Calculatrice de déplacement

déplacement = u × t + ½ × a × t² vitesse finale = u + a × t vitesse moyenne = déplacement ÷ t

u

Vitesse initiale en mètres par seconde, signée — le champ accepte aussi les km/h, les mph et les ft/s. Une valeur négative signifie que l’objet se déplace déjà dans l’autre sens au moment où le chronomètre part, et cette page l’autorise délibérément

a

Accélération en m/s², signée. Une valeur négative est un freinage, qui est l’usage le plus fréquent de cette page ; le champ accepte aussi les ft/s² et les multiples de la gravité standard, donc 1 g de freinage vaut 9,80665 m/s²

t

Durée en secondes — le champ accepte aussi les minutes et les heures. Elle doit être positive : la vitesse moyenne divise par elle, donc zéro est refusé plutôt qu’affiché comme une vitesse infinie

s

Déplacement, ut + ½at², en mètres et en pieds. C’est la distance en ligne droite depuis le départ, avec un signe, et non la longueur du chemin parcouru

v

Vitesse finale, u + at, en m/s et en km/h. Elle vient de sa propre formule et non du déplacement : le déplacement est l’aire sous la courbe des vitesses et la vitesse finale en est la hauteur, et les deux sont indépendants l’un de l’autre

Prenez cette page pour tout mouvement dont l’accélération est régulière : les distances de freinage, les courses de décollage et d’atterrissage, une balle lancée en l’air et qui retombe, un train qui démarre en gare, une voiture qui s’insère sur l’autoroute, le temps de trajet d’un ascenseur, les premières secondes d’un sprinteur. Elle répond à deux questions qu’un calcul vitesse-distance-temps ne peut pas traiter, parce que celui-ci suppose la vitesse constante. La première est la distance parcourue avant l’arrêt compte tenu de la décélération — c’est la distance d’arrêt, et c’est le nombre le plus utile de la page pour un conducteur. La seconde est de savoir si l’objet change de sens en cours de route, car c’est là que le déplacement et la distance cessent de concorder, et un lecteur à qui on ne donne que le déplacement croira à un bug devant un zéro. Notez d’où doit venir l’accélération : cette page la prend comme une donnée, et c’est le coefficient de frottement disponible sur la chaussée qui la fixe — la chaîne honnête d’une distance d’arrêt part donc de la surface de la route, passe par la page du frottement et arrive ici.

1. Une voiture à 9,144 m/s qui freine à 1,8288 m/s² pendant 10 secondes

   1. 9,144 m/s, soit 32,9 km/h, et 1,8288 m/s² de freinage, soit environ 0,19 g (les champs attendent les unités SI)
   2. Déplacement : 9,144 × 10 + ½ × (-1,8288) × 100 = 91,44 - 91,44 = 0 m
   3. Distance parcourue : la voiture s’arrête à 5 s puis repart en arrière, soit 22,86 m à l’aller et 22,86 m au retour, donc 45,72 m en tout
   4. Vitesse finale : 9,144 + (-1,8288) × 10 = -9,144 m/s, donc elle recule à la vitesse exacte à laquelle elle était partie
   5. Vitesse moyenne : 0 ÷ 10 = 0 m/s

   C’est l’exemple pour lequel cette page existe. Le déplacement vaut zéro et le compteur affiche 45,72 m, et les deux sont justes : l’objet est revenu à son point de départ. Un lecteur qui n’aurait posé qu’une question à cette page et aurait reçu 0 conclurait raisonnablement qu’elle a échoué, et c’est pourquoi la distance parcourue est une ligne à part entière plutôt qu’une note de bas de page. La vitesse finale mérite aussi d’être lue : elle est négative et de même grandeur que la vitesse de départ, parce qu’une décélération symétrique sur une durée double de celle de l’arrêt ramène l’objet à son point de départ. La ligne de la vitesse moyenne dit alors quelque chose qui surprend — 0 m/s, ce qui est vrai et inutile, et qui montre pourquoi faire la moyenne des vitesses traversées n’est pas la même chose que faire la moyenne sur le trajet.

