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CalcMax

Calculatrice de dénominateur commun

Résultat

60

Plus petit dénominateur commun

Fractions au dénominateur commun
45/60, 50/60, 42/60

Le plus petit dénominateur commun d’un ensemble de fractions est le plus petit nombre dans lequel chacun des dénominateurs de ces fractions se divise exactement. Pour 3/4, 5/6 et 7/10, c’est 60 : 60 vaut 15 fois 4, 10 fois 6 et 6 fois 10, et aucun nombre plus petit ne convient aux trois. Une fois écrites, les trois fractions deviennent 45/60, 50/60 et 42/60 — les mêmes valeurs, un dénominateur partagé, et c’est la forme qu’il faut atteindre avant de pouvoir les additionner, les soustraire ou les comparer. L’abréviation employée ici est PPCD, pour plus petit dénominateur commun ; l’anglais dit LCD, et c’est exactement le même objet. Deux étapes y mènent, et la première est facile à sauter. Chaque fraction est d’abord réduite à sa forme la plus simple, parce que 6/8 et 3/4 sont le même nombre écrit avec des dénominateurs différents, et lire le dénominateur sans réduire donne une réponse qui est un dénominateur commun mais pas le plus petit — réduisez 6/8 et 10/12 en 3/4 et 5/6, et la réponse devient 12 au lieu de 24. Ensuite les dénominateurs sont combinés : le plus petit dénominateur commun d’un ensemble de fractions est le PPCM de leurs dénominateurs réduits. C’est là tout le calcul, et c’est pourquoi cette page et celle du plus petit commun multiple arrivent au même nombre par deux chemins différents. Avec trois fractions ou plus, les multiples se replient deux à deux, donc 4, 6 et 10 donnent d’abord 12, puis 60 avec le 10. Le lire sur un tableau est la méthode de repli : listez les multiples de chaque dénominateur réduit et prenez le premier nombre qu’ils partagent tous. Deux cas particuliers reviennent assez souvent pour qu’on les connaisse. Les nombres entiers sont acceptés et comptent comme des fractions de dénominateur 1, ils ne font donc jamais monter la réponse — mais ils sont réimprimés avec le dénominateur commun attaché, puisque 2 devient 4/2 une fois que tout est ramené sur 2. Et un dénominateur qui est un multiple d’un autre, 4 parmi 2 et 4, n’ajoute rien : 2 divise déjà 4. Le résultat est exactement la quantité nécessaire pour additionner des fractions de dénominateurs différents, et le dénominateur de la somme est ce nombre.

1/2, 2/3 et 3/4 réécrites sur leur plus petit dénominateur commun

FractionDénominateurAvec le dénominateur commun
1/226/12
2/338/12
3/449/12

Lisez la colonne du milieu de haut en bas : les trois nombres sont 2, 3 et 4. Leur plus petit commun multiple est 12, qui est la réponse, et c’est le premier nombre que les trois divisent : 12 est le sixième multiple de 2, le quatrième de 3 et le troisième de 4. La colonne de droite montre ensuite chaque fraction réécrite sur 12, et chaque entrée mérite d’être comparée à celle qu’elle remplace — 6/12 vaut un demi, 8/12 vaut deux tiers et 9/12 vaut trois quarts, et chacune le vaut encore, parce que le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par le même nombre. Ce facteur de multiplication est la réponse divisée par le dénominateur de la fraction : 12 ÷ 2 = 6 pour la première ligne, 12 ÷ 3 = 4 pour la deuxième, 12 ÷ 4 = 3 pour la troisième. Remarquez que le troisième dénominateur, 4, n’est pas le plus gros contributeur bien qu’il soit le plus grand nombre : ce qui compte, ce sont les nombres premiers, et 12 a besoin de deux 2 venant de 2 ou de 4, plus du 3 que seul 3 apporte. Le tableau est figé sur ces trois fractions et ne suit pas ce que vous avez tapé — le panneau au-dessus répond à votre saisie, celui-ci montre la méthode avec des lignes assez courtes pour être vérifiées à l’œil.

