Calculatrice d’accélération angulaire

accélération angulaire = ( vitesse angulaire finale − vitesse angulaire initiale ) ÷ durée nombre de tours = vitesse angulaire moyenne × durée

ωi

Vitesse angulaire initiale, en tours par minute par défaut — le champ accepte aussi les rad/s, les °/s et les tr/s. Laissez 0 pour tout ce qui part du repos

ωf

Vitesse angulaire finale, dans les mêmes unités. Une valeur inférieure à la valeur initiale est acceptée et a un sens : le résultat sort négatif, ce qui est une décélération

t

Durée sur laquelle le changement se produit, en secondes — le champ accepte aussi les minutes. Elle doit être supérieure à zéro, et la page suppose que le changement est réparti uniformément sur cette durée

α

Accélération angulaire — en rad/s² pour le résultat principal, et aussi en tr/min par seconde et en °/s². Le signe suit la variation de vitesse : un α négatif signifie que la rotation ralentit

N

Tours effectués pendant le changement, à partir de la vitesse angulaire moyenne multipliée par la durée — le nombre qui dit si une machine a la place d’exécuter la rampe

Prenez cette page quand quelque chose tourne et que vous devez savoir à quelle force il est poussé — un moteur qui entraîne une charge, un frein qui arrête un volant, une rampe de centrifugeuse, un disque dur qui monte en régime, une roue que l’on accélère. C’est la version angulaire de la page de l’accélération linéaire, et la même intuition s’y transpose : pour une variation de vitesse donnée, plus la durée est courte, plus l’accélération est grande et plus le couple nécessaire pour la produire est important. Deux habitudes rendent les réponses plus utiles. D’abord, lisez le nombre de tours avec autant de soin que l’accélération, parce que c’est la contrainte qui décide le plus souvent de la conception : une rampe qui prend 125 tours exige un carter avec 125 tours de dégagement, et un frein qui arrête un arbre en une seconde doit absorber toute l’énergie pendant cette seconde. Ensuite, surveillez le signe, sans y lire plus qu’il n’en dit — un α négatif dit que la rotation ralentit, et non qu’elle repart en arrière, et la page ne sait pas distinguer un arrêt commandé d’une défaillance. Enfin, rappelez-vous que la conversion entre les unités ne change jamais la physique : elle ne change que la ligne que vous lisez.

1. Un tambour de machine à laver, du repos à 1 200 tr/min en 8 secondes

   1. Variation de vitesse angulaire : 1 200 − 0 = 1 200 tr/min
   2. En tours par minute par seconde : 1 200 ÷ 8 = 150 tr/min par seconde
   3. En rad/s² : 1 200 tr/min = 125,664 rad/s, et 125,664 ÷ 8 = 15,708 rad/s²
   4. En °/s² : 15,708 × 57,2958 = 900
   5. Vitesse angulaire moyenne : 600 tr/min = 10 tr/s
   6. Tours pendant la montée en régime : 10 × 8 = 80

   C’est le cas de tous les jours, et le nombre utile est le dernier. Quatre-vingts tours en huit secondes, voilà ce que le tambour doit être capable de faire sans que le linge se rassemble en une masse et cale le moteur — d’où le fait qu’un cycle d’essorage monte en régime au lieu de démarrer à pleine vitesse. Remarquez aussi comment les trois unités d’accélération découpent un même fait physique : 15,708 rad/s² et 150 tr/min par seconde sont le même nombre, et le chiffre en °/s² n’est grand que parce qu’un tour fait 360 degrés.

2. Un plateau de disque dur, du repos à 7 200 tr/min en 10 secondes

   1. Variation de vitesse angulaire : 7 200 tr/min
   2. En tours par minute par seconde : 7 200 ÷ 10 = 720 tr/min par seconde
   3. En rad/s² : 7 200 tr/min = 753,982 rad/s, et 753,982 ÷ 10 = 75,398 rad/s²
   4. En °/s² : 4 320
   5. Vitesse angulaire moyenne : 3 600 tr/min = 60 tr/s
   6. Tours pendant la montée en régime : 60 × 10 = 600

   Même calcul, une machine qui se soucie du résultat. 75,398 rad/s², c’est cinq fois le chiffre de la machine à laver, et le plateau traverse 600 tours pour y arriver — d’où l’usure des roulements d’un disque que l’on arrête et redémarre sans cesse, et d’où le fait qu’on laisse tourner les disques plutôt que de les arrêter entre deux lectures. Les dix secondes sont volontairement lentes pour un disque moderne : un disque d’ordinateur portable atteint sa vitesse de travail en trois secondes environ, et cela n’est possible que parce que le plateau est assez petit et assez léger pour que le couple soit disponible.

3. Un frein ramenant un arbre de 1 500 tr/min à l’arrêt en 4 secondes

   1. Variation de vitesse angulaire : 0 − 1 500 = −1 500 tr/min
   2. En tours par minute par seconde : −1 500 ÷ 4 = −375 tr/min par seconde
   3. En rad/s² : 1 500 tr/min = 157,080 rad/s, donc −157,080 ÷ 4 = −39,27 rad/s²
   4. En °/s² : −2 250
   5. Vitesse angulaire moyenne : 750 tr/min = 12,5 tr/s
   6. Tours pendant l’arrêt : 12,5 × 4 = 50

   Le signe est tout l’intérêt de cet exemple : les trois sorties d’accélération sont négatives, et le nombre de tours ne l’est pas, parce que l’arbre continue de tourner en avant — il tourne seulement moins vite. Cinquante tours se produisent entre le moment où le frein est appliqué et l’arrêt de l’arbre, et toute l’énergie de rotation de l’arbre doit sortir pendant ces cinquante tours. C’est la différence entre un frein et un embrayage : un frein doit transformer de l’énergie cinétique en chaleur, et la vitesse à laquelle il le fait est proportionnelle à cette accélération — d’où le fait que la première seconde d’un arrêt d’urgence soit celle qui grille le disque.

