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CalcMax

Calculatrice de taux d’intérêt

Intervalle : 100 – 10 000 000

Intervalle : 1 – 1 000 000

Intervalle : 1 – 600

Résultat

6,771 %

Taux annuel nominal (%)

Intérêts totaux
268 000,00
Total payé
468 000,00

Une calculatrice de taux d’intérêt fait le calcul à l’envers. Presque toutes les pages de ce groupe partent d’un taux et calculent une mensualité ; celle-ci part de la mensualité et calcule le taux. Saisissez le montant emprunté, ce que vous payez chaque mois et combien de mois vous payez, et la page retrouve le taux annuel que ces trois nombres impliquent, puis affiche en plus le total des intérêts. C’est le taux auquel les mensualités, actualisées à aujourd’hui, valent exactement la somme avancée — ni plus, ni moins. Sur 200 000 remboursés à 1 300 par mois pendant trente ans, ce taux est de 6,771 % par an. Payez 1 199,10 par mois et il vaut exactement 6 %, parce que 1 199,10 est la mensualité qu’exige un prêt de 6 % de cette taille et de cette durée. Deux choses rendent ce chiffre digne d’être compris et pas seulement lu. La première est ce qu’il mesure. La définition américaine du taux annuel effectif global en fait une mesure du coût du crédit, exprimée en taux annuel, qui relie le montant et le calendrier de la valeur reçue par le consommateur au montant et au calendrier des paiements effectués — c’est-à-dire exactement la relation que cette page résout, abordée du côté des paiements. La seconde est qu’il n’y a aucun champ de taux sur le panneau. Il n’existe nulle part où taper ce que quelqu’un vous a dit être le taux, donc la réponse ne peut pas en être contaminée : tout ce qui figure sur le panneau vient des flux que vous avez saisis. C’est ce qui fait de cette page la façon honnête de vérifier un prêt. Si un prêteur annonce 6 % et que la mensualité sur 200 000 sur trente ans en implique 7,4, alors 7,4 est ce que les paiements coûtent réellement, et l’écart est soit des frais intégrés au capital, soit une erreur dans l’annonce. Les deux valent d’être connus avant de signer. La convention à ne pas perdre de vue est la façon dont la réponse est annualisée. Le panneau affiche un taux annuel nominal : le taux mensuel trouvé par le solveur, multiplié par douze. C’est la convention des documents d’information sur le crédit, et c’est pourquoi un prêt à 6 % affiche 6,000 plutôt que les 6,168 que produirait une capitalisation si les intérêts étaient laissés à s’accumuler. Une seconde convention est celle de l’échéancier. Le solveur suppose la même mensualité chaque mois pendant toute la durée, ce qui est le prêt amortissable ordinaire. Si l’échéancier est autre — un remboursement in fine à la fin, une période à taux réduit suivie d’une autre plus lourde, des mensualités qui ne couvrent que les intérêts avant de passer au capital — alors le chiffre mensuel est une moyenne d’un échéancier que la page ne modélise pas, et le taux qu’elle affiche décrit cette moyenne plutôt que le prêt. Si vous voulez le taux d’un prêt qui facture des frais, la calculatrice de TAEG prend les frais en entrée et résout le même équation avec eux ; si vous connaissez déjà le taux et voulez la mensualité, la calculatrice de prêt est la même relation parcourue dans l’autre sens.

200 000 sur 360 mois, à cinq mensualités différentes

MensualitéTaux annuelIntérêts totauxTotal remboursé
10004.387160000360000
1199.16231676431676
13006.771268000468000
15008.232340000540000
200011.627520000720000

