Calculatrice du théorème de Bayes

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

La probabilité a priori de la condition, saisie en pourcentage — ce que vous croyiez avant que la preuve n’arrive. Elle pèse plus lourd qu’on ne l’attend : quand elle est petite, il faut énormément de preuves pour la déplacer loin

P(E | A)

La probabilité d’observer la preuve quand la condition est présente. Dans un test, c’est le taux de détection, ou sensibilité — la part des vrais cas que le test attrape

P(E | ¬A)

La probabilité d’observer la même preuve quand la condition est absente. Dans un test, c’est le taux de faux positifs, et c’est le terme qui fait le plus de dégâts quand il n’est pas petit

P(¬A)

La probabilité que la condition soit absente, soit 100 % moins la probabilité a priori. Le dénominateur additionne les deux façons dont la preuve peut apparaître, pondérées par la fréquence de chaque état

P(E)

La probabilité globale de la preuve, observée dans la population que la condition soit remplie ou non. C’est le dénominateur, et le panneau l’affiche séparément parce qu’une petite valeur ici est ce qui fait bouger la probabilité a posteriori si fortement

P(A | E)

La probabilité a posteriori : la croyance après la preuve. Le panneau de résultats affiche aussi son complément, car « le test est positif et il reste 85 % de chances de ne pas avoir la condition » est souvent la phrase qui communique réellement le nombre

Utilisez-la dès qu’un résultat de test doit être lu en regard de la fréquence réelle de ce que l’on cherche : un test de dépistage dans une population de faible prévalence, un filtre anti-spam qui lit un mot, un contrôle diagnostique sur une panne rare, ou toute situation où un résultat positif est traité comme une preuve. C’est aussi le bon outil pour la question inverse — déterminer à quel point un test doit être bon pour qu’un résultat positif signifie quelque chose, ce qui est en général un nombre bien plus utile que la probabilité a posteriori pour une probabilité a priori particulière. Prenez-la quand vous avez une probabilité a priori qui vaut la peine d’être énoncée ; quand vous n’avez aucune idée de ce qu’elle devrait être, la réponse honnête est que la probabilité a posteriori sera dominée par cette ignorance, et le panneau peut vous montrer exactement à quel point.

1. Une condition à 1 %, un taux de détection de 90 % et 5 % de faux positifs

   1. Prenez 10 000 personnes : environ 100 ont la condition et 9 900 ne l’ont pas
   2. Sur les 100 qui l’ont, 90 % testent positif, soit environ 90 vrais positifs
   3. Sur les 9 900 qui ne l’ont pas, 5 % testent positif aussi, soit environ 495 faux positifs
   4. Un résultat positif vient donc de 90 + 495 = 585 personnes, et 90 / 585 = 15,38 %

   C’est le cas autour duquel toute la page est construite, et l’arithmétique des étapes en est la raison. Compter des personnes rend le mécanisme visible : le taux de faux positifs s’applique à un groupe quatre-vingt-dix-neuf fois plus grand que celui qui porte la condition, il produit donc cinq fois et demie plus de positifs que le taux de détection n’en produit de vrais. La probabilité a posteriori de 15,38 % n’est pas une affirmation que le test est mauvais — un taux de détection de 90 % est bon —, c’est une affirmation que la condition était assez rare pour que les erreurs dépassent les réussites. Le complément de 84,62 % dit la même chose par l’autre bout, et le décalage de 14,38 points de pourcentage est ce que vaut réellement, ici, un test de cette qualité.

2. Une condition à 2 % et un test précis à 99 %

   1. Prenez 10 000 personnes : environ 200 ont la condition et 9 800 ne l’ont pas
   2. Sur les 200 qui l’ont, 99 % testent positif : environ 198 vrais positifs
   3. Sur les 9 800 qui ne l’ont pas, 1 % testent positif quand même : environ 98 faux positifs
   4. Un résultat positif vient de 198 + 98 = 296 personnes, et 198 / 296 = 66,89 %

   Même un test qui ne se trompe qu’une fois sur cent laisse un tiers de ses résultats positifs erronés, parce qu’il s’applique à un groupe quarante-neuf fois plus grand. Montez la précision à 99,9 % sur les mêmes 452 personnes sur 10 000 et la probabilité a posteriori franchit les 95 % — ce qui montre que les deux leviers ne sont pas interchangeables. Le taux de détection fixe le nombre de vrais positifs obtenus, et le taux de faux positifs fixe le bruit dans lequel ils sont enfouis ; améliorer le second rapporte en général bien plus qu’améliorer le premier, et cet exemple est la façon la moins coûteuse de le voir avant de commander un meilleur test.

3. Une preuve qui plaide contre la condition

   1. En partant d’une probabilité a priori équilibrée : 50 % pour la condition et 50 % contre
   2. La preuve est cinq fois plus probable quand la condition est absente (90 % contre 5 %)
   3. Le dénominateur vaut 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, donc la preuve elle-même est assez probable
   4. La probabilité a posteriori vaut 0,025 / 0,475 = 5,26 %, soit une chute de 44,74 points de pourcentage

   Le décalage négatif est la partie sur laquelle il faut s’arrêter, et la raison d’être de l’unité en points de pourcentage. Une chute de 50 % à 5,26 % est une baisse de 44,74 points de pourcentage ; ce n’est pas une baisse de 44,74 %, ce qui voudrait dire que la probabilité a posteriori s’est arrêtée vers 27,6 %. Lire le décalage comme une variation relative est la façon standard de citer ce panneau de travers, et le signe est ce qui vous dit que la preuve pointait dans l’autre sens. Notez aussi que la preuve ici est banale — 47,5 % de chances d’apparaître — tout en étant fortement informative, parce que le pouvoir informatif vient du rapport entre les deux vraisemblances et non du caractère rare de la preuve.

La probabilité a posteriori ne vaut que ce que valent les trois nombres que vous saisissez, et la probabilité a priori est celui que l’on est le plus tenté d’inventer. Quand la condition est rare, la probabilité a posteriori est dominée par la probabilité a priori et par le taux de faux positifs : une estimation optimiste de l’une ou de l’autre produit donc une réponse assurée et fausse, et le panneau ne peut pas vous dire que votre probabilité a priori était une supposition. Deux autres mises en garde. Les vraisemblances sont traitées comme exactes, si bien qu’un taux de détection cité d’une petite étude de validation est utilisé avec une précision qu’il n’a pas. Et le calcul porte sur une seule preuve lue une seule fois : appliquer deux fois le même test n’équivaut pas à appliquer deux tests indépendants, parce qu’un second résultat du même instrument imparfait est corrélé au premier — réinjecter la probabilité a posteriori comme nouvelle probabilité a priori surestimera ce qu’apporte le second test. Quand la preuve est impossible dans tous les états — les deux vraisemblances à 0 %, ou un taux de faux positifs de 0 % face à une probabilité a priori de 0 % — le dénominateur est nul et il n’y a aucune probabilité a posteriori à afficher, parce que conditionner sur ce qui ne peut pas arriver n’est pas une question qui a une réponse.

Pourquoi un test précis à 90 % ne donne-t-il que 15 % de chances d’avoir la condition ?

Parce que la précision sur les personnes qui ont la condition et la précision sur celles qui ne l’ont pas sont deux nombres différents, et que le second se multiplie par un groupe bien plus grand. Avec une prévalence de 1 %, les personnes sans la condition sont quatre-vingt-dix-neuf fois plus nombreuses que celles qui l’ont, donc un taux de faux positifs de 5 % produit des centaines de faux positifs là où un taux de détection de 90 % produit des dizaines de vrais positifs. Le test fait son travail ; la condition est simplement assez rare pour que ses erreurs dépassent ses détections. C’est le taux de base à l’œuvre, et c’est pourquoi la probabilité a priori est une entrée obligatoire et non une réflexion après coup.

Que sont les points de pourcentage de la ligne de décalage ?

C’est la différence entre la probabilité a priori et la probabilité a posteriori, mesurée en points de pourcentage plutôt qu’en variation relative. Passer de 50 % à 5,26 % est un décalage de −44,74 points de pourcentage ; ce n’est pas une baisse de 44,74 %, ce qui voudrait dire que la probabilité a posteriori s’est arrêtée près de 27,6 %. La distinction compte surtout pour les grands mouvements, où la lecture relative est complètement fausse, et le signe est ce qui vous dit dans quel sens la preuve a poussé — un décalage négatif signifie que la preuve plaidait contre la condition.

Puis-je réutiliser la probabilité a posteriori comme probabilité a priori du test suivant ?

Seulement si la seconde preuve est réellement indépendante de la première. Deux résultats du même test ne sont pas indépendants : un faux positif à une exécution rend un faux positif à la suivante plus probable, parce que l’instrument a le même défaut les deux fois. Réinjecter la probabilité a posteriori comme nouvelle probabilité a priori surestimera quoi qu’il en soit ce qu’apporte le second résultat — parfois largement. Quand la preuve est vraiment indépendante, mettre à jour en deux étapes donne le même résultat que mettre à jour une seule fois avec les deux preuves à la fois, donc le raccourci est sûr exactement quand l’hypothèse d’indépendance tient.

Que signifie la ligne de la probabilité de la preuve ?

C’est la probabilité globale d’observer la preuve, que la condition soit présente ou non — le dénominateur du théorème, qui pondère chaque vraisemblance par la fréquence de son état. Elle vaut la peine d’être affichée parce qu’elle explique l’ampleur du saut : quand la preuve est globalement rare, une probabilité a posteriori loin de la probabilité a priori est attendue, et quand la preuve est fréquente il faut un rapport de vraisemblances fort pour déplacer quoi que ce soit. Dans le premier exemple, la preuve apparaît chez 5,85 % des personnes, et c’est pourquoi un seul résultat positif peut déplacer la croyance aussi loin.

Quand n’y a-t-il aucune réponse ?

Quand la preuve est impossible dans tous les états, ce qui annule le dénominateur et laisse le conditionnement indéfini. Cela se produit si les deux vraisemblances valent 0 %, si la probabilité a priori vaut 0 % avec un taux de faux positifs de 0 %, ou si la probabilité a priori vaut 100 % avec un taux de détection de 0 % — dans chaque cas la preuve ne peut pas survenir, donc « sachant la preuve » est une condition vide. Le panneau signale une erreur au lieu de renvoyer 0 % ou 50 %, parce qu’il n’y a pas de probabilité à afficher plutôt qu’une probabilité nulle.

La calculatrice donne-t-elle aussi le rapport de vraisemblances ?

Non, et la raison est que la forme en cotes casse aux extrémités de la plage d’entrée. Les cotes d’un événement sont sa probabilité divisée par un moins cette probabilité, donc une probabilité a priori de 100 % donne des cotes infinies, et les afficher casserait le panneau de résultats plutôt que d’informer qui que ce soit. La ligne de décalage fait le même travail sous une forme qui survit à toutes les entrées légales : elle dit de combien, et dans quel sens, une preuve déplace la croyance, ce qui est en général la question cachée derrière la demande d’un rapport de vraisemblances.

• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (the theorem itself, its special forms including the odds form, and the subjectivist reading of probability as degree of belief) — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford University
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (the tree-diagram route to the same posterior, which is the count-of-people arithmetic used in the worked examples above) — OpenStax, Rice University