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CalcMax

Calculatrice de PPCM

Résultat

180

Plus petit commun multiple

Quatre premiers multiples communs
180, 360, 540, 720

Le plus petit commun multiple d’une liste de nombres est le plus petit entier que chacun des nombres de la liste divise exactement. Pour 12, 18 et 30, c’est 180 : 180 vaut 15 fois 12, 10 fois 18 et 6 fois 30, et rien de plus petit ne convient aux trois. La page affiche aussi les quatre premiers multiples communs, parce que le plus petit pris seul est difficile à vérifier — 180 pourrait être un multiple de chaque nombre sans être le plus petit, et voir 180, 360, 540, 720 dans l’ordre est ce qui montre que rien en dessous de 180 n’a été sauté. Trois chemins y mènent. Lister les multiples de chaque nombre et prendre le premier qu’ils partagent est celui qu’utilise le tableau plus bas ; c’est le plus clair à suivre et le plus lent à exécuter. La décomposition en facteurs premiers va plus vite : écrivez chaque nombre comme un produit de nombres premiers et gardez chaque nombre premier qui apparaît dans l’un d’eux, à sa puissance la plus élevée — 12 vaut 2² × 3, 18 vaut 2 × 3², 30 vaut 2 × 3 × 5, donc les nombres premiers nécessaires sont 2², 3² et 5, et 4 × 9 × 5 font 180. Notez la différence avec le plus grand commun diviseur, qui garde la plus petite puissance des nombres premiers partagés ; cette page garde la plus grande puissance de chaque nombre premier qui se présente, même une seule fois. Le troisième chemin consiste à sortir d’abord le plus grand commun diviseur puis à multiplier : pour deux nombres, le PPCM multiplié par le PGCD égale le produit des deux nombres, donc 4 × 6 font 24 et le diviseur de 4 et 6 vaut 2, ce qui laisse 12. Ce raccourci est exact pour deux nombres et c’est une source d’erreurs très commune au-delà, où il ne tient plus — la page replie les nombres deux à deux, et c’est pourquoi elle donne la bonne réponse pour dix d’entre eux. Les nombres premiers entre eux forment le cas le plus simple : 7, 11 et 13 ne partagent aucun nombre premier, rien ne se simplifie et la réponse est leur produit, 1 001. Le multiple est ce qu’il vous faut pour additionner ou comparer des fractions : 1/12 et 1/18 ne s’additionnent qu’une fois écrits tous les deux sur 36, qui est leur plus petit commun multiple, et c’est le même nombre que calcule la page du dénominateur commun pour un ensemble de fractions.

Les multiples de 4, 6 et 8 côte à côte — la réponse est le premier nombre présent dans les trois colonnes

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Lisez les lignes de gauche à droite : la réponse est la première ligne où les trois entrées de droite tombent d’accord. 4 × 6, 6 × 4 et 8 × 3 valent tous 24, donc le plus petit commun multiple de 4, 6 et 8 est 24. Le lire ainsi, c’est la méthode elle-même, et c’est pourquoi le tableau est une échelle plutôt qu’un résultat. Remarquez que les colonnes n’atteignent pas leur premier accord à la même ligne — 24 est le sixième multiple de 4, le quatrième de 6 et le troisième de 8 — le tableau doit donc être construit jusqu’à ce qu’un nombre apparaisse dans chaque colonne, et non sur un nombre de lignes fixé d’avance. Remarquez aussi qu’aucune ligne avant celle-là ne réunit les trois : 12 apparaît sous 4 et sous 6, 16 sous 4 et sous 8, et ni l’un ni l’autre ne mène à la réponse. C’est le point à retenir, parce qu’un multiple commun est facile à fabriquer et que le plus petit est la vraie question. Le tableau est figé sur 4, 6 et 8 et ne suit pas les nombres que vous avez tapés, et il s’arrête à huit lignes parce que 24 arrive avant.

Formule

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ ppcm(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, et les quatre premiers multiples communs sont 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
Les nombres avec lesquels travailler, de deux à dix, chacun un entier de 1 à 1 000 000. Les espaces, les virgules et les points-virgules séparent tous, donc 12 18 30 et 12, 18, 30 sont la même saisie. 0, les négatifs et les nombres décimaux sont refusés : un multiple est un énoncé de comptage, et chacun des nombres de la liste doit en avoir un
2² × 3² × 5
Les nombres premiers nécessaires, chacun à sa puissance la plus élevée sur toute la liste : 2² vient de 12, 3² de 18, et 5 de 30. Prendre la puissance la plus élevée plutôt que la plus basse est ce qui sépare cette page de celle du plus grand commun diviseur, et c’est pourquoi ce nombre est toujours au moins aussi grand que la plus grande des entrées
180
La réponse, et le premier multiple commun. C’est un multiple de chaque nombre de la liste, et aucun nombre plus petit ne l’est — tout le contenu du mot plus petit tient là
180, 360, 540, 720
Les quatre premiers multiples communs, imprimés pour rendre la réponse vérifiable : ce sont 1, 2, 3 et 4 fois la réponse, et l’écart entre eux est la réponse elle-même. S’il existait un multiple commun plus petit, il faudrait qu’il tombe sous 180, et la liste montre que la suite commence bien là
ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c)
La façon dont plus de deux nombres sont traités : deux à la fois, en repliant la réponse courante dans le nombre suivant. C’est le même repli que celui utilisé par la page du plus grand commun diviseur, et c’est la raison pour laquelle le raccourci produit-puis-division n’est pas employé ici — ce raccourci n’est exact que pour deux nombres
1000000000000
Le plafond posé sur la réponse, et non sur les entrées. Une liste de dix nombres à six chiffres peut atteindre une réponse bien au-delà de ce qu’une machine représente exactement, et une réponse inexacte ici aurait l’air parfaitement normale. Passé cette borne, la page refuse au lieu d’imprimer quelque chose de presque juste