2. Une voiture qui accélère de 0 à 96,56 km/h en 5 secondes

   1. 96,56 km/h = 26,8224 m/s, donc l’accélération nécessaire vaut 26,8224 ÷ 5 = 5,36448 m/s²
   2. Déplacement : 0 × 5 + ½ × 5,36448 × 25 = 67,06 m
   3. Distance parcourue : les mêmes 67,06 m, parce que la voiture ne repart jamais en arrière
   4. Vitesse finale : 5,36448 × 5 = 26,82 m/s, soit 96,56 km/h
   5. Vitesse moyenne : 67,06 ÷ 5 = 13,41 m/s, exactement la moitié de la vitesse finale

   Un peu plus de 67 m pour atteindre 96,56 km/h, et 5,36 m/s² représente environ 0,55 g d’accélération, soit le haut de ce qu’une berline à traction avant sait faire depuis l’arrêt. La dernière étape est l’identité utile : depuis l’arrêt, la vitesse moyenne vaut exactement la moitié de la vitesse finale, donc la distance n’est que la vitesse finale multipliée par la moitié de la durée. Ce raccourci n’est valable que si l’accélération est constante et si la vitesse de départ est nulle, et c’est le moyen le plus rapide de vérifier l’ordre de grandeur de n’importe quelle réponse de cette page.

3. La distance d’arrêt depuis 113 km/h à 1 g de freinage

   1. 113 km/h = 31,2928 m/s ; 1 g de freinage vaut 9,80665 m/s²
   2. Durée d’arrêt : 31,2928 ÷ 9,80665 = 3,19 s
   3. Déplacement : 31,2928 × 3,191 + ½ × (-9,80665) × 3,191² = 99,86 - 49,93 = 49,93 m
   4. Vitesse finale : 0 m/s — la voiture est arrêtée
   5. Vitesse moyenne : 49,93 ÷ 3,191 = 15,65 m/s, la moitié de la vitesse initiale

   Un peu moins de 50 m, et c’est le nombre qu’un conducteur devrait retenir : 1 g est à peu près le maximum qu’une route sèche offre à une voiture ordinaire, et c’est ce qu’un freinage d’urgence réalise réellement. À lire à côté du temps de réaction, que cette page ne modélise pas : un conducteur qui met une seconde à déplacer son pied a déjà parcouru 31 m avant que le freinage commence, si bien que la distance réelle depuis 113 km/h approche les 80 m. Cela montre aussi pourquoi la vitesse coûte si cher : la distance d’arrêt varie comme le carré de la vitesse, donc 113 km/h demande environ le double de la place de 80 km/h, et les derniers kilomètres par heure avant l’impact sont ceux qui décident de la gravité de l’accident.

Tout ici suppose l’accélération constante, et presque rien dans le monde réel ne l’est : les freins d’une voiture ne sont pas parfaitement progressifs, la traînée croît comme le carré de la vitesse et une roue bloquée se comporte autrement qu’une roue qui tourne. La page est à une dimension, donc elle décrit un mouvement le long d’une droite ; tout ce qui tourne — un virage, un tir balistique, une balle lancée en biais — est ce calcul refait séparément sur chaque axe, et le total est la somme vectorielle plutôt que le nombre affiché ici. La convention de signe compte et se rate facilement : la vitesse initiale et l’accélération doivent être mesurées le long de la même direction, et une voiture qui freine avec une vitesse initiale positive réclame une accélération négative, et non une accélération positive plus petite. La page suppose l’objet ponctuel, donc elle ne dit rien de l’empattement, du débattement de suspension ni du fait qu’un véhicule réel plonge sur ses roues avant au freinage. Elle n’aide pas à trouver l’origine de l’accélération : le frottement qu’une chaussée peut fournir dépend de la surface et des pneus, et c’est la page du frottement qui transforme une surface de route en m/s². Enfin, la distance parcourue suppose que l’objet rebrousse chemin au plus une fois, ce qui est tout ce qu’une accélération constante peut produire — un mouvement qui oscille sort de ce modèle. Les unités sont celles du Système international telles que le BIPM et le NIST les définissent, la gravité standard valant 9,80665 m/s².

