Calculatrice de norme d’accélération

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

La composante x de l’accélération, en mètres par seconde au carré, avec les ft/s² et les gravités standard dans le même champ. Le signe est une direction et non une longueur, donc une valeur négative est une entrée parfaitement ordinaire et signifie que l’accélération pointe dans l’autre sens le long de cet axe. Ne la laissez vide que sur la ligne z ; x et y sont ce dont la page a besoin

a_y

La composante y, dans les mêmes unités et sous la même règle sur les signes. Elle entre dans la formule au carré, exactement comme les deux autres, donc rien dans l’ordre des axes n’a d’importance — faire tourner toute la figure autour de l’axe z change les trois composantes mais ne peut pas changer la norme. C’est la propriété qui fait de cette grandeur une norme de vecteur et non une combinaison arbitraire

a_z

La composante z, et elle est facultative : laissez-la vide et la page traite le problème comme bidimensionnel, ce qui revient à saisir 0. Elle existe parce que les accélérations réelles ne sont pas toujours plates — une voiture dans un virage relevé, une balle qui quitte une main, tout ce que mesure un accéléromètre à trois axes a ses trois composantes. La valeur par défaut de 0 garde le premier écran sur un problème plan

|a|

La norme, en m/s² et en gravités standard. C’est la longueur du vecteur accélération et elle ne peut jamais être négative, parce que la mise au carré supprime tout signe avant la moindre addition. La seconde ligne est le même nombre divisé par 9,80665, la gravité standard — c’est une seconde façon d’écrire un seul résultat et non un second résultat, et elle existe parce que 30 m/s² dit moins à la plupart des lecteurs que 3 g

Prenez cette page quand vous avez une accélération décomposée en composantes et que vous voulez sa longueur : la sortie à trois axes d’un accéléromètre, une voiture dans un virage relevé où l’accélération a une part latérale et une part verticale, un projectile à un instant où il n’est ni au sommet ni au point bas, ou une liste de composantes issue d’une simulation qu’il faut confronter à une mesure unique. C’est aussi la page à ouvrir quand la question est de savoir si une accélération est grande — la seconde ligne la convertit en g, et le g est l’unité qui rend 30 m/s² comparable au 1 g de l’immobilité. Deux points à garder en tête. D’abord, les composantes doivent être perpendiculaires entre elles et exprimées dans la même unité ; c’est une norme de vecteur et non une façon de combiner trois accélérations qui se trouvent être listées ensemble. Ensuite, la page ne vous dira pas dans quel sens pointe l’accélération, et si vous en avez besoin, deux composantes suffisent pour un plan et l’angle est l’arctangente de celles-ci — mais une direction tridimensionnelle demande deux angles, et il n’y a pas de nombre unique à afficher. La page qui fait la même chose à un vecteur vitesse est distincte, puisque l’opération est identique et que seule la grandeur diffère.

1. Les valeurs par défaut : 3, 4 et 0 — un triangle 3-4-5

   1. Carrés : 3² = 9, 4² = 16, 0² = 0
   2. On additionne : 9 + 16 + 0 = 25
   3. Racine carrée : √25 = 5
   4. La norme vaut donc exactement 5 m/s², et z n’apporte rien puisqu’il est nul
   5. En gravités standard : 5 ÷ 9,80665 = 0,510, affiché 0,51 g

   Chaque étape d’ici se fait de tête, et c’est la raison d’être de ces valeurs par défaut : 9 plus 16 font 25 et la racine carrée de 25 est 5, sans calculatrice et sans arrondi. Remarquez ce qui ne s’est pas produit — les trois composantes n’ont pas été additionnées pour donner 7. C’est l’erreur la plus fréquente sur cette page, et il vaut la peine de voir pourquoi c’est une erreur et non une autre convention : une composante qui pointe suivant y n’ajoute rien à la longueur suivant x, donc les deux doivent être combinées à angle droit, ce que font précisément la mise au carré et la racine.