Formule

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ ppcd = ppcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
Les fractions avec lesquelles travailler, de deux à dix, chacune écrite numérateur/dénominateur avec les deux parties entières de 1 à 1 000 000, séparées par des espaces, des virgules ou des points-virgules. Les nombres entiers comme 2 sont acceptés et lus comme 2/1. Chaque fraction est réduite à sa forme la plus simple avant que son dénominateur ne serve, et c’est cette étape qui empêche la réponse de sortir trop grande
4, 6, 10
Les dénominateurs réduits. Réduire d’abord est ce qui fait qu’ils valent 4, 6 et 10 plutôt que davantage — 6/8 apporterait 8 s’il n’était pas réduit en 3/4. Tout ce qui suit ne travaille plus que sur ces nombres ; les numérateurs n’ont aucune influence sur la réponse
ppcd = ppcm(4, 6, 10)
Tout le calcul en une ligne : le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs réduits. 4 vaut 2², 6 vaut 2 × 3 et 10 vaut 2 × 5, donc les nombres premiers nécessaires sont 2², 3 et 5, ce qui donne 4 × 3 × 5 = 60. Avec plus de deux fractions, cela se replie deux à deux : 4 et 6 donnent 12, puis 12 et 10 donnent 60
60
La réponse. Chaque dénominateur réduit le divise exactement, et aucun nombre plus petit ne le fait — c’est ce qui en fait le plus petit et pas seulement un dénominateur partagé
n × (60 ÷ d)
Comment chaque fraction est réécrite : on multiplie le numérateur par la réponse divisée par le dénominateur de cette fraction. Pour 3/4 cela donne 3 × 15 = 45, donc 3/4 devient 45/60. La valeur de la fraction ne change pas — le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre, et c’est précisément ce que signifie fractions équivalentes
45/60, 50/60, 42/60
Les fractions réécrites, toutes sur le dénominateur commun. Un nombre entier saisi apparaît ici avec le dénominateur attaché plutôt que ramené à lui-même : 2 revient sous la forme 4/2 quand la réponse vaut 2, parce qu’une ligne imprimée comme un entier nu dans cette colonne se lirait comme une ligne oubliée

Additionner des fractions de dénominateurs différents commence ici : 3/4 et 5/6 ne se combinent pas avant d’être tous les deux sur 12, et le dénominateur commun est la première ligne du brouillon. Comparer des fractions est la même étape — impossible de dire à l’œil si 5/6 dépasse 7/10, alors que 50/60 face à 42/60 tranche immédiatement, et le fait que les dénominateurs s’accordent signifie qu’il ne reste plus qu’à lire les numérateurs. La soustraction a la même exigence. Hors de la salle de classe, chaque fois que des quantités sont relevées dans des unités fractionnaires différentes, c’est le dénominateur partagé qui permet de les totaliser. Le tableau plus bas est la méthode à la main : les multiples de chaque dénominateur réduit, et le premier nombre présent dans toutes les colonnes. Deux raccourcis épargnent la plus grande partie du travail, et les deux reviennent souvent : un dénominateur qui est un multiple d’un autre peut être ignoré, et des dénominateurs qui ne partagent aucun nombre premier — 6 et 5, par exemple — se multiplient pour donner directement la réponse. Quand une fraction n’est pas sous sa forme la plus simple, la réduction n’est pas facultative, et il vaut mieux la faire en premier plutôt qu’en dernier, puisque c’est la seule étape dont l’omission produit une réponse qui a l’air tout à fait raisonnable. Quand vous voulez la réponse sans dérouler les listes, la calculatrice de PPCM calcule le même nombre à partir d’une liste d’entiers, et la calculatrice de PGCD traite la réduction qui doit précéder tout ceci.