Additionner ou comparer des fractions est l’endroit où le multiple gagne sa place. 1/12 et 1/18 ne s’additionnent pas tels quels ; les deux se réécrivent sur 36, et 36 est leur plus petit commun multiple — n’importe quel multiple commun ferait l’affaire, mais le plus petit garde les nombres petits, et c’est pourquoi c’est celui qu’on enseigne en premier. Le dénominateur d’une somme est exactement cette quantité, et la page du dénominateur commun de ce site est le même calcul appliqué à un ensemble de fractions. La planification en est la version quotidienne, hors arithmétique : deux événements qui reviennent tous les 12 et tous les 18 jours se rejoignent de nouveau au bout de 36 jours, trois feux qui clignotent à des rythmes différents se rejoignent au multiple des trois, et la question « quand coïncideront-ils la prochaine fois » est toujours le multiple. Les dents d’engrenages fonctionnent pareil, le motif d’engrènement se répétant après un nombre entier de tours que les deux roues accomplissent. Dans un cours, le multiple est demandé directement et le tableau plus bas tient lieu de brouillon attendu : il liste les multiples de chaque nombre jusqu’à ce qu’un même nombre apparaisse dans toutes les colonnes. Deux nombres qui ne partagent aucun nombre premier forment le cas facile — leur multiple est simplement le produit — et le reconnaître vous épargne toute arithmétique. Quand vous voulez la réponse sans dérouler les listes, la calculatrice de PGCD pose la question inverse sur les diviseurs, et la calculatrice de dénominateur commun l’applique directement à un ensemble de fractions à mettre au même dénominateur.

Exemples détaillés

  1. Le plus petit commun multiple de 12, 18 et 30

    1. Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
    2. Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Multiples de 30 : 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. Le premier nombre à apparaître dans les trois listes est 180
    5. Par décomposition : 2² vient de 12, 3² de 18 et 5 de 30, donc 4 × 9 × 5 = 180

    La saisie par défaut. Remarquez que 36 est un multiple de 12 et de 18 mais pas de 30, et que 60 est un multiple de 12 et de 30 mais pas de 18 — la réponse doit satisfaire chaque nombre de la liste, et non la plupart d’entre eux. Les deux chemins sont d’accord, et le chemin par décomposition est celui à employer quand les listes deviendraient longues.

  2. Deux nombres : 4 et 6

    1. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24
    3. Le premier nombre partagé est 12
    4. Vérification par la règle du produit : 4 × 6 = 24, et le plus grand commun diviseur de 4 et 6 vaut 2, donc 24 ÷ 2 = 12

    Le cas à deux nombres est le seul où la règle du produit tient, et la vérification ci-dessus vaut la peine d’être faite une fois à la main parce qu’elle montre pourquoi la règle cesse de fonctionner au-delà de deux nombres : pour 4, 6 et 9 le produit vaut 216 alors que la réponse est 36, et diviser par le diviseur de 4 et 6 seulement ne corrige pas le troisième nombre. La page replie deux à deux et ne se fait jamais prendre par ce piège.

  3. Des nombres premiers entre eux : 7, 11 et 13

    1. 7, 11 et 13 sont tous premiers, donc aucun des trois ne partage de facteur avec un autre
    2. Rien ne se simplifie dans le produit, donc le plus petit commun multiple vaut 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, et 77 × 13 = 1 001
    4. Les quatre premiers multiples communs avancent de 1 001 à chaque pas

    Quand aucun nombre premier n’est partagé, la réponse est simplement le produit, et c’est le seul cas où elle atteint cette taille. 1 001 est un nombre familier pour une raison sans rapport — il se factorise en 7 × 11 × 13, ce qui est exactement pourquoi l’astuce qui repère un motif de trois chiffres répété fonctionne. La page le traite comme tout le reste.

  4. Une liste où un nombre divise les autres : 6, 8 et 12

    1. 12 est un multiple de 6, donc 6 n’ajoute rien que 12 n’exige déjà
    2. Multiples de 8 : 8, 16, 24
    3. Multiples de 12 : 12, 24
    4. Le premier nombre partagé est 24, et la réponse n’est pas un multiple de la plus grande entrée

    La réponse n’a pas besoin d’être l’un des nombres que vous avez tapés, ce qui est l’inverse du plus grand commun diviseur, où la réponse divise toujours la plus petite entrée. Ici la réponse 24 est plus grande que chaque nombre de la liste, parce qu’un multiple commun doit être un nombre que tous divisent. Retirer le 6 ne change rien : 12 porte déjà chaque nombre premier que 6 exige, donc le repli laisse la réponse intacte.

