Calculatrice de force gravitationnelle

force gravitationnelle = G × m₁ × m₂ / r²

G

La constante gravitationnelle, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². C’est la constante la moins bien mesurée de la physique — la valeur recommandée porte une incertitude relative de 2,2 × 10⁻⁵, soit quatre ordres de grandeur ou plus de pire que la constante suivante — donc les derniers chiffres de n’importe quelle réponse de cette page ne veulent rien dire, et aucune valeur que vous pouvez saisir n’y changera rien

m₁

La masse du premier objet, en kilogrammes. Le champ accepte aussi les grammes, les tonnes et les livres, et il faut que ce soit une masse et non un poids : deux personnes de 70 kg sont simplement deux quantités de matière. Elle doit être positive, parce qu’un objet sans masse n’exerce aucune force gravitationnelle

m₂

La masse du second objet, dans les mêmes unités et sous la même règle. Les deux masses entrent dans la formule multipliées l’une par l’autre, donc elles sont interchangeables — les permuter ne change rien, et c’est pourquoi la page n’a pas besoin de dire laquelle est laquelle

r

La distance entre les deux centres de masse, en mètres, et non l’écart entre leurs surfaces. Un satellite à 400 km au-dessus du sol se trouve à 6 771 km du centre de la Terre, et c’est ce second nombre que l’équation réclame. Le champ accepte aussi les kilomètres, les centimètres, les pieds et les miles, et la valeur doit être positive

F

La force gravitationnelle que les deux objets exercent l’un sur l’autre, en newtons et en livres-force, en notation scientifique. C’est une seule force et non deux : la Terre vous attire avec 687 N et vous attirez la Terre avec 687 N en sens opposé. La seconde ligne de résultat est le même nombre converti, et non un second résultat

Prenez cette page quand vous avez deux masses et la distance qui les sépare, et que vous cherchez l’attraction : la force qui retient la Lune sur son orbite, l’attraction entre un satellite et la planète qu’il contourne, la question de savoir si la force gravitationnelle entre deux masses de laboratoire est seulement mesurable (elle ne l’est pas — elle vaut environ 10⁻⁷ N, et c’est pourquoi l’expérience a attendu 1798), ou ce que serait la gravité de surface d’un astre si vous injectiez sa propre masse et son propre rayon dans cette même équation. Ce dernier calcul est exactement ce que contient le tableau ci-dessous : huit astres dont la gravité de surface est obtenue ainsi, et c’est ce nombre qui décide de ce que vous pèseriez sur chacun. Deux points valent la peine d’être vérifiés avant de faire confiance à une réponse. D’abord, r est une distance entre les centres : mettre l’altitude à la place du rayon surestime gravement la force, d’un facteur d’environ 290 à 400 km, tandis qu’ignorer l’altitude et n’utiliser que le rayon de l’astre la sous-estime d’un peu plus de dix pour cent, un écart qui grandit avec l’altitude. Ensuite, la formule traite chaque objet comme un point, ce qui est exact pour des sphères et une bonne approximation pour tout ce qui est petit devant r — mais deux objets presque en contact en sortent complètement.

1. Deux personnes de 70 kg, à un mètre l’une de l’autre

   1. Masses : 70 kg et 70 kg, et la distance entre leurs centres est de 1 m
   2. Produit des masses : 70 × 70 = 4 900 kg²
   3. Carré de la distance : 1² = 1 m²
   4. Force : 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4 900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. En livres-force : 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Un tiers de micronewton, et c’est la réponse qui fait tenir tout le sujet : deux personnes côte à côte s’attirent avec à peu près la force que pèseraient quelques dizaines de microgrammes de matière, et rien dans la vie quotidienne ne le laisse voir. Remarquez que l’arithmétique ne quitte jamais l’exposant — 4 900 ne fait que quatre chiffres, et ce qui réduit la réponse c’est le 10⁻¹¹. C’est en ce sens que la gravitation est faible : non pas que la constante soit petite devant d’autres nombres, mais qu’elle est petite devant tout ce qu’un être humain peut produire comme masse.