La page suppose une accélération angulaire constante, c’est-à-dire que la vitesse change à un rythme régulier du début à la fin. Un moteur réel a une courbe de couple plutôt qu’une accélération fixe, la rampe n’est donc pas une droite sur un graphique de vitesse, et le nombre de tours qu’elle donne est une moyenne qui ne correspondra pas à une machine à démarrage progressif. Rien ici ne concerne le couple ni le moment d’inertie : l’accélération angulaire est la cinématique, et la convertir en force qu’un moteur doit fournir demande la version angulaire de la deuxième loi de Newton, τ = Iα, plus l’inertie de tout ce qui est boulonné sur l’arbre. Il n’y a ni moment cinétique ni énergie : un frein qui arrête un arbre doit dissiper ½Iω² pendant l’arrêt, et la page ne peut pas vous dire combien cela représente. Elle est aussi purement rotationnelle — une roue que l’on accélère pendant que le véhicule auquel elle appartient avance possède en plus une accélération linéaire, et les deux sont liées par le rayon, que cette page ne demande pas. Elle ne traite pas le changement de sens : une vitesse angulaire qui change de signe passe par zéro, et l’hypothèse d’accélération constante s’y applique mal. Enfin, la page n’a aucune notion de l’origine de l’accélération : elle annoncera sans difficulté une accélération qu’aucun moteur ni frein réel ne peut produire, et elle ne dit rien des vibrations, des charges sur les roulements ni de la chaleur qu’une telle rampe engendrerait réellement. L’unité principale est le radian par seconde au carré, conformément au Système international tel que le BIPM et le NIST le définissent ; le tour par minute et le degré par seconde carré sont des unités d’usage courant en mécanique, conservées ici pour cette raison et reliées au radian par les facteurs exacts 2π/60 et π/180.

Comment calculer une accélération angulaire ?

On retranche la vitesse angulaire de départ de la vitesse d’arrivée, et on divise par la durée : α = (ωf − ωi) ÷ t. Passer du repos à 3 000 tr/min en 5 secondes, c’est une variation de 3 000 tr/min sur 5 s, soit 600 tr/min par seconde, ou 62,832 rad/s². Si le résultat sort négatif, la rotation ralentit au lieu d’accélérer, et la page affiche les trois conventions d’unités à la fois pour que vous puissiez lire celle qu’utilise votre fiche technique.

Quelle est la formule en rad/s² ?

La même, à condition de convertir d’abord les vitesses : un tour par minute — un rpm — vaut 2π ÷ 60 = 0,10472 rad/s, donc 3 000 tr/min font 314,159 rad/s, et diviser par 5 s donne 62,832 rad/s². Dans l’autre sens, on multiplie des rad/s² par 9,5493 pour obtenir des tr/min par seconde. La conversion ne change jamais la physique : elle ne change que la ligne que l’on lit.

Pourquoi l’accélération angulaire est-elle négative ?

Parce que la vitesse finale est inférieure à la vitesse initiale et que la formule fait la soustraction, une décélération ressort donc avec un signe moins. Un arbre qui passe de 1 500 tr/min à l’arrêt en 4 secondes a un α de −39,27 rad/s². Le signe dit que la rotation ralentit, et non qu’elle tourne à l’envers — le nombre de tours reste positif d’un bout à l’autre, parce que l’arbre continue de tourner en avant pendant tout son arrêt.

À quoi sert le nombre de tours ?

C’est le nombre de tours effectués par l’objet pendant que sa vitesse change, obtenu en multipliant la vitesse angulaire moyenne par la durée. C’est en général la contrainte qui décide si une conception tient : un tambour qui monte à 1 200 tr/min en 8 secondes traverse 80 tours, et une machine qui n’a la place que pour 50 tours ne peut tout simplement pas exécuter cette rampe. Ce même chiffre indique la surface de freinage nécessaire à un disque, puisque toute l’énergie de rotation doit sortir pendant ces tours.

Quel est le lien entre accélération angulaire et couple ?

Il passe par la forme angulaire de la deuxième loi de Newton, τ = Iα, où τ est le couple et I le moment d’inertie. Cette page donne la cinématique — α et rien d’autre — et pour trouver le couple qu’un moteur doit produire, il faut l’inertie de tout ce qui est monté sur l’arbre, laquelle vaut ½mr² pour un disque plein et mr² pour un anneau. C’est pourquoi la même accélération demande un moteur bien plus gros sur une centrifugeuse chargée que sur une centrifugeuse vide : le α est identique, le I ne l’est pas.

Le changement de vitesse doit-il être régulier ?

Oui, et c’est ce que la page suppose. Une accélération angulaire constante signifie une rampe rectiligne entre la vitesse de départ et la vitesse d’arrivée, et le nombre de tours vaut alors simplement la moyenne des deux multipliée par la durée. Un moteur réel à démarrage progressif change de vitesse de façon irrégulière, le nombre de tours effectif sera donc différent : la page est le bon outil pour dimensionner et pour vérifier un ordre de grandeur, et le mauvais pour prédire où se trouvera exactement l’arbre d’une machine réelle après une rampe donnée.

• Angular Acceleration (College Physics 2e, §10.1) — α = Δω ÷ Δt, the definition of angular acceleration, and the rotational kinematics equations built on it — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the radian as the coherent unit of angle and the radian per second squared as the unit of angular acceleration, with the exact factors for degrees and revolutions — National Institute of Standards and Technology
• Angular acceleration — the relation to torque and moment of inertia that this page deliberately leaves out, and the sign convention for a decelerating rotation — Wikipedia