Limites

Chaque nombre doit être un entier de 1 à 1 000 000, et il doit y en avoir entre deux et dix. Les entrées sont plafonnées là, mais le plafond qui compte vraiment porte sur la réponse : le plus petit commun multiple doit rester inférieur ou égal à 1 000 000 000 000, et une liste de dix grands nombres dépassera cette borne bien avant d’avoir épuisé la plage des entrées. Passé ce plafond la page refuse au lieu d’imprimer une réponse, parce qu’un nombre de cette taille ne peut pas être représenté exactement et reviendrait avec l’air d’un résultat ordinaire. Zéro et les nombres négatifs sont refusés : « tout entier est un multiple de 0 » n’est pas une phrase utile, et un plus petit commun multiple se définit sur les nombres positifs. Les nombres décimaux et les fractions sont refusés plutôt qu’arrondis, pour la même raison que sur la page du diviseur. Les séparateurs peuvent être des espaces, des virgules ou des points-virgules, et peuvent être mélangés. Les entrées répétées sont acceptées et ne changent rien, et un nombre qui en divise un autre dans la même liste est simplement redondant. Le tableau de référence plus bas est figé sur 4, 6 et 8 et ne suit pas votre saisie — le panneau répond à vos nombres, le tableau montre comment la réponse se lit. La réponse elle-même est toujours exacte, jamais arrondie.

Questions fréquentes

Comment trouver le plus petit commun multiple à la main ?
Écrivez les multiples de chaque nombre jusqu’à ce qu’une même valeur apparaisse dans toutes les listes. Pour 12, 18 et 30 c’est 180 : c’est le quinzième multiple de 12, le dixième de 18 et le sixième de 30. Le chemin plus rapide est la décomposition en facteurs premiers — gardez chaque nombre premier qui apparaît quelque part dans la liste à sa puissance la plus élevée, soit 2², 3² et 5 pour ces trois nombres, ce qui donne 180. Les deux chemins sont déroulés dans les exemples plus haut.
Quelle est la différence entre le PPCM et le PGCD ?
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise toutes les entrées ; le plus petit commun multiple est le plus petit nombre que toutes les entrées divisent. Le diviseur ne dépasse jamais la plus petite entrée, le multiple n’est jamais plus petit que la plus grande. Par décomposition en facteurs premiers la différence tient en un mot : le diviseur garde la plus petite puissance des nombres premiers partagés, le multiple garde la plus grande puissance de chaque nombre premier présent.
Puis-je simplement multiplier les nombres entre eux ?
Cela donne un multiple commun mais rarement le plus petit, et pour deux nombres la règle exacte est que le produit égale le plus petit commun multiple multiplié par le plus grand commun diviseur. Pour 4 et 6 le produit vaut 24 et le diviseur vaut 2, donc la réponse est 12. Au-delà de deux nombres cette règle ne tient plus, et c’est pourquoi la page replie les nombres deux à deux au lieu de tous les multiplier ensemble.
Pourquoi la page refuse-t-elle les très grandes réponses ?
Parce qu’une machine cesse de représenter les entiers exactement au-delà d’une certaine taille, et qu’une réponse de cette taille reviendrait arrondie tout en ayant l’air parfaitement ordinaire. Les entrées sont plafonnées à 1 000 000 chacune, mais la réponse peut monter bien plus haut — une liste de dix nombres à six chiffres se multiplie énormément — la page vérifie donc aussi la réponse contre un plafond et refuse plutôt que d’imprimer quelque chose de presque juste.
Quel est le plus petit commun multiple de deux nombres premiers entre eux ?
Leur produit, parce que rien ne se simplifie : 7 et 11 sont premiers entre eux, donc leur plus petit commun multiple vaut 77. Être premiers entre eux signifie que les deux nombres ne partagent aucun nombre premier, donc la plus grande puissance de chaque nombre premier de la liste est ce nombre premier lui-même. Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, et un nombre premier associé à tout ce qui n’est pas un de ses multiples l’est aussi.
Où le plus petit commun multiple sert-il ?
Additionner ou comparer des fractions exige un dénominateur commun, et le plus petit d’entre eux est cette quantité — 1/12 et 1/18 se réécrivent tous les deux sur 36. Hors arithmétique, tout ce qui se répète selon deux cycles se rejoint au bout de leur plus petit commun multiple : des événements tous les 12 et tous les 18 jours coïncident après 36 jours, et les dents d’engrenages s’engrènent selon un motif qui se répète au multiple des nombres de dents.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de PGCDTous les diviseurs communs de deux à dix nombres.Calculatrice de dénominateur communPlus petit dénominateur commun d’une série de fractions.Calculatrice d’addition de fractionsAdditionne des fractions aux dénominateurs différents.Calculatrice de fractionsAdditionne, soustrait, multiplie et divise des fractions.Calculatrice de facteursTous les facteurs d’un nombre et ses paires de facteurs.