Calculatrice de taux effectif

Taux annuel effectif = (1 + taux nominal ÷ nombre de périodes)^(nombre de périodes) − 1 Taux périodique = taux nominal ÷ nombre de périodes Limite continue = e^(taux nominal) − 1

Taux annuel nominal

Le taux affiché par an avant toute capitalisation — l’entrée que cette page partage avec la calculatrice de rendement annuel, et le chiffre auquel la colonne du gain se mesure

Périodes de capitalisation par an

N’importe quel nombre entier de 1 à 365 : 1 pour annuelle, 12 pour mensuelle, 26 pour bimensuelle, 52 pour hebdomadaire, 365 pour quotidienne. C’est le champ qui distingue la page, parce que c’est un nombre et non un choix dans une liste — un rythme bimensuel n’a aucune entrée sur un menu à six items

Taux périodique

Le taux nominal divisé par le nombre de périodes, c’est-à-dire le taux appliqué à chaque étape de capitalisation et celui qu’un document d’information sur le crédit annualiserait en le remultipliant par ce nombre

Taux annuel effectif

Ce que donne une année à ce taux périodique, c’est-à-dire le chiffre qui permet de comparer deux comptes et la même grandeur qu’un document d’information sur un dépôt appelle le rendement annuel lorsque le nombre de périodes vaut 365

Gain par rapport au taux nominal

Le taux effectif moins le taux nominal — la capitalisation exprimée en points de pourcentage. Il monte avec le nombre de périodes, mais bien plus vite avec le taux, et il est borné par la limite continue

Limite de la capitalisation continue

Le taux annuel effectif quand le nombre de périodes croît sans borne : la base du logarithme népérien élevée au taux nominal, moins un. C’est le plafond de la quatrième colonne, et la raison pour laquelle un nombre de périodes au-delà de 365 n’achète rien qui vaille

À utiliser quand le rythme de capitalisation est un nombre plutôt qu’un nom. Les deux cas qui reviennent le plus sont l’hebdomadaire et le bimensuel : un produit d’épargne qui crédite des intérêts chaque semaine capitalise 52 fois par an, un prêt ou un compte sur un cycle bimensuel capitalise 26 fois, et ni l’un ni l’autre n’est un choix qu’une liste de six fréquences peut offrir. Le deuxième cas est la vérification du calcul d’un autre : un taux annoncé comme 5,116 % correspond à une capitalisation mensuelle, et si le nombre de périodes qui produit 5,116 est 12, alors 12 est bien la fréquence que le compte applique, quoi qu’en dise le marketing. Le troisième cas est celui qui rend la limite continue utile sur le panneau : elle répond à la question de la marge qui reste au-dessus de la fréquence qu’on vous propose. À 5 % nominal, la distance entre la capitalisation quotidienne et la limite est de 0,0004 point de pourcentage : un compte qui annonce une capitalisation continue à ce taux offre donc à peu près exactement ce qu’un compte capitalisé quotidiennement verse. À 50 %, l’écart est plus large — 64,816 % à 365 périodes contre 64,872 % en continu — mais même là il ne vaut que six centièmes de point, parce que l’exponentielle s’aplatit vite. La seule chose à garder en tête est que cette page annualise deux fois : une fois linéairement, dans la colonne du taux périodique, et une fois avec capitalisation, dans le taux effectif. La version linéaire est celle qu’utilise un document d’information sur le crédit et elle n’est pas fausse — c’est une convention — mais elle ne peut pas vous dire ce qu’une année sur le compte vaut, ce à quoi sert le taux effectif. Comparer un prêt annoncé à 12 % par an avec un compte qui annonce 1 % par mois est exactement la comparaison que tranche la quatrième colonne de cette page.