2. La Terre et la Lune

   1. Masses : 5,972 × 10²⁴ kg pour la Terre, 7,342 × 10²² kg pour la Lune
   2. Distance entre les centres : 384 400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Produit des masses : 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. Carré de la distance : (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Force : 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. En livres-force : 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ N représente à peu près 200 exanewtons, et c’est le nombre qui fait croire que la gravitation est forte — c’est la force qui fait tourner tous les mois un corps situé à 384 400 km. Comparez-le à l’exemple précédent et toute la leçon est dans les exposants : les masses ont grandi d’un facteur d’environ 10⁴⁴, la distance d’environ 3,8 × 10⁸ (donc 1,5 × 10¹⁷ une fois au carré), et la force de 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷. Rien dans la loi n’a changé entre les deux calculs : seule la quantité de matière de part et d’autre a changé.

3. La Terre et une personne de 70 kg debout dessus

   1. La distance que réclame la formule est le rayon moyen de la Terre : 6 371 km = 6,371 × 10⁶ m, et non la distance au sol sous vos pieds
   2. Produit des masses : 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ kg²
   3. Carré de la distance : (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ m²
   4. Force : 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 N
   5. En livres-force : 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   C’est le même 687 N que votre pèse-personne affiche comme 70 kg, et il vaut la peine d’être clair : le pèse-personne mesure une force et divise par 9,8 pour afficher une masse. C’est aussi la seule ligne de cette page qui retombe dans l’écriture ordinaire : la réponse se situe entre 10⁻³ et 10⁶, donc la page la laisse en 687,398 plutôt que de la réécrire en 6,874 × 10². Et le chiffre est un peu bas exprès — il utilise le rayon moyen, si bien qu’une personne à l’équateur est à 21 km de plus du centre qu’une personne au pôle, et ce nombre unique est la moyenne des deux.

La plus grande limitation n’est pas dans le modèle mais dans la constante. G n’est connue qu’à environ quatre chiffres significatifs — la valeur recommandée par le CODATA est 6,67430 avec une incertitude de 15 sur les deux derniers chiffres, soit une incertitude relative de 2,2 × 10⁻⁵ — et c’est la constante la moins bien mesurée de la physique, de quatre ordres de grandeur ou plus pire que la constante suivante. Chaque réponse de cette page a donc un quatrième chiffre qui est de la décoration : 1,980 × 10²⁰ N s’écrit en réalité 1,98 × 10²⁰ N, et saisir des masses plus précises n’y changera rien. Au-delà de cela, l’équation traite les deux objets comme des points, ce qui n’est exact que pour des sphères ; elle ignore toutes les autres forces, donc elle ne dit rien de savoir si les deux corps sont réellement en orbite ou en train de tomber l’un vers l’autre ; elle ignore la relativité générale, qui compte pour le périhélie de Mercure et pour tout ce qui approche un trou noir ; et elle suppose les masses constantes, ce qui échoue pour une fusée ou pour une comète qui s’évapore. Du côté des petites distances, le modèle est aussi employé hors de son domaine : deux objets à un millimètre l’un de l’autre ne se décrivent pas bien comme des points, et l’attraction entre deux atomes relève de la chimie et non de cette équation, ce qui explique que le champ de distance s’arrête à 1 mm. Enfin, les gravités de surface du tableau utilisent les rayons moyens et supposent un astre parfaitement sphérique et sans rotation, si bien que la ligne de la Terre donne 9,82 m/s² plutôt que la valeur normale définie de 9,80665 m/s².

Quelle est la formule de la force gravitationnelle ?