Exemples détaillés

  1. Trois fractions : 3/4, 5/6 et 7/10

    1. Les trois sont déjà sous leur forme la plus simple, donc les dénominateurs à combiner sont 4, 6 et 10
    2. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. Multiples de 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. Le premier nombre présent dans les trois listes est 60, donc le plus petit dénominateur commun est 60
    6. 3/4 devient 45/60 parce que 60 ÷ 4 = 15 et 3 × 15 = 45
    7. 5/6 devient 50/60 parce que 60 ÷ 6 = 10 et 5 × 10 = 50
    8. 7/10 devient 42/60 parce que 60 ÷ 10 = 6 et 7 × 6 = 42

    La saisie par défaut. Le chemin par repli est plus court que les listes : 4 et 6 donnent 12, et 12 avec 10 donne 60. La colonne des fractions réécrites est la vérification utile, parce que chacune des trois nouvelles fractions doit être égale à celle qu’elle remplace — 45/60 vaut 3/4, 50/60 vaut 5/6 et 42/60 vaut 7/10, et si l’une d’elles ne l’était pas, c’est que le multiplicateur n’aurait été appliqué qu’à une seule partie de la fraction.

  2. Pourquoi les fractions sont réduites d’abord : 6/8 et 10/12

    1. 6/8 et 10/12 ne sont pas sous leur forme la plus simple
    2. On divise les deux parties de 6/8 par 2 : elle devient 3/4, dénominateur 4
    3. On divise les deux parties de 10/12 par 2 : elle devient 5/6, dénominateur 6
    4. Le plus petit commun multiple de 4 et 6 est 12, donc le plus petit dénominateur commun est 12
    5. 3/4 devient 9/12 et 5/6 devient 10/12
    6. Lire les dénominateurs non réduits aurait donné 8 et 12, dont le plus petit commun multiple est 24

    La réponse pour laquelle cette page existe. 24 n’est pas un dénominateur commun faux — 6/8 et 10/12 peuvent réellement s’écrire toutes les deux sur 24 — il n’est simplement pas le plus petit, et un panneau affichant 24 aurait l’air parfaitement normal. C’est la réduction qui les sépare, et c’est pourquoi le champ réduit chaque fraction avant de lire son dénominateur.

  3. Un nombre entier parmi les fractions : 1/2, 2 et 3

    1. 2 et 3 sont lus comme 2/1 et 3/1, de dénominateur 1
    2. Les dénominateurs à combiner sont 2, 1 et 1
    3. Tout entier est un multiple de 1, donc 1 n’apporte rien à la réponse
    4. Le plus petit commun multiple de 2, 1 et 1 est 2
    5. 1/2 reste 1/2, tandis que 2 devient 4/2 et 3 devient 6/2

    Les 4/2 et 6/2 sont délibérés et ne sont pas un échec de réduction. La page s’appelle « fractions avec le dénominateur commun » et chacune de ses lignes doit porter ce dénominateur, sinon une ligne imprimée comme un 2 nu se lirait comme une ligne laissée de côté. La valeur est la même dans les deux cas — 4/2 vaut 2 — et c’est le seul endroit de la page où une sortie a l’air non réduite à dessein.

  4. Près du plafond : 1/1 000 et 2/999 983

    1. 1 000 vaut 2³ × 5³ et 999 983 est premier, donc les deux dénominateurs ne partagent rien
    2. Quand rien n’est partagé, le plus petit commun multiple est le produit : 1 000 × 999 983 = 999 983 000
    3. La première fraction devient 999 983/999 983 000, parce que 999 983 000 ÷ 1 000 = 999 983
    4. La seconde devient 2 000/999 983 000, parce que 999 983 000 ÷ 999 983 = 1 000 et 2 × 1 000 = 2 000

    Deux dénominateurs qui ne partagent aucun nombre premier forment le cas où la réponse est aussi grande qu’elle peut l’être pour un couple donné, et cet exemple se place juste sous le plafond où la page s’arrête. Les numérateurs restent exacts ici — 999 983 est une valeur à six chiffres et tient encore dans la plage qu’une machine représente précisément — mais une fraction dont le numérateur serait plus grand pousserait le produit au-delà, et c’est pourquoi la page refuse passé un certain dénominateur plutôt que d’imprimer une réécriture arrondie.