Quelle est la formule du déplacement ?

s = ut + ½at², l’une des équations classiques de la cinématique pour une accélération constante, où u est la vitesse initiale, a l’accélération et t la durée. Depuis l’arrêt à 2 m/s² pendant 5 secondes, cela donne 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m, et la vitesse finale vaut v = u + at = 10 m/s. Le ½ est la raison pour laquelle la distance croît comme le carré du temps : deux fois plus longtemps depuis l’arrêt, c’est quatre fois plus de distance.

Quelle est la différence entre déplacement et distance parcourue ?

Le déplacement est la ligne droite qui va du point de départ au point d’arrivée, avec une direction ; la distance parcourue est ce que l’objet a réellement parcouru. En freinant depuis 10 m/s à 2 m/s² pendant 10 secondes, on avance de 25 m puis on revient de 25 m : le déplacement vaut 0 m et la distance parcourue 50 m. Les deux sont justes, et c’est pourquoi cette page affiche les deux — un conducteur qui regarde un compteur veut le 50, un physicien qui trace un schéma veut le 0.

Comment calculer une distance d’arrêt ?

On utilise s = ut + ½at² avec une accélération négative, en arrêtant le calcul au moment où la vitesse finale devient nulle. Depuis 113 km/h (31,29 m/s) à 1 g, la durée d’arrêt vaut 3,19 s et la distance 49,9 m. Deux choses manquent à ce chiffre dans la conduite réelle : le temps de réaction avant que les freins agissent — une seconde à 113 km/h, c’est encore 31 m — et une décélération de 1 g, que seule une route sèche permet d’atteindre.

La vitesse moyenne est-elle égale à (u + v) ÷ 2 ?

Oui, dès que l’accélération est constante — et elle vaut aussi le déplacement divisé par la durée, ce qui donne le même nombre. De l’arrêt à 26,82 m/s en 5 secondes, les deux chemins donnent 13,41 m/s. Les deux définitions se séparent dès que l’objet rebrousse chemin : dans l’exemple qui revient à son point de départ, (u + v) ÷ 2 vaut 0 lui aussi, mais c’est une coïncidence de symétrie, et en général c’est le déplacement divisé par la durée qui garde un sens.

Que signifie un déplacement négatif ?

Que l’objet a terminé de l’autre côté du point de départ, mesuré le long de la direction que vous avez choisi comme positive. C’est une direction, pas une erreur. Il en va de même pour la vitesse et pour l’accélération : dans un problème de freinage, la vitesse initiale est positive et l’accélération négative, et un lecteur qui saisit les deux en valeurs positives obtiendra une voiture qui accélère au lieu de s’arrêter, sans aucun message d’erreur pour l’avertir.

Que se passe-t-il si l’accélération est nulle ?

La formule se réduit à s = ut et cette page devient le banal calcul de la vitesse multipliée par le temps, qui est le travail de la page vitesse-distance-temps. C’est une saisie légitime ici plutôt qu’une erreur — c’est le cas limite où les deux pages s’accordent — et la vitesse finale y est simplement égale à la vitesse initiale. Les cas intéressants de cette page ont tous une accélération non nulle, et c’est exactement ce que l’autre page ne sait pas exprimer.

• Displacement (College Physics 2e, §2.1) — displacement as a signed straight-line quantity, and how it differs from the distance walked — OpenStax
• Equations of motion — the kinematic equations for constant acceleration, the sign conventions, and the standard braking-distance derivation — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the metre, the second and the exact mile and foot factors used to convert the speeds in the examples above — National Institute of Standards and Technology