Calculadora de varianza

Varianza = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) para una muestra, o la misma suma dividida entre n para una población

xᵢ

Un valor del conjunto de datos. Entra como su distancia a la media, y esa distancia se eleva al cuadrado antes de sumar nada

x̄

La media de los datos: la suma de todos los valores dividida entre cuántos hay. Se imprime junto al resultado para poder comprobar la aritmética

n

Cuántos valores tiene el conjunto de datos, hasta 200 aquí. El divisor es n − 1 para una muestra y n para una población: es la única diferencia entre las dos varianzas

Σ (xᵢ − x̄)²

La suma de las desviaciones al cuadrado: cada distancia a la media se eleva al cuadrado y luego se suman todas. Elevar al cuadrado da mucho más peso a los valores alejados de la media, porque un punto a 10 unidades aporta 100 a esta suma mientras que uno a 2 unidades aporta 4

σ²

La varianza misma. Queda en unidades al cuadrado, lo que la convierte en la cantidad correcta para sumar y en la equivocada para leer

Recurre a la varianza cuando la cantidad al cuadrado sea justo lo que necesitas: las varianzas de fuentes independientes se suman, así que la varianza de un total es la suma de las varianzas, mientras que las desviaciones estándar no se suman entre sí; el análisis de la varianza, la regresión y casi toda la maquinaria construida sobre ellas toman una varianza como entrada, no una desviación estándar. Usa la desviación estándar en cambio siempre que el número lo vaya a leer una persona, porque una varianza muestral de 4,5714 unidades al cuadrado no dice nada mientras que una desviación de 2,1381 se puede comparar con los propios datos. El panel muestra las dos, así que la elección es cuál citas. La forma muestral divide entre n − 1 y la poblacional entre n: ese es el reparto de los grados de libertad, y por eso la varianza muestral sale siempre algo mayor que la poblacional sobre los mismos datos. Ten presente además que la varianza es bastante más sensible a un solo valor extremo de lo que lo es la desviación estándar, porque la distancia de ese valor se eleva al cuadrado antes de contar.

1. Ocho valores, varianza muestral

   1. Suma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 entre 8 valores, así que la media es 5
   2. Desviaciones: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Desviaciones al cuadrado: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Varianza muestral: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Desviación estándar, para comparar: √4,5714 = 2,1381

   La varianza es 4,5714 y la desviación estándar es 2,1381, y no es casualidad: una es el cuadrado de la otra. Lee los dos pasos de en medio antes de fiarte del resultado, porque la suma de las desviaciones al cuadrado es el único número del cálculo que cuesta juzgar a ojo, y el panel la imprime precisamente para que no haya que darla por buena.

2. Los mismos ocho valores como población

   1. La suma de las desviaciones al cuadrado no cambia: 32
   2. Varianza poblacional: 32 ÷ 8 = 4
   3. Desviación estándar poblacional: √4 = 2

   Dos varianzas del mismo conjunto de datos, 4,5714 y 4, que solo se diferencian en el divisor. Merece la pena cambiar el desplegable una vez con tus propios números: si una hoja de cálculo y esta página no coinciden, el divisor es casi siempre la razón. La varianza es la más sensible de las dos a esa elección, porque no la ha encogido ninguna raíz cuadrada.

3. Cuatro lecturas idénticas, donde la dispersión es exactamente cero

   1. Todos los valores son 3, así que la media es 3 y todas las desviaciones son 0
   2. Suma de las desviaciones al cuadrado: 0
   3. Varianza poblacional: 0 ÷ 4 = 0
   4. Desviación estándar poblacional: √0 = 0

   Una varianza de cero significa que los valores no llevan dispersión ninguna, y es el único caso en el que un cero es una respuesta real y no una señal de que algo ha ido mal. Es también la razón de que la condición del coeficiente de variación sea una media positiva y no una varianza distinta de cero: una dispersión nula dividida entre una media positiva es un 0 % perfectamente válido.

