Qu’est-ce qui compte exactement comme un facteur ?

Tout entier qui divise votre nombre exactement, sans laisser de reste. Les deux membres de chaque paire comptent, donc pour 60 la liste va de 1 jusqu’à 60 — 1 et le nombre lui-même sont toujours des facteurs, et les intéressants sont ceux du milieu. Les fractions ne comptent pas, même quand elles divisent juste : 2,5 tient vingt-quatre fois dans 60, mais 2,5 n’est pas un entier, ce n’est donc pas un facteur. Cette page liste les facteurs positifs d’un nombre positif, ce qui est la convention habituelle.

Pourquoi la recherche s’arrête-t-elle à la racine carrée ?

Parce qu’au-delà, tout facteur que vous trouveriez est le partenaire d’un facteur déjà vu. Si d × e = 60 et que d dépasse la racine carrée de 60, alors e est plus petit qu’elle — e a donc été testé plus tôt et la paire a été imprimée à ce moment-là. Tester au-delà ne peut que retrouver les mêmes paires dans l’autre ordre. C’est pourquoi 60 demande sept diviseurs testés et non soixante, et pourquoi le coût de cette page croît comme la racine carrée de l’entrée : un nombre proche d’un million demande environ un millier d’essais, pas un million.

Pourquoi 36 a-t-il un nombre impair de facteurs ?

Parce que 36 est un carré parfait, donc sa racine carrée s’apparie avec elle-même. Tout autre facteur a un partenaire différent — 1 avec 36, 2 avec 18, 3 avec 12, 4 avec 9 — et chacune de ces paires ajoute deux au compte. Puis 6 × 6 = 36 en ajoute un. Le total vaut donc 4 × 2 + 1 = 9. D’une façon générale un nombre a un nombre impair de facteurs exactement lorsqu’il est un carré parfait, et c’est le moyen le plus rapide de reconnaître un carré parfait à partir d’une liste de facteurs.

Est-ce la même chose que la décomposition en facteurs premiers ?

Non, et la différence mérite d’être nette. Cette page donne tous les facteurs ; la décomposition en facteurs premiers casse le nombre en nombres premiers multipliés entre eux. Pour 60 la décomposition est 2² × 3 × 5, et la page ne l’imprime jamais — même si 2, 3 et 5 apparaissent tous dans la liste des facteurs, parce que les nombres premiers sont des facteurs comme les autres. La différence pratique est le coût : cette page travaille proportionnellement à la racine carrée du nombre, tandis que la décomposition est réellement difficile pour de grands nombres, ce qui est précisément l’hypothèse sur laquelle repose la cryptographie à clé publique.

Puis-je saisir 0 ou un nombre négatif ?

Non, et ni l’un ni l’autre n’est une restriction arbitraire. Tout entier divise 0, sa liste de facteurs ne s’arrêterait donc jamais. Pour un nombre négatif les facteurs viennent par deux signes — 1 et −1, 2 et −2, et ainsi de suite — et la page devrait prendre position sur le point de savoir s’il faut lister les deux, ce qu’elle ne fait pas. L’entrée est un entier de 1 à 1 000 000. Les nombres décimaux sont refusés eux aussi plutôt qu’arrondis, parce qu’arrondir répondrait silencieusement à une question portant sur un autre nombre.

Pourquoi les facteurs sont-ils séparés en deux colonnes ?

Parce qu’elles répondent à deux questions différentes. La liste plate est ce que vous consultez quand vous voulez savoir si un nombre divise le vôtre. Les paires sont ce que vous voulez quand le nombre est le produit de deux choses que vous choisissez — un rectangle de cette aire, un ensemble de lignes et de colonnes égales, un groupe réparti sans laisser personne de côté. Un parterre de 60 mètres carrés peut faire 1 sur 60, 2 sur 30, 3 sur 20, 4 sur 15, 5 sur 12 ou 6 sur 10, et ces six formes sont exactement la colonne des paires. Les deux colonnes portent les mêmes nombres ; seul l’arrangement diffère.