2. Un vrai cas 3D : 1, 2 et 2

   1. Carrés : 1² = 1, 2² = 4, 2² = 4
   2. On additionne : 1 + 4 + 4 = 9
   3. Racine carrée : √9 = 3
   4. Norme 3 m/s², les trois composantes contribuant toutes
   5. En gravités standard : 3 ÷ 9,80665 = 0,306 g

   La composante z est ce qui distingue cette ligne de la première, et c’est la ligne qui attrape une implémentation qui l’ignorerait en silence : en laissant z de côté on obtiendrait √5 = 2,236, soit 25 pour cent de trop peu, et cela paraît parfaitement plausible à l’écran. C’est aussi le plus petit des triplets entiers qui réclament les trois axes : 1-2-2 donne 9 et se ramène à 3, et la même famille continue avec 2-3-6 qui donne 7 et 3-4-12 qui donne 13. La famille n’est pas une courte liste pour autant — 1-4-8 donne 9 et 6-10-15 donne 19, tous deux dans la même plage — donc ce qu’il vaut la peine de retenir est la forme plutôt que les membres : multiplier l’un d’eux par un entier en donne un autre, puisque 1-2-2 doublé fait 2-4-4 et que sa norme double avec lui. Une habitude utile est de confronter toute réponse à la plus grande composante : la norme ne peut jamais être inférieure à la plus grande des trois, et ici 3 contre une plus grande composante de 2 est confortable.

3. Signes mêlés : 3, −4 et 12

   1. Carrés : 3² = 9, (−4)² = 16, 12² = 144 — le signe moins disparaît ici
   2. On additionne : 9 + 16 = 25, puis 25 + 144 = 169
   3. Racine carrée : √169 = 13
   4. Norme 13 m/s², la même que pour 3, 4 et 12
   5. En gravités standard : 13 ÷ 9,80665 = 1,326 g

   La composante négative est l’intérêt de cette ligne, et l’ordre des additions aussi : 9 plus 16 font 25, et 25 plus 144 font 169, qui est 13 au carré. Faire le calcul en deux temps plutôt qu’en un seul est exactement ce que dit la formule — combinez les deux premières composantes par le théorème de Pythagore, puis combinez ce résultat avec la troisième à angle droit avec les deux. La disparition du signe n’est pas un cas particulier traité quelque part dans le code ; la mise au carré l’élimine automatiquement, et c’est pourquoi cette page accepte du tout des entrées négatives et pourquoi elle ne peut jamais renvoyer une réponse négative.

La norme n’est qu’une partie du vecteur, et perdre la direction fait perdre une vraie information : un objet accéléré à 1 g vers le haut et un objet accéléré à 1 g latéralement ont le même nombre ici et des comportements entièrement différents, et une voiture qui négocie un virage à 1 g n’est pas dans la même situation qu’une voiture qui freine à 1 g. Rien sur cette page ne dit lequel. La formule exige aussi que les trois composantes soient perpendiculaires, mesurées dans la même unité et au même instant — des composantes issues de deux repères différents, ou échantillonnées à deux instants différents, se combineront en un nombre qui a l’air correct et ne veut rien dire. La page n’est d’ailleurs pas propre à l’accélération : elle combinera volontiers trois composantes de vitesse, et cette réponse serait elle aussi correcte, ce qui vaut la peine d’être su parce que l’arithmétique ne vérifie donc pas que vous avez saisi la bonne grandeur. La ligne en g est une conversion et non un seuil, donc elle ne porte aucun jugement sur le caractère supportable ou confortable d’une valeur ; ces limites appartiennent à la situation et à la durée, pas au nombre. Et le fait que le champ z soit facultatif signifie qu’un problème bidimensionnel et un problème tridimensionnel réellement plat sont indiscernables à l’écran, ce qui est sans conséquence ici mais mérite d’être retenu si vous recopiez des entrées dans un rapport.

Quelle est la formule de la norme d’une accélération ?

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²) : mettez chaque composante au carré, additionnez les carrés et prenez la racine carrée. Pour un cas 2D de composantes 3 et 4, cela fait √(9 + 16) = √25 = 5 m/s². C’est le théorème de Pythagore appliqué deux fois, parce que les trois axes sont perpendiculaires entre eux — la norme est la longueur de la diagonale de la boîte que les composantes engendrent. Le résultat n’est jamais négatif, puisque la mise au carré supprime le signe de chaque composante avant que l’addition ait lieu.

Pourquoi ne pas simplement additionner les composantes ?