Limites

Chaque fraction s’écrit numérateur/dénominateur avec les deux parties entières de 1 à 1 000 000, et il doit y en avoir entre deux et dix. Les nombres décimaux sont refusés plutôt que convertis : 0,75 n’est pas une fraction écrite sous forme de fraction, et la transformer en 3/4 serait deviner ce que l’auteur voulait dire. Un signe moins n’est accepté que devant le numérateur — 3/-4 est refusé, parce que le signe d’une fraction appartient à un seul endroit et que la page ne choisira pas à votre place. Un dénominateur nul est refusé, puisque rien ne se divise en zéro parts. Il y a un plafond, et il ne porte pas sur l’entrée mais sur la réponse : le plus petit dénominateur commun doit rester inférieur ou égal à 1 000 000 000, et au-delà la page refuse au lieu d’imprimer les fractions réécrites. La raison est que chaque numérateur réécrit vaut le numérateur d’origine multiplié par la réponse divisée par son propre dénominateur : un grand dénominateur commun fois un grand numérateur cesse donc d’être exact, et une réécriture inexacte aurait l’air de n’importe quelle autre ligne. Deux fractions constituent le minimum, parce qu’une fraction seule n’a rien avec quoi partager un dénominateur. Une fraction répétée dans la liste ne change rien, et un dénominateur qui est un multiple d’un autre est simplement redondant. Le tableau de référence plus bas est figé sur 1/2, 2/3 et 3/4 et ne suit pas votre saisie ; le panneau au-dessus répond à vos fractions, le tableau montre la méthode et les trois lignes réécrites. La réponse est exacte, jamais arrondie.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un dénominateur commun et le plus petit dénominateur commun ?
Tout nombre que chaque dénominateur divise est un dénominateur commun ; le plus petit est le plus petit de ces nombres. Pour 4, 6 et 10, 60 comme 120 sont des dénominateurs communs, et 60 est le plus petit. Seul le plus petit mérite d’être calculé à la main, parce qu’un plus grand signifie des nombres plus grands dans chaque fraction réécrite, et que c’est sur les grands nombres que les erreurs de calcul arrivent. La page renvoie toujours le plus petit.
Pourquoi les fractions sont-elles réduites avant que le dénominateur ne soit lu ?
Parce que deux fractions qui valent le même nombre peuvent avoir des dénominateurs différents. 6/8 et 3/4 sont égales, mais construire un dénominateur commun à partir de 8 donne 24 alors que la bonne réponse est 12. La mauvaise réponse n’est pas visiblement fausse — 24 est un vrai dénominateur commun de ces fractions — donc la page réduit chaque fraction à sa forme la plus simple d’abord, et l’exemple plus haut fixe ce cas.
Quel est le lien entre le plus petit dénominateur commun et le PPCM ?
C’est le même calcul sur des entrées différentes. Prenez les dénominateurs des fractions réduites et cherchez leur plus petit commun multiple : c’est le plus petit dénominateur commun. C’est pourquoi les deux pages de ce site s’accordent : 4, 6 et 10 ont pour plus petit commun multiple 60, et un ensemble de fractions ayant ces dénominateurs a 60 pour plus petit dénominateur commun. Les numérateurs n’entrent jamais dans la réponse.
Pourquoi un nombre entier revient-il avec un dénominateur attaché ?
Parce qu’un nombre entier saisi est lu comme une fraction sur 1, et que la colonne de sortie de cette page s’appelle « avec le dénominateur commun » — chacune de ses lignes doit porter ce dénominateur. 2 devient 4/2 quand la réponse vaut 2 : c’est la même valeur écrite sur le dénominateur partagé, et non une erreur de réduction. C’est le seul cas de la page où une sortie a l’air non réduite à dessein.
Quelle est la plus petite réponse possible ?
Le plus grand dénominateur réduit, quand tous les autres le divisent. Pour 1/2, 1/4 et 3/4 la réponse est 4, puisque 2 divise 4 et que 4 est lui-même. Elle ne peut pas être plus petite que le plus grand dénominateur, parce que la réponse doit être un multiple de chacun d’eux, et qu’un multiple d’un nombre n’est jamais inférieur à ce nombre.
Les numérateurs peuvent-ils changer la réponse ?
Non. Le plus petit dénominateur commun se calcule à partir des seuls dénominateurs, et 1/4 comme 3/4 ont le même. Les numérateurs apparaissent dans les fractions réécrites, où chacun est multiplié par la réponse divisée par son propre dénominateur : ils changent donc ce que disent les lignes, mais jamais en combien de parts chaque tout est découpé.

Références

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