F = G × m₁ × m₂ / r², où G est la constante gravitationnelle 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², les deux termes m sont les masses en kilogrammes et r est la distance entre leurs centres en mètres. Deux personnes de 70 kg à un mètre l’une de l’autre donnent 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4 900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ N. Le r² au dénominateur est ce qui en fait une loi en carré inverse : écartez les deux objets deux fois plus et la force tombe au quart, et non de moitié.

Pourquoi la force gravitationnelle entre deux personnes est-elle si petite ?

Parce que G lui-même est petit : 6,6743 × 10⁻¹¹, soit onze ordres de grandeur sous 1. Les masses sont la seule chose qui travaille dans l’autre sens, et 70 kg chacune ne font pas beaucoup de matière. Mettez la même équation au travail avec une planète d’un côté et l’exposant bascule : la Terre et la Lune s’attirent avec 1,98 × 10²⁰ N. Rien dans la loi ne diffère entre ces deux cas — la gravitation est faible, et il faut la matière d’une planète pour qu’elle paraisse le contraire, ce qui explique que la force qui tient le système solaire ensemble soit celle qui ne peut pas rapprocher deux personnes.

r est-il la distance entre les surfaces ou entre les centres ?

Entre les centres, toujours. Pour une personne debout sur la Terre, r est le rayon de la Terre, 6 371 km, et non zéro. Pour un satellite à 400 km d’altitude, r vaut 6 771 km et non 400 km — l’altitude est une distance de surface et il faut y ajouter le rayon. C’est la façon la plus courante de se tromper, et la taille de l’erreur mérite d’être vue : saisir l’altitude de 400 km à la place du rayon rend la force environ 290 fois trop grande, tandis que laisser l’altitude de côté et n’utiliser que 6 371 km la laisse encore environ 12 pour cent trop grande.

Qu’est-ce que la gravité de surface et comment est-elle calculée ici ?

La gravité de surface est l’accélération qu’un astre communique à ce qui se tient dessus, g = GM/R², et c’est la même formule de force gravitationnelle avec la seconde masse mise à 1 et r mis au rayon de l’astre lui-même. Le tableau de cette page fait exactement cela pour huit astres : la Lune donne 1,62 m/s², la Terre 9,82 m/s² et le Soleil 274 m/s². Ce nombre est ce qui décide de ce que vous pèseriez là-bas — une personne de 70 kg a besoin de 687 N sur Terre, de 113 N sur la Lune et d’environ 19 kN sur le Soleil, ce qui explique que la question d’atterrir sur le Soleil soit réglée avant même celle de la température.

Quelle est la précision de ce calcul ?

Environ quatre chiffres significatifs, et la limite est la constante et non l’arithmétique. G est la constante la moins bien connue de la physique : la valeur recommandée est 6,67430 avec une incertitude de 15 sur les deux derniers chiffres, soit une incertitude relative de 2,2 × 10⁻⁵, quatre ordres de grandeur ou plus de pire que la constante suivante. Donc 1,980 × 10²⁰ N se lit 1,98 × 10²⁰ N, et saisir les masses à dix chiffres n’ajoutera pas un cinquième chiffre significatif. Les masses et les distances saisies sont de toute façon le maillon le plus lâche — la masse de la Terre est connue à environ une partie sur 10⁵, et la valeur utilisée ici est le rayon moyen plutôt que le rayon à votre latitude.

L’objet le plus lourd attire-t-il plus fort, ou attirent-ils autant ?

Autant. Les deux masses sont multipliées ensemble dans la formule, donc la force de la Terre sur vous et la force de vous sur la Terre sont les mêmes 687 N en sens opposés — il n’y a aucun sens dans lequel la Terre attirerait plus fort. Ce qui diffère, c’est ce que cette force produit : 687 N vous accélèrent à 9,82 m/s² et accélèrent la Terre à 1,15 × 10⁻²² m/s², ce qui explique que vous tombiez et que la planète ne bouge pas visiblement. Le même raisonnement explique pourquoi cette page n’a besoin que d’une distance et d’un seul résultat, et non d’une paire de forces.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology