divisez le taux annuel par le nombre de versements par an pour obtenir le taux par période, multipliez les années par les versements par an pour obtenir le nombre de versements, puis appliquez versement × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i. Avec les chiffres par défaut : i vaut 7 % ÷ 12 = 0,5833… % et n vaut 240, donc 500 × [(1,005833…)²⁴⁰ − 1] ÷ 0,005833… = 260 463,33. Si les versements tombent en début de période plutôt qu’en fin, multipliez le résultat par (1 + i) et vous avez la rente de début de période.

Quelle différence entre une rente de fin de période et une rente de début de période ?

Le moment où le versement tombe dans la période. Une rente de fin de période se verse à la fin, une rente de début de période au commencement, et un versement en début de période produit une période d’intérêt supplémentaire sur chacun des dépôts. Sur le plan par défaut, c’est l’écart entre 260 463,33 et 261 982,70 — soit 1 519,37, exactement un mois d’intérêt sur la totalité du solde. Un loyer et la plupart des échéances de crédit sont des rentes de fin de période ; un virement que vous faites le premier du mois sur votre propre compte est une rente de début de période, et choisir ce calendrier est de l’argent gratuit.

La fréquence des versements change-t-elle quelque chose ?

Oui, et de deux façons à la fois. Le taux annuel est divisé par le nombre de versements par an, donc verser tous les mois compose tous les mois et rapporte un peu plus au même taux annuel que verser une fois par an. Et la fréquence change le total que vous déposez si vous gardez la taille du versement fixe plutôt que la somme annuelle. À 1 000 par versement pendant dix ans à 5 % : des versements annuels donnent 12 577,89 pour 10 000 versés, et des versements semestriels donnent 25 544,66 pour 20 000 versés — le second est plus gros parce que deux fois plus d’argent est entré, non parce que le taux s’est comporté autrement.

La valeur future peut-elle être inférieure à ce que j’ai versé ?

Oui, chaque fois que le taux est négatif, et la calculatrice le traite sans cas particulier. 5 000 par mois pendant dix ans à moins 5 % représentent 600 000 de versements aboutissant à 472 923,09, le compte vaut donc 127 076,91 de moins que ce que vous y avez mis. L’ordre des versements compte dans ce cas : les premiers dépôts ont le plus longtemps pour baisser et perdent le plus, si bien que le même total versé sur la même durée donne un résultat d’autant plus mauvais qu’il est entré tôt.

Quel taux retenir pour la valeur future d’une rente ?

Celui que vous pouvez réellement espérer gagner, maintenu constant sur toute la durée — et il vaut la peine d’être prudent, parce que le chiffre y est très sensible et que cette sensibilité grandit avec la durée. Prenez un taux annuel nominal et laissez la calculatrice le diviser par la fréquence des versements ; ne le convertissez pas vous-même. Si vous comparez à un objectif corrigé de l’inflation, rappelez-vous que la réponse est exprimée dans la monnaie des versements et non en pouvoir d’achat d’aujourd’hui : un taux nominal qui paraît confortable peut être un rendement réel très mince.

Pourquoi les intérêts dépassent-ils mes versements ?

À cause du temps que chaque versement passe sur le compte. Chaque dépôt produit des intérêts pendant un nombre de périodes différent — le premier pendant les 240 périodes du plan par défaut et le dernier pendant une seule — si bien que le compte n’est pas simplement vos versements portant des intérêts composés à 7 % pendant vingt ans. Quand la durée est assez longue et le taux assez élevé, le total des intérêts dépasse le total des versements, et c’est le cas sur le cas par défaut : 140 463,33 d’intérêts contre 120 000 versés. Ce croisement est fonction du temps plus que du taux, ce qui explique que commencer tôt compte plus que verser davantage.

• Appendix J to Part 1026 — Annual Percentage Rate Computations : la convention du versement en fin de période employée ici pour la rente ordinaire — Réglementation du Bureau de protection financière des consommateurs, via le Code électronique des règlements fédéraux (États-Unis)
• Annuities — glossaire Investor.gov (une suite de versements à intervalles fixes, et le contrat construit sur elle) — Commission des opérations de bourse des États-Unis, Investor.gov (États-Unis)
• Compound Interest Calculator — l’outil de la SEC pour une somme unique, utile comme contrepoint d’une suite de versements — Commission des opérations de bourse des États-Unis, Investor.gov (États-Unis)