Calculatrice de valeur d’annuité

Valeur actuelle = versement × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i si les versements sont en début de période) (i = taux annuel ÷ versements par an ; n = années × versements par an)

Paiement

Le versement périodique — chaque montant égal de la suite, qu’il s’agisse d’argent que vous allez recevoir ou d’argent que vous allez verser

Taux annuel

Le taux annuel nominal utilisé comme taux d’actualisation, divisé par le nombre de versements annuels avant d’être appliqué — 7 % par an deviennent 0,5833… % par mois sur le cas par défaut

Années

La durée pendant laquelle les versements se poursuivent, multipliée par le nombre de versements annuels pour donner le nombre de versements actualisés

i

Le taux d’actualisation par période — ce par quoi chaque versement est divisé, une fois pour chaque période qui le sépare d’aujourd’hui

n

Le nombre de versements, qui est aussi le nombre de fois que l’actualisation se compose

À utiliser dès qu’une suite de versements égaux existe et qu’il faut savoir ce qu’elle vaut maintenant et non à la fin. Les cas les plus clairs sont ceux où quelqu’un propose d’acheter ou de vendre une telle suite : rachat de retraite, règlement judiciaire échelonné, contrat de rente, crédit-bail à loyers constants, ou les coupons d’une obligation. C’est aussi la bonne page pour l’envers de l’épargne — si vous retirez un montant fixe d’un capital chaque mois, elle vous dit quelle taille ce capital doit avoir aujourd’hui pour tenir, ce qui est le même calcul avec les versements dans l’autre sens. Deux points à soigner. Le taux d’actualisation est le rendement que vous pourriez obtenir sur cet argent autrement, donc c’est un jugement et la réponse bouge avec lui — actualiser à un taux plus élevé rend toute suite future moins précieuse aujourd’hui. Et le réglage de l’échéance n’est pas un détail : le fait que chaque versement tombe en début ou en fin de période vaut une période entière d’intérêts sur toute la suite, soit 376,20 sur le cas par défaut.

1. 500 par mois pendant 20 ans à 7 %, versés en fin de mois

   1. Le taux par période : 7 % ÷ 12 = 0,5833… % par mois
   2. Le nombre de versements : 20 × 12 = 240
   3. Le coefficient de la rente : [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…
   4. Valeur actuelle : 500 × 128,98250649… = 64 491,25
   5. Total des versements 500 × 240 = 120 000, donc l’actualisation vaut 120 000 − 64 491,25 = 55 508,75

   C’est l’image inversée de la page de la valeur acquise, qui reçoit les cinq mêmes entrées et obtient 260 463,33. Les deux réponses sont le même calcul dans deux sens opposés, et elles se réconcilient exactement : 64 491,2532… placés à 0,5833… % par mois pendant 240 mois donnent 260 463,3299…. Une chose à savoir pour ne pas chercher de raccourci : multiplier le coefficient imprimé 128,98251 par 500 donne 64 491,255, qui s’arrondit à 64 491,26 et non au 64 491,25 correct — le coefficient à cinq décimales est fait pour être lu, pas pour être multiplié.

2. La même suite en rente de début de période — 64 867,45

   1. Tout est identique, sauf que chaque 500 arrive en début de mois au lieu de la fin
   2. Chaque versement est donc plus proche d’aujourd’hui d’une période et n’est actualisé qu’une fois de moins
   3. C’est la réponse de la rente de fin de période multipliée par (1 + 0,005833…) : 64 491,25 × 1,005833… = 64 867,45
   4. L’actualisation tombe à 120 000 − 64 867,45 = 55 132,55

   376,20 de plus que le cas de fin de période pour les mêmes 120 000 de versements, soit exactement un mois d’intérêts sur toute la suite. Être payé plus tôt vaut ce montant, et cela vaut d’autant plus que le taux est élevé et la durée longue — c’est pourquoi le réglage figure sur la page au lieu d’être enfoui dans les hypothèses.

3. 500 par mois pendant 20 ans à −5 % — l’actualisation devient une prime

   1. Le taux par période : −5 % ÷ 12 = −0,4166… % par mois
   2. Le coefficient de la rente dépasse alors le nombre de périodes : il vaut 413,752…
   3. Valeur actuelle : 500 × 413,752… = 206 876
   4. L’actualisation vaut 120 000 − 206 876 = −86 876, un nombre négatif

   Un taux négatif signifie que le même argent vaut plus tard que maintenant : la suite vaut donc plus que le total de ses versements et la troisième cellule passe en négatif. C’est l’arithmétique qui reste cohérente, pas une sortie cassée — le chiffre négatif est la prime que vous paieriez aujourd’hui pour recevoir 120 000 étalés sur vingt ans dans un monde où l’argent perd de la valeur. Les taux réels négatifs sont rares mais pas inédits, et voici ce qu’ils font à une suite de versements.

Le taux d’actualisation est une constante unique pour toute la durée, et c’est l’entrée à laquelle la réponse est la plus sensible, ce qui est fâcheux puisque c’est aussi la seule que personne ne peut mesurer à l’avance. C’est un taux nominal sans correction de l’inflation : la réponse est donc exprimée dans la monnaie des versements et non en pouvoir d’achat d’aujourd’hui — sur vingt ans, l’écart est considérable. Les versements sont égaux et régulièrement espacés, si bien qu’une suite indexée sur l’inflation, qui progresse par paliers ou qui saute une période sort de cette page ; une suite croissante demande une autre formule, pas une autre entrée. Elle suppose que la suite sera payée intégralement et à échéance. Les rentes et les règlements réels portent le risque de crédit de celui qui les doit, et une retraite dépend d’un organisme qui sera peut-être encore là dans vingt ans ou peut-être pas — actualiser une suite risquée au taux d’un emprunt d’État surestime ce qu’elle vaut, et c’est précisément pourquoi une offre de rachat se situe en général au-dessus de la valeur actuelle sans risque. La fiscalité est ignorée, alors que le traitement fiscal d’une rente ou d’un règlement peut différer de celui du placement sous-jacent. Les frais et les coûts de gestion du montage sont ignorés eux aussi. Lorsque la suite est un prêt que vous remboursez plutôt qu’un revenu que vous percevez, le même nombre est le montant que vous pourriez emprunter contre elle, et non ce que vous paierez réellement. Enfin, le cas du taux négatif est arithmétiquement juste mais assez inhabituel pour être énoncé sans détour : de l’argent qui perd 5 % par an pendant vingt ans n’est un scénario sur lequel personne ne devrait bâtir un plan, et le résultat est là pour montrer ce que fait la formule, non pour modéliser une prévision.

Qu’est-ce que la valeur actuelle d’une rente ?

C’est ce que vaut aujourd’hui une suite de versements égaux, après actualisation de chacun depuis sa date d’arrivée. Les versements ne valent pas leur total, parce que l’argent qui arrive dans vingt ans achète moins que celui qui arrive le mois prochain. Sur le cas par défaut, 500 par mois pendant vingt ans totalisent 120 000 mais valent 64 491,25 aujourd’hui à 7 % — donc 55 508,75 de la valeur nominale sont l’actualisation, et non un frais que quelqu’un prélève : c’est simplement l’effet du temps.

Comment calculer la valeur actuelle d’une rente ?

Divisez le taux annuel par le nombre de versements annuels pour obtenir le taux par période, multipliez les années par le nombre de versements annuels pour obtenir le nombre de versements, puis appliquez versement × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i. Sur les chiffres par défaut, i vaut 0,5833… % et n vaut 240, donc le coefficient est 128,98250649… et 500 × ce coefficient donne 64 491,25. Si les versements tombent en début de chaque période plutôt qu’en fin, multipliez encore par (1 + i) et vous avez la rente de début de période.

Quelle différence entre une rente de fin de période et une rente de début de période ?

L’endroit où chaque versement tombe à l’intérieur de sa période. La rente de fin de période paie à la fin, celle de début de période paie au début, et un versement du début est plus proche d’aujourd’hui d’une période : il est donc actualisé une fois de moins. Sur la suite par défaut, l’écart est de 64 491,25 à 64 867,45, soit 376,20, c’est-à-dire un mois d’intérêts sur toute la suite. Un loyer et la plupart des échéances de prêt relèvent de la fin de période ; un bail payé d’avance ou une prime d’assurance versée en début d’année relèvent du début de période.

Quel taux d’actualisation retenir ?

Le taux que vous pourriez gagner sur cet argent si vous ne l’engagiez pas, puisque c’est ce que vous coûte le fait d’être payé plus tard — le même taux d’actualisation qu’ailleurs. C’est un jugement et non une mesure, et la réponse y est très sensible : un taux plus élevé rend toute suite future moins précieuse aujourd’hui. Il devrait refléter le risque autant que le temps, car actualiser au taux d’un emprunt d’État une suite qui pourrait ne pas être payée surestime ce qu’elle vaut.

La valeur actuelle peut-elle dépasser le total des versements ?

Oui, dès que le taux est négatif. À −5 %, les mêmes 500 par mois pendant vingt ans valent 206 876 contre 120 000 de versements, et la cellule d’actualisation affiche −86 876 : une prime plutôt qu’une actualisation. C’est la formule qui fonctionne correctement sur un taux où l’argent vaut plus tard que maintenant, et non une sortie défaillante. Les taux négatifs sont rares, et un −5 % constant pendant vingt ans n’est pas une prévision, mais le cas est conservé parce qu’une formule qui le traiterait à part dissimulerait une hypothèse.

La fréquence des versements change-t-elle quelque chose ?

Elle change deux choses à la fois. Le taux annuel est divisé par le nombre de versements annuels, donc payer mensuellement actualise à un taux par période différent de payer annuellement, et le nombre de versements actualisés change en même temps. À 1 000 par an pendant dix ans à 6 %, la valeur actuelle est de 7 360,09 ; le même total annuel versé en deux fois 500 vaut un peu plus, parce que chaque moitié arrive plus tôt et est moins actualisée. Si vous gardez la taille du versement fixe au lieu du total annuel, l’écart est bien plus grand, puisque vous comparez alors des montants d’argent différents.

Est-ce la même chose que la valeur acquise d’une rente ?

C’est le même calcul dirigé dans l’autre sens. Les deux utilisent un coefficient de rente identique ; cette page le multiplie par le versement pour obtenir ce que la suite vaut aujourd’hui, et la page de la valeur acquise le multiplie par un facteur de croissance pour obtenir ce que le compte contient à la fin. Sur les entrées par défaut, les deux réponses se réconcilient exactement : 64 491,2532 placés à 0,5833… % par mois pendant 240 mois donnent 260 463,33. Servez-vous de cette page pour évaluer une suite qui existe déjà, et de l’autre pour projeter celle que vous allez alimenter.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the United States government's own published annuity factor table, the official present-value-of-an-annuity figures used for valuing annuities in estates — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one), the definition this page discounts — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate each payment in the stream is discounted at — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)