La durée est fixée à trente ans sur chaque ligne, donc le tableau pose une seule question de cinq façons : que dit une mensualité donnée ? Lisez les deux premières colonnes ensemble et la relation paraît violente — 300 de plus par mois, de 1 000 à 1 300, déplace le taux de plus de deux points, de 4,387 à 6,771. Ce n’est pas une bizarrerie du tableau mais de l’équation : sur les longues durées la mensualité est dominée par les intérêts, si bien qu’un petit changement de ce que vous payez correspond à un grand changement du taux qui le justifie. Les deux dernières colonnes montrent pourquoi le taux vaut la peine d’être résolu. Chaque ligne rembourse les mêmes 200 000, et l’écart entre la ligne du haut et celle du bas représente 360 000 d’intérêts — plus que le prêt lui-même. Si vous choisissez entre des offres, la mensualité est ce que vous sentirez chaque mois et le taux est ce que la différence vaut réellement ; ce tableau est la conversion entre les deux, pour une durée et un capital donnés. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1199.1 plutôt que 1 199,10), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

Montant versé = mensualité × [1 − (1 + taux mensuel)^(−nombre de mensualités)] ÷ taux mensuel Taux annuel = taux mensuel × 12

Montant emprunté
La somme avancée au départ, que les mensualités doivent rembourser exactement sur la durée — avec un échéancier à mensualité constante, cette équation admet un taux et un seul qui l’équilibre
Mensualité
La somme payée chaque mois pendant toute la durée, capital et intérêts réunis. C’est le chiffre que la plupart des emprunteurs connaissent avec certitude, et c’est pourquoi partir de lui est plus fiable que partir d’un taux annoncé
Nombre de mois
Le nombre de mensualités versées — la durée du prêt exprimée en mois, donc trente ans font 360. Multiplié par la mensualité, c’est aussi tout ce qui sort de votre compte
Taux mensuel
Le taux par mois qui rend les mensualités actualisées égales au montant emprunté : la grandeur que la page résout, et la seule inconnue de l’équation ci-dessus
Taux annuel
Le taux mensuel multiplié par douze, c’est-à-dire le taux annuel nominal — la même annualisation qu’effectue un document d’information sur le crédit, et non le taux effectif qu’on obtiendrait en capitalisant douze fois

À utiliser quand vous connaissez la mensualité plutôt que le taux, ce qui est la situation réelle d’un emprunteur. Les publicités annoncent des taux, mais le chiffre qui arrive sur un relevé chaque mois est la mensualité, et c’est la mensualité qui doit tenir dans un budget. Deux des usages les plus courants sont la vérification d’une offre et la comparaison de deux offres. Vérifier : un prêteur annonce 6 % sur 200 000 sur trente ans, ce qui devrait donner 1 199,10 par mois ; si le document écrit 1 250, saisissez 1 250 et la page renvoie 6,53 %, et la différence devient un chiffre que vous pouvez contester au lieu d’un doute. Comparer : deux offres au même taux annoncé mais avec des mensualités différentes ne sont pas la même offre, et une offre au taux annoncé plus élevé mais à mensualité plus faible n’est pas automatiquement la pire — saisissez chaque mensualité et comparez les taux obtenus, seul chiffre qui tienne compte à la fois du taux et de tout ce que la mensualité porte. Un troisième usage est celui qui surprend : saisir la somme réellement versée plutôt que le montant du contrat. Si 200 000 sont empruntés mais que 197 000 arrivent après des frais de dossier, résoudre sur 197 000 avec les mêmes mensualités renvoie un taux qui inclut les frais — c’est ce que la calculatrice de TAEG calcule depuis l’autre bout, et les deux doivent tomber d’accord au dernier chiffre.

Exemples détaillés

  1. 200 000 remboursés à 1 300 par mois sur trente ans

    1. Ce qui sort du compte : 1 300 × 360 = 468 000 remboursés au total
    2. Les intérêts sont la différence : 468 000 − 200 000 = 268 000
    3. Taux mensuel : le taux auquel 1 300 × [1 − (1 + i)⁻³⁶⁰] ÷ i = 200 000, soit i = 0,564242 % par mois
    4. Taux annuel : 0,564242 % × 12 = 6,771 %

    Le cas par défaut. Deux chiffres méritent d’être lus ensemble : les 6,771 % qu’impliquent les mensualités, et les 468 000 qui sortent réellement du compte — plus du double du montant emprunté. Les intérêts ne sont pas un petit supplément ajouté à un gros prêt : sur une durée de trente ans à ce taux, ils dépassent le capital. Notez aussi ce que la page n’affiche pas : si ce prêt capitalisait les intérêts au lieu de les amortir, le coût annualisé serait de 6,985 % plutôt que de 6,771 %, parce que le panneau annualise le taux mensuel linéairement. Pour un prêt dont les intérêts sont payés plutôt qu’accumulés, le chiffre linéaire est le bon.