Calculatrice de facteurs

Résultat

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Facteurs

Paires de facteurs: 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Les facteurs d’un nombre entier sont les entiers qui le divisent exactement, sans laisser de reste. Ceux de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 — douze en tout, et ils vont toujours par paires qui redonnent 60 par multiplication : 1 avec 60, 2 avec 30, 3 avec 20, 4 avec 15, 5 avec 12, et 6 avec 10. Cette page imprime les deux lectures, la liste plate des facteurs et les paires, parce qu’elles répondent à deux questions différentes. La liste est ce que vous voulez quand vous vérifiez si un nombre en divise un autre ; les paires sont ce que vous voulez quand vous cherchez un rectangle de cette aire, ou deux nombres dont le produit est fixé. La méthode est la division par essais successifs, et la partie utile est de savoir quand s’arrêter. Pour trouver tous les facteurs de 60, inutile de tester au-delà de 8, parce que 8 × 8 font 64 — passé la racine carrée, tout facteur que vous trouveriez est la moitié haute d’une paire dont vous avez déjà rencontré la moitié basse. C’est pourquoi 60 coûte sept essais et non cinquante-neuf, et c’est pourquoi un nombre à sept chiffres reste rapide sur cette page alors que le plafond ici est d’un million. Ce même seuil est ce qui fait sortir les paires dans l’ordre : chaque fois qu’un petit facteur est trouvé, son partenaire est produit au même moment, donc les paires sont triées par leur moitié basse sans aucune étape de tri. Deux cas particuliers méritent d’être connus avant de lire le résultat. Un nombre premier a exactement deux facteurs — 1 et lui-même — donc sa liste est courte et sa liste de paires n’a qu’une entrée. Un carré parfait a un nombre impair de facteurs, parce que la paire du milieu est deux fois le même nombre : 36 a neuf facteurs et ses paires se terminent sur 6 * 6, que la page imprime une seule fois. Ni l’un ni l’autre n’est une erreur, et ni l’un ni l’autre n’est un cas particulier dans le code ; les deux tombent de la même boucle. Ce que la page ne fait pas, c’est casser le nombre en nombres premiers. Elle vous donne tous les facteurs et toutes les paires, et elle vous montrera volontiers que 60 a douze facteurs sans jamais dire 60 = 2² × 3 × 5 — la liste des facteurs contient les pièces, mais ce n’est pas une décomposition. La distinction compte quand le nombre est grand : le travail de cette page croît comme la racine carrée de l’entrée, alors que la décomposition en facteurs premiers est réellement difficile, et les deux sont deux questions différentes.

Trois nombres avec leurs facteurs et leurs paires de facteurs côte à côte

Nombre	Facteurs	Paires de facteurs
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	1 * 12, 2 * 6, 3 * 4
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	1 * 36, 2 * 18, 3 * 12, 4 * 9, 6 * 6
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60	1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Lisez une ligne de gauche à droite : la colonne du milieu est la troisième dépliée. 12 a six facteurs et trois paires ; 36 a neuf facteurs et cinq paires ; 60 a douze facteurs et six paires. Ce sont les comptes qu’il faut comparer. Six est pair, neuf est impair, douze est pair — et 36 est le seul carré parfait du tableau, ce qui est exactement pourquoi c’est lui qui détonne. Tout facteur autre que la racine carrée a un partenaire avec qui s’apparier, ils apportent donc un compte pair, et la racine carrée n’a qu’elle-même. L’autre chose qui vaut la peine d’être vue est que plus de facteurs ne découle pas d’un nombre plus grand : 36 vaut trois fois 12 et a une fois et demie plus de facteurs, tandis que 60 vaut cinq fois 12 et les double. Le nombre de facteurs d’un entier vient de la façon dont ses pièces premières se combinent, pas de sa taille — et c’est la même raison qui fait que 720 720, bien en dessous d’un million, a plus de facteurs que n’importe quel nombre voisin.

Formule

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60 ; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30 ; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20 ; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15 ; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12 ; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10 ; 60 ÷ 7 n’est pas exact, 8 × 8 > 60, on s’arrête