1. 5 % capitalisés 24 fois par an

   1. Taux périodique : 5 % ÷ 24 = 0,20833 % par période
   2. Taux annuel effectif : 1,0020833²⁴ − 1 = 5,1219 %, affiché 5,122
   3. Gain par rapport au taux nominal : 5,122 % − 5 % = 0,122 point de pourcentage
   4. Limite continue : e^0,05 − 1 = 5,1271 %, affiché 5,127

   Le cas par défaut, et un nombre de périodes qu’aucun menu déroulant ne propose : vingt-quatre périodes par an correspondent à un rythme bimensuel, et le résultat se place entre le mensuel (5,116) et le bimensuel à 26 périodes (5,125), exactement là où l’arithmétique le prévoit. La limite continue n’est que 0,005 point au-dessus, ce qui est le point que la page répète : aux taux ordinaires, l’essentiel de l’effet de capitalisation est déjà dépensé quand on arrive à deux fois par mois.

2. Les mêmes 5 % capitalisés chaque semaine — 52 périodes

   1. Taux périodique : 5 % ÷ 52 = 0,09615 % par semaine
   2. Taux annuel effectif : 1,0009615⁵² − 1 = 5,1246 %, affiché 5,125
   3. Gain par rapport au taux nominal : 5,125 % − 5 % = 0,125 point de pourcentage
   4. Limite continue : e^0,05 − 1 = 5,1271 %, affiché 5,127

   La capitalisation hebdomadaire, c’est-à-dire la raison d’être de cette page : 52 n’est une fréquence sur aucun des menus déroulants standards, et la réponse obtenue est plus proche du quotidien (5,127) que du mensuel (5,116) — 0,125 point de gain contre 0,116, soit neuf millièmes de point d’écart. Choisir entre un compte capitalisé chaque semaine et un compte capitalisé chaque mois au même taux, c’est choisir entre 5,125 et 5,116 ; un dixième de point sur le taux lui-même vaut dix fois cela.

3. 36 % capitalisés mensuellement — là où le gain cesse d’être petit

   1. Taux périodique : 36 % ÷ 12 = 3 % par mois
   2. Taux annuel effectif : 1,03¹² − 1 = 42,576 %
   3. Gain par rapport au taux nominal : 42,576 % − 36 % = 6,576 points de pourcentage
   4. Limite continue : e^0,36 − 1 = 43,333 %

   La même fréquence mensuelle qui gagne 0,116 point à 5 % en gagne 6,576 à 36 % — cinquante-sept fois plus pour un taux sept fois plus grand, ce qui est la relation quadratique en action. C’est aussi pourquoi un taux mensuel de 3 % ne peut pas être présenté comme 36 % par an sans induire en erreur : l’année coûte 42,576 %, et l’écart est plus grand que la plupart des frais dont on discute.

Elle suppose que le taux nominal tient toute l’année et que le nombre de périodes est bien celui que le compte applique. Un taux qui se réinitialise, une période promotionnelle ou un rythme de capitalisation qui change avec le solde font tous de ces chiffres un instantané plutôt qu’une description de l’année. Elle suppose que le nombre de périodes est entier, ce qui explique que la saisie soit plafonnée à 365 et refuse les fractions — mais les comptes réels ne capitalisent pas toujours sur un nombre fixe : un compte qui capitalise sur les jours réels de chaque mois capitalise 365 fois une année commune et 366 une année bissextile, et un établissement qui calcule sur une base de 360 jours ne correspondra pas du tout à cette page. Elle ne modélise ni les versements ni les retraits : elle décrit donc un solde intact et non l’année d’un épargnant. Elle n’inclut pas les frais, ce qui est toute la différence entre ce taux annuel effectif et un TAEG sur un prêt. La limite continue qu’elle affiche est un plafond mathématique plutôt qu’un taux versé à quiconque, et aucun établissement ne capitalise en continu ; elle figure sur le panneau parce que c’est le nombre qui dit combien de capitalisation il reste, et qu’aux taux ordinaires la réponse est très peu. Enfin, ce n’est pas un document d’information : le rendement annoncé d’un compte de dépôt est calculé selon la réglementation telle qu’écrite, y compris ses règles sur les taux par paliers, les taux progressifs et les dépôts à terme de plus d’un an, dont aucune n’est implémentée ici.

Qu’est-ce que le taux effectif ?

C’est le taux annuel qui résulte d’un taux annuel nominal capitalisé à une certaine fréquence. Un nominal de 5 % capitalisé mensuellement donne 5,116 % effectif, parce que les intérêts de chaque mois rapportent eux-mêmes des intérêts pendant le reste de l’année. Le taux effectif est toujours au moins égal au taux nominal, et l’écart entre les deux, c’est la capitalisation : c’est pourquoi le taux effectif est celui qui sert à comparer des comptes et le taux nominal celui qu’on cite.

Pourquoi saisir un nombre de périodes plutôt que choisir une fréquence ?

Parce que les fréquences avec lesquelles les gens vivent réellement ne figurent pas toujours sur la liste. La capitalisation hebdomadaire fait 52 périodes par an et la bimensuelle 26, et ni l’une ni l’autre n’apparaît sur un sélecteur standard à six items. Saisir le nombre permet aussi de répondre à des questions qu’une liste ne sait pas poser : ce que rapporterait un nombre de 3, ce que donne un rythme inhabituel, et combien il reste entre le nombre que vous avez et la limite continue.

À quoi sert la limite de la capitalisation continue ?

C’est le plafond vers lequel tend le taux effectif quand le nombre de périodes augmente : la base du logarithme népérien élevée au taux nominal, moins un. À 5 % elle vaut 5,1271 %, et la capitalisation quotidienne à 365 périodes atteint déjà 5,127 %, soit quatre dix-millièmes de point en dessous. La limite n’est donc pas un produit que quiconque propose : c’est ce qui permet de constater qu’au-delà de la capitalisation quotidienne il ne reste presque rien à gagner, du moins aux taux ordinaires.

Quelle importance a le nombre de périodes ?

Bien moins que le taux. À 5 % nominal, passer de la capitalisation annuelle à la mensuelle gagne 0,116 point de pourcentage, de la mensuelle à l’hebdomadaire 0,009, et de l’hebdomadaire à la limite continue 0,002. Mais le gain croît comme le carré du taux : à 36 % capitalisés mensuellement il atteint 6,576 points. C’est donc dans un produit à taux élevé que la fréquence compte, et dans un produit à taux faible qu’elle ne compte pas — un quart de point sur le taux vaut plus que n’importe quel changement de fréquence à 5 %.

Le taux périodique est-il le taux réellement appliqué à chaque période ?

C’est le découpage linéaire : le taux nominal divisé par le nombre de périodes. Sur un document d’information sur le crédit, c’est la convention, et remultiplier le taux périodique par le nombre de périodes redonne exactement le taux nominal. Ce que ce n’est pas, c’est le taux équivalent — 5 % découpés en douze donnent 0,41667 % par mois, et 0,41667 % capitalisés douze fois donnent 5,116 %, et non 5. La colonne du taux périodique et celle du taux effectif sont les deux moitiés de ce constat.

Le nombre de périodes peut-il dépasser 365 ?

Mathématiquement oui, mais cela n’a aucun intérêt et cette page ne le permet pas. À 500 périodes par an le taux effectif vaut 5,1270 % contre une limite continue de 5,1271 % — moins d’un millième de point au-dessus de la capitalisation quotidienne. Rien ne verse d’intérêts plus souvent que quotidiennement, et la saisie s’arrête à 365 parce qu’au-delà la réponse cesse de bouger.

• 12 CFR Part 1030, Appendix A (Annual Percentage Yield Calculation) — APY = 100[(1 + Interest ÷ Principal)^(365 ÷ Days in term) − 1], and the assumed 365-day term for an account without a stated maturity — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• 12 CFR 1030.2(c) — annual percentage yield: a percentage rate reflecting the total amount of interest paid on an account, based on the interest rate and the frequency of compounding for a 365-day period; 365 periods is the count at which this page's first output is that figure — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• 12 CFR 1026.14(c)(1) and its accompanying commentary — the annual percentage rate may be computed by multiplying each periodic rate by the number of periods in the year, which is the linear annualisation this page prints as the periodic rate rather than as the effective rate — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)