  2. Le même prêt à exactement 6 %

    1. La mensualité qu’exige un prêt à 6 % : 200 000 × 0,005 × 1,005³⁶⁰ ÷ (1,005³⁶⁰ − 1) = 1 199,10 par mois
    2. En remontant depuis cette mensualité : le taux mensuel vaut 0,5 %
    3. Taux annuel : 0,5 % × 12 = 6 %, soit le taux dont on est parti
    4. Total remboursé : 1 199,10 × 360 = 431 676, dont 231 676 d’intérêts

    L’aller-retour, et la vérification utile : la mensualité que produit un prêt à 6 % est celle qui redonne 6 % quand on la réinjecte. Les 36,30 par mois qui séparent ce cas du précédent, c’est 6,771 % contre 6 % — une différence de 0,771 point de pourcentage qui coûte 36 324 sur la durée. C’est aussi le cas à utiliser quand une offre donne un taux et que vous voulez savoir ce que la mensualité devrait être avant de recevoir le document.

  3. 100 000 sur deux ans à 5 000 par mois

    1. Ce qui sort du compte : 5 000 × 24 = 120 000
    2. Les intérêts sont la différence : 120 000 − 100 000 = 20 000, soit un cinquième du capital
    3. Taux mensuel : le taux auquel 5 000 × [1 − (1 + i)⁻²⁴] ÷ i = 100 000, soit i = 1,51312 % par mois
    4. Taux annuel : 1,51312 % × 12 = 18,157 %

    Une durée courte change l’arithmétique d’une façon que le total peut masquer : 20 000 d’intérêts sur 100 000 ressemblent à 20 %, mais ils sont payés sur deux ans sur un capital qui diminue, si bien que le taux est de 18,157 % par an et non de 10. Plus la durée est courte, moins le capital restant dû est élevé en moyenne, ce qui explique que doubler le taux et diviser la durée par deux ne s’annulent pas. Le taux mensuel ici est de 1,513 %, et une carte qui facture 1,5 % par mois facture presque exactement cela.

Limites

Elle suppose un seul taux pour toute la durée. Un prêt à taux variable, une période fixe qui bascule ensuite sur un autre taux, ou un taux d’appel suivi du taux réel brisent tous cette hypothèse, et le taux unique affiché ici est une moyenne d’un échéancier qu’elle ne voit pas — utile pour comparer, faux comme description d’un mois donné. Elle suppose que la mensualité est la même chaque mois. Un remboursement in fine, une période où seuls les intérêts sont payés, ou tout échéancier progressif font de la mensualité saisie une moyenne sur une forme que la page ne modélise pas, et le taux trouvé sera tiré vers ce qu’étaient les premiers paiements. Elle ne modélise aucun frais. Tout ce que les mensualités portent est replié dans le taux trouvé : si la somme versée au titre du contrat n’est pas celle qui est arrivée sur votre compte, la réponse n’est ni le taux du contrat ni le TAEG tant que vous n’avez pas saisi le bon capital — et si vous saisissez ce qui est arrivé, la réponse est un taux qui inclut les frais, c’est-à-dire un TAEG obtenu par un autre chemin. Elle annualise linéairement, en multipliant le taux mensuel par douze : le chiffre qu’elle imprime n’est donc pas le taux annuel effectif et sera inférieur au chiffre capitalisé du même taux mensuel ; c’est la convention des documents d’information et non une erreur, mais les deux nombres ne sont pas interchangeables. Elle suppose que les mensualités sont payées exactement à échéance et qu’aucune n’est manquée ni remboursée par anticipation, deux choses qui changent ce que l’argent a réellement coûté. Elle ne peut pas résoudre tous les jeux d’entrées : si les mensualités sont trop faibles pour rembourser un jour le capital, quel que soit le taux, ou si une seule mensualité dépasse tout le capital, aucun taux n’équilibre l’équation et la page signale une erreur plutôt que d’en inventer une. Enfin, elle donne un taux et non un verdict : savoir si ce taux est légal, équitable ou meilleur que l’alternative est une question de marché, pas d’arithmétique — en France, un taux effectif global est plafonné par le taux d’usure, et un prêt qui le dépasse est un prêt usuraire.