n: Le nombre dont on cherche les facteurs — un entier de 1 à 1 000 000. Un est accepté et donne un seul facteur, 1, ce qui est une vraie réponse et non un cas dégénéré : 1 est son propre facteur et ne divise exactement rien d’autre que ses multiples
d: Un diviseur testé, essayé dans l’ordre 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite. La page ne teste jamais au-delà de la racine carrée de n, et ce seuil est toute l’astuce : si d × e = n et que d dépasse la racine carrée, alors e est plus petit qu’elle, donc e a déjà été trouvé et la paire a déjà été imprimée
d * d ≤ n: La règle d’arrêt, écrite en toutes lettres. Pour 60 le dernier diviseur testé est 7, parce que 7 × 7 = 49 reste sous 60 et que 8 × 8 = 64 le dépasse. Cette règle est la raison pour laquelle le nombre d’essais croît comme la racine carrée de l’entrée et non comme l’entrée — un million demande un millier d’essais, pas un million
n / d: Le partenaire d’un facteur. Quand d divise n exactement, le quotient est l’autre moitié de la paire, et la page le produit dans la même étape. C’est pourquoi les paires de 60 sortent dans l’ordre 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 et ainsi de suite, sans tri : les moitiés basses sont trouvées par ordre croissant, donc les paires aussi
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60: Tous les facteurs de 60 en une seule liste plate, par ordre croissant. Douze entrées, ce qui est un compte pair — l’appariement est complet, chaque facteur a un partenaire. La liste porte la même information que les paires en dessous, réarrangée : lisez les paires, rassemblez les nombres, et vous retrouvez cette ligne
6 * 6: La paire du milieu de 36, et la seule forme où un facteur apparaît deux fois sur une même ligne. 36 est un carré parfait, donc son nombre de facteurs est impair — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, soit neuf — et la page imprime la paire du milieu une fois plutôt que deux. C’est pourquoi un carré parfait n’a jamais un nombre pair de facteurs

Simplifier une fraction est la raison la plus courante de vouloir une liste de facteurs. Pour réduire 42/60 à la main vous cherchez un nombre qui divise les deux, et les facteurs de 60 vous donnent les candidats tandis que ceux de 42 vous disent lesquels sont retenus — le plus grand de ces nombres est le plus grand commun diviseur, et la calculatrice de PGCD répond directement à cette question si c’est tout ce qu’il vous faut. Un deuxième usage est le rectangle d’aire fixée : un parterre de 60 mètres carrés peut faire 1 sur 60, 2 sur 30, 3 sur 20, 4 sur 15, 5 sur 12 ou 6 sur 10, et les paires de facteurs sont exactement cette liste de formes possibles, ce qui explique la forme sous laquelle elles sont imprimées. La même question revient chaque fois que des objets doivent être rangés en lignes et colonnes égales : asseoir 60 invités à des tables de même taille, ou répartir une classe en groupes de même effectif sans laisser personne de côté. Un troisième usage est la vérification d’une affirmation. Si quelqu’un vous dit que 91 est premier, sa liste de facteurs tranche — 1, 7, 13, 91 — et le fait qu’elle compte quatre entrées au lieu de deux est la réfutation. Les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 couvrent les petits cas à la main, et cette page prend le relais là où ils cessent d’être commodes. Quand la question porte vraiment sur les pièces plutôt que sur les facteurs, la réponse est ailleurs : la calculatrice de facteurs premiers casse le nombre en nombres premiers, ce que cette page ne fait délibérément pas ; la calculatrice de PPCM et celle de PGCD comparent deux nombres au lieu d’en décrire un ; et la calculatrice de fractions simplifiées se sert d’un facteur commun pour réduire une fraction directement, sans vous montrer la liste.