Parce qu’elles pointent dans des directions différentes. Une composante suivant y n’ajoute rien à la distance que l’accélération parcourt suivant x, et les additionner traite deux grandeurs perpendiculaires comme si elles étaient alignées. Avec les composantes 3 et 4, la somme vaut 7 alors que la norme vraie vaut 5, et l’erreur n’est pas petite — elle est de 40 pour cent ici et elle grandit à mesure que les composantes deviennent plus inégales. Le seul cas où additionner est correct est celui où toutes les composantes sauf une sont nulles, ce qui n’est pas vraiment un cas : cela veut dire que l’accélération est déjà portée par un seul axe.

Pourquoi la page ne donne-t-elle pas la direction de l’accélération ?

Parce qu’une direction dans l’espace demande deux angles et que cette page ne peut imprimer qu’un nombre. L’angle qui fonctionne dans un plan est l’arctangente des composantes y et x, mais il se mesure comme une projection et devient indéfini quand l’accélération pointe exactement le long de l’axe z — il n’y a pas de direction dans le plan xy à rapporter, de la même façon qu’il n’y a pas de longitude au pôle Nord. Le raccourci évident consistant à laisser ce cas renvoyer zéro imprimerait une direction de 0 degré, qui se lit comme « le long de l’axe x » et serait franchement fausse. L’autre solution, refuser de répondre, transformerait une question parfaitement raisonnable sur une accélération verticale en message d’erreur. La page ne rapporte donc que la longueur ; si vous avez besoin d’une direction pour un problème plan, c’est l’arctangente des deux composantes qu’il faut calculer.

Les composantes peuvent-elles être négatives ?

Oui, et sur cette page elles le sont souvent, parce qu’une composante négative signifie que l’accélération pointe dans l’autre sens le long de cet axe et non qu’elle est plus petite. La mise au carré supprime le signe, donc 3, −4, 12 donnent les mêmes 13 m/s² que 3, 4, 12 — la norme d’un vecteur ne se soucie pas du sens dans lequel il pointe. C’est aussi pourquoi la réponse n’est jamais négative, et pourquoi un résultat exactement nul est une vraie réponse et non une erreur : cela signifie que l’objet n’accélère pas du tout, ce qui décrit complètement un mouvement uniforme.

Faut-il remplir la composante z ?

Non. La laisser vide est traité comme zéro et le problème devient bidimensionnel, ce qui convient à tout ce qui se passe dans un plan — une voiture sur une route plate, un palet sur une table, un projectile dans l’idéalisation habituelle. Remplissez-la quand l’accélération a réellement une troisième composante : une voiture dans un virage relevé, une balle lancée en biais, ou la sortie brute d’un accéléromètre à trois axes, qui comporte toujours trois nombres que le troisième compte ou non. La valeur par défaut est 0, donc la page s’ouvre sur un problème plan et vous pouvez ajouter le troisième axe quand vous en avez besoin.

À quoi sert la ligne en g ?

C’est la même norme divisée par 9,80665 m/s², la valeur définie de la gravité standard, de sorte qu’une accélération puisse s’énoncer comme un multiple de g. Cette ligne existe parce que le g est l’unité dont les gens ont réellement l’intuition : 30 m/s² ne dit pas grand-chose en soi, tandis que 3 g est immédiatement reconnaissable comme des montagnes russes, et 0,1 g se lit comme un ascenseur qui démarre. C’est aussi la ligne qui se transforme en force : une accélération de n g signifie que ce qui vous retient doit pousser avec n fois votre poids, ce qui explique que 10 g soit une limite pour une personne et non une curiosité. Il reste que c’est une seconde façon d’écrire un seul résultat et non un second résultat, et qu’elle ne porte aucun jugement sur le caractère grand d’une valeur — 0,1 g et 30 g sont l’un et l’autre ordinaires dans leur contexte, et ce qui rend une accélération tolérable est autant sa durée que sa grandeur.

• Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (College Physics 2e, §3.3) — resolving a vector into perpendicular components and recombining them with the Pythagorean theorem — OpenStax
• Euclidean vector — magnitude as the norm of a vector, the sign of a component as direction rather than size, and why a direction in three dimensions needs two angles — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — the ACCELERATION section, and standard gravity as the defined 9.806 65 m/s² — National Institute of Standards and Technology