Questions fréquentes

Comment retrouver le taux d’intérêt à partir d’une mensualité ?
Le taux est celui auquel la mensualité, répétée sur toute la durée du prêt puis actualisée à aujourd’hui, vaut exactement le montant emprunté. Il n’existe pas de réarrangement algébrique simple — l’inconnue est prise dans une puissance — et il faut donc résoudre par approximations successives, ce que cette page fait en quelques dizaines d’itérations. C’est le même calcul qu’effectue un prêteur pour produire le taux annuel effectif global, mené du côté des paiements plutôt que du côté du taux.
Pourquoi n’y a-t-il pas de champ pour le taux d’intérêt ?
Parce que tout l’intérêt de la page est de déduire le taux de ce que vous allez réellement payer. Si le taux était une entrée, la réponse ne serait que l’écho de ce qui aurait été tapé là. En l’omettant, le chiffre du panneau ne dépend que des trois choses que vous pouvez vérifier — ce qui a été emprunté, ce qui sort de votre compte chaque mois, et combien de fois — et ce sont aussi les trois choses qu’un prêteur ne peut pas contester facilement.
Le résultat est-il le même que le TAEG ?
C’est la même équation, et l’accord entre les deux chiffres dépend d’une seule entrée. Le TAEG relie la valeur réellement reçue aux paiements effectués, il tient donc compte des frais ; cette page relie ce que vous saisissez comme montant emprunté à ces mêmes paiements. Saisissez le montant du contrat et vous obtenez le taux du contrat, parce que les frais n’entrent pas dans l’arithmétique. Saisissez la somme arrivée sur votre compte après déduction des frais et vous obtenez le TAEG, parce que les frais sont alors dans l’arithmétique. Même calcul, capital différent.
Pourquoi le taux est-il plus bas que celui qu’on obtiendrait par capitalisation ?
Parce que le panneau multiplie le taux mensuel par douze au lieu de le capitaliser. Un prêt résolu à 6,771 % par an correspond à 0,564242 % par mois, et douze de ces taux multipliés entre eux donnent 6,985 % — l’écart, ce sont les intérêts sur les intérêts, qui ne se produisent pas sur un prêt amortissable puisque le capital diminue au lieu de s’accumuler. Multiplier le taux mensuel par le nombre de périodes est la convention que les documents d’information sur le crédit utilisent pour annualiser un taux périodique : le chiffre affiché ici correspond donc à ce qu’imprimerait un tel document.
Et si le prêt prévoit un remboursement in fine ou des mois sans capital ?
Alors une mensualité unique ne le décrit pas, et la réponse est une moyenne plutôt qu’un taux. Le solveur suppose la même mensualité chaque mois pendant toute la durée ; un échéancier qui se termine par un gros versement ou qui commence par une série de mois où seuls les intérêts sont payés a une autre forme, et le forcer dans une mensualité unique produit un taux trop élevé ou trop faible selon les paiements que vous avez moyennés. Sur ces prêts, demandez le TAEG : il est calculé à partir de l’échéancier réel, et non d’une moyenne de celui-ci.
La page trouve-t-elle toujours un taux ?
Non, et elle le dit plutôt que de deviner. Si les mensualités sont trop faibles pour rembourser le capital sur la durée, quel que soit le taux envisageable — 200 000 remboursés à 555 par mois sur trente ans ne soldent jamais la dette, quel que soit le taux — l’équation n’a pas de solution et la page signale une erreur. Il se passe la même chose dans l’autre sens, quand une mensualité dépasse à elle seule tout le capital sur une durée d’un mois, ou quand le nombre de mensualités n’est pas un entier positif. Dans ces cas, les entrées décrivent autre chose qu’un prêt, et aucun taux n’en ferait un.

Références

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