Exemples détaillés

Douze facteurs : 60
1. Essai 1 : 60 ÷ 1 = 60 exactement, donc 1 et 60 sont tous les deux des facteurs
2. Essai 2 : 60 ÷ 2 = 30, donc 2 et 30 sont des facteurs ; essai 3 : 60 ÷ 3 = 20, ce qui donne 3 et 20
3. Essai 4 : 60 ÷ 4 = 15, ce qui donne 4 et 15 ; essai 5 : 60 ÷ 5 = 12, ce qui donne 5 et 12
4. Essai 6 : 60 ÷ 6 = 10, ce qui donne 6 et 10 ; essai 7 : 60 ÷ 7 n’est pas un entier
5. 8 × 8 = 64 dépasse 60, on s’arrête — les douze facteurs sont au complet
La saisie par défaut, et un bon choix parce que 60 a beaucoup de facteurs — douze, le maximum pour un nombre plus petit que lui. Notez le peu que la recherche a coûté : sept diviseurs testés, pas soixante. La ligne des paires et la liste des facteurs contiennent les mêmes douze nombres ; les paires sont simplement repliées pour que chacun se retrouve à côté du nombre avec lequel il se multiplie. Remarquez aussi que la liste des paires s’arrête à 6 * 10 au lieu de continuer sur 10 * 6 : dès que la moitié basse d’une paire dépasse la racine carrée, toute paire restante est la répétition d’une paire déjà imprimée.
Un carré parfait : 36
1. 1 s’apparie avec 36, puis 2 avec 18, puis 3 avec 12, puis 4 avec 9
2. 6 × 6 = 36, donc 6 est son propre partenaire — le milieu de la liste
3. 7 ne divise pas 36 ; 7 × 7 = 49 le dépasse déjà, mais 6 était le dernier diviseur sous la racine carrée
4. Les facteurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — neuf en tout, un compte impair
Le cas qui montre pourquoi un nombre de facteurs peut être impair. Tout facteur autre que la racine carrée a un partenaire distinct, ils s’apparient donc et apportent un compte pair ; la racine carrée s’apparie avec elle-même et apporte un. C’est toute la raison pour laquelle 36 a neuf facteurs tandis que 60, plus grand, en a douze, et que 12 en a six. La ligne des paires imprime 6 * 6 une fois plutôt que deux, et c’est un choix : l’imprimer deux fois ferait diverger les deux lignes sur le nombre de facteurs.
Un nombre premier : 7
1. Essai 1 : 7 ÷ 1 = 7 exactement, donc 1 et 7 sont des facteurs
2. Essai 2 : 7 ÷ 2 n’est pas un entier ; 3 × 3 = 9 dépasse 7, la recherche s’arrête donc là
3. Rien entre 1 et 7 ne le divise
4. Deux facteurs et une paire — ce qui est la définition d’un nombre premier
La sortie non triviale la plus courte de la page, et celle qui montre qu’un nombre premier n’est pas un échec de factorisation. Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux facteurs, et ces deux-là sont toujours 1 et le nombre lui-même ; la page rapporte ce fait plutôt que de rapporter qu’elle n’a rien trouvé. La règle d’arrêt travaille vraiment ici — après avoir testé 2, il ne reste rien à tester, parce que 3 × 3 dépasse déjà 7. Tester 3, 4, 5 et 6 coûterait quatre divisions et ne pourrait rien trouver.

Limites

L’entrée doit être un entier de 1 à 1 000 000. Zéro est refusé : tout entier divise zéro, sa liste de facteurs serait donc infinie et il n’y a rien de sensé à imprimer. Les nombres négatifs sont refusés eux aussi, alors même que ±1, ±2 et ainsi de suite divisent tous −60 — la page rapporte les facteurs positifs d’un nombre positif, et une liste signée exigerait une convention sur le point de savoir si les deux signes sont montrés, convention que cette page n’énonce pas. Les nombres décimaux sont refusés plutôt qu’arrondis. Le plafond d’un million est ce qui garde la division par essais bornée : la recherche s’arrête à la racine carrée, donc le pire cas est un millier d’essais, et la liste de réponses peut être longue sans jamais devenir ingérable. Elle peut tout de même être longue — 720 720 a 240 facteurs, le maximum pour un nombre inférieur à un million — et une liste de cette taille est correcte mais pas très agréable à lire. La page rapporte des facteurs et des paires de facteurs, pas des facteurs premiers, et la différence est facile à manquer : la liste de 60 contient 2, 3 et 5, mais la page ne dit jamais 60 = 2² × 3 × 5, et pour un grand nombre les deux questions ont des coûts très différents. Les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 ne sont pas signalés à part — ils sont simplement absorbés par la division par essais, donc un nombre terminé par 0 montre 2, 5 et 10 comme facteurs sans que la page explique pourquoi. Chaque facteur est imprimé comme un entier dans une liste séparée par des virgules, et les paires utilisent un astérisque pour la multiplication ; aucune de ces deux sorties n’utilise de séparateur de milliers, un facteur proche du plafond s’imprime donc d’un seul tenant. Enfin, le tableau de référence plus bas montre trois nombres figés au lieu de suivre votre saisie ; le panneau au-dessus est celui qui répond à ce que vous avez tapé.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qui compte exactement comme un facteur ?: Tout entier qui divise votre nombre exactement, sans laisser de reste. Les deux membres de chaque paire comptent, donc pour 60 la liste va de 1 jusqu’à 60 — 1 et le nombre lui-même sont toujours des facteurs, et les intéressants sont ceux du milieu. Les fractions ne comptent pas, même quand elles divisent juste : 2,5 tient vingt-quatre fois dans 60, mais 2,5 n’est pas un entier, ce n’est donc pas un facteur. Cette page liste les facteurs positifs d’un nombre positif, ce qui est la convention habituelle.
Pourquoi la recherche s’arrête-t-elle à la racine carrée ?: Parce qu’au-delà, tout facteur que vous trouveriez est le partenaire d’un facteur déjà vu. Si d × e = 60 et que d dépasse la racine carrée de 60, alors e est plus petit qu’elle — e a donc été testé plus tôt et la paire a été imprimée à ce moment-là. Tester au-delà ne peut que retrouver les mêmes paires dans l’autre ordre. C’est pourquoi 60 demande sept diviseurs testés et non soixante, et pourquoi le coût de cette page croît comme la racine carrée de l’entrée : un nombre proche d’un million demande environ un millier d’essais, pas un million.
Pourquoi 36 a-t-il un nombre impair de facteurs ?: Parce que 36 est un carré parfait, donc sa racine carrée s’apparie avec elle-même. Tout autre facteur a un partenaire différent — 1 avec 36, 2 avec 18, 3 avec 12, 4 avec 9 — et chacune de ces paires ajoute deux au compte. Puis 6 × 6 = 36 en ajoute un. Le total vaut donc 4 × 2 + 1 = 9. D’une façon générale un nombre a un nombre impair de facteurs exactement lorsqu’il est un carré parfait, et c’est le moyen le plus rapide de reconnaître un carré parfait à partir d’une liste de facteurs.
Est-ce la même chose que la décomposition en facteurs premiers ?: Non, et la différence mérite d’être nette. Cette page donne tous les facteurs ; la décomposition en facteurs premiers casse le nombre en nombres premiers multipliés entre eux. Pour 60 la décomposition est 2² × 3 × 5, et la page ne l’imprime jamais — même si 2, 3 et 5 apparaissent tous dans la liste des facteurs, parce que les nombres premiers sont des facteurs comme les autres. La différence pratique est le coût : cette page travaille proportionnellement à la racine carrée du nombre, tandis que la décomposition est réellement difficile pour de grands nombres, ce qui est précisément l’hypothèse sur laquelle repose la cryptographie à clé publique.
Puis-je saisir 0 ou un nombre négatif ?: Non, et ni l’un ni l’autre n’est une restriction arbitraire. Tout entier divise 0, sa liste de facteurs ne s’arrêterait donc jamais. Pour un nombre négatif les facteurs viennent par deux signes — 1 et −1, 2 et −2, et ainsi de suite — et la page devrait prendre position sur le point de savoir s’il faut lister les deux, ce qu’elle ne fait pas. L’entrée est un entier de 1 à 1 000 000. Les nombres décimaux sont refusés eux aussi plutôt qu’arrondis, parce qu’arrondir répondrait silencieusement à une question portant sur un autre nombre.
Pourquoi les facteurs sont-ils séparés en deux colonnes ?: Parce qu’elles répondent à deux questions différentes. La liste plate est ce que vous consultez quand vous voulez savoir si un nombre divise le vôtre. Les paires sont ce que vous voulez quand le nombre est le produit de deux choses que vous choisissez — un rectangle de cette aire, un ensemble de lignes et de colonnes égales, un groupe réparti sans laisser personne de côté. Un parterre de 60 mètres carrés peut faire 1 sur 60, 2 sur 30, 3 sur 20, 4 sur 15, 5 sur 12 ou 6 sur 10, et ces six formes sont exactement la colonne des paires. Les deux colonnes portent les mêmes nombres ; seul l’arrangement diffère.

Références

Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
Prime Number — numbers with exactly two factors, and why that definition is the one the factor list makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)
Diviseur — la présentation francophone du diviseur et de la divisibilité, les diviseurs d’un entier, leur appariement en couples produit et le cas du carré parfait — Wikipédia en français

Calculatrices liées

Calculatrice de PGCDTous les diviseurs communs de deux à dix nombres.Calculatrice de PPCMLes quatre premiers multiples communs de deux à dix nombres.Calculatrice de fractions simplifiéesRéduit une fraction au plus simple et donne le diviseur.Calculatrice de tri croissantTrie une liste de nombres du plus petit au plus grand.Calculatrice de facteurs premiersDécomposition en facteurs premiers, écrite avec exposants.