Esta es la varianza sin ponderar de una lista de números: un valor escrito una vez cuenta una vez, así que una tabla de frecuencias o una encuesta con pesos necesita otro cálculo. Sus unidades son cuadradas —los gramos pasan a gramos al cuadrado— de modo que el número no se puede comparar con los datos de los que salió, y para eso está la desviación estándar que aparece al lado. Como cada desviación se eleva al cuadrado, un solo valor extremo manda sobre la suma: una lectura diez veces más grande de lo normal aporta cien veces más que una lectura que se aleja el doble de lo habitual. Un conjunto de datos sesgado se describe mejor con cuartiles que con una varianza o una desviación estándar. La lista está limitada a 200 valores, y una forma como 1,500 se rechaza en lugar de adivinar qué significa, porque una coma entre dígitos es un separador de millares en unos países y una parte decimal en otros; escribe 1500 o 1,5.

¿Cómo calcular la varianza paso a paso?

Cuatro pasos. Halla la media sumando los valores y dividiendo entre cuántos hay. Resta la media a cada valor. Eleva al cuadrado cada una de esas diferencias y súmalas: ese total es la suma de las desviaciones al cuadrado. Divide entre n − 1 si es una muestra o entre n si es una población. Para los valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 y 9 la suma de cuadrados es 32, así que la varianza muestral es 32 ÷ 7 = 4,5714 y la varianza poblacional es 32 ÷ 8 = 4.

¿Qué diferencia hay entre la varianza y la desviación estándar?

Una raíz cuadrada. La desviación estándar es la raíz de la varianza, así que cada una es el cuadrado de la otra: aquí la varianza es 4,5714 y la desviación estándar es 2,1381. La varianza es la que tiene sentido sumar, porque las varianzas de fuentes independientes se suman y las desviaciones estándar no. La desviación estándar es la que tiene sentido leer, porque vuelve a las unidades de los datos en lugar de quedarse en unidades al cuadrado.

¿Por qué la varianza no cambia si sumo una constante a todos los valores?

Porque la varianza solo mira las distancias a la media, y desplazar todos los valores desplaza la media en la misma cantidad. Suma 100 a cada uno de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 y 9 y la media pasa de 5 a 105 mientras todas las desviaciones siguen igual, así que la suma de las desviaciones al cuadrado sigue siendo 32. Multiplicar todos los valores por una constante es el caso contrario: la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante y la desviación estándar por la constante misma.

¿Puede ser negativa la varianza?

No. Cada término de la suma de las desviaciones al cuadrado es un cuadrado, así que la suma nunca es negativa, y el divisor es una cantidad positiva. La varianza más pequeña posible es cero, y eso solo ocurre cuando todos los valores son idénticos: cuatro lecturas de exactamente 3 dan una varianza de 0. Una varianza negativa en una pantalla significa que un cálculo se ha torcido, no que los datos sean raros.

¿Puedo pegar una columna tal cual desde una hoja de cálculo?

Sí. Los saltos de línea, los tabuladores, los puntos y coma, los espacios y una coma seguida de espacio separan valores, así que una columna pegada funciona sin más y los tramos vacíos se ignoran en lugar de rechazarse. Se leen hasta 200 valores. Una forma como 1,500 o 1.500 se rechaza a propósito: tres dígitos detrás del separador son un separador de millares en unos países y una parte decimal en otros, así que escribe 1500 o 1,5.

¿Sirve para datos ponderados o para una tabla de frecuencias?

No. Cada valor cuenta una vez, por muchas veces que aparezca repetido en la lista: escribir 3 tres veces pesa lo mismo que tres valores distintos, que es lo correcto para datos sin agrupar y lo incorrecto para una tabla de frecuencias, donde un valor con frecuencia 30 debería pesar treinta veces más que uno con frecuencia 1. Tampoco hay forma de indicar pesos de encuesta o de muestreo. Para esos casos hay que multiplicar cada valor por su peso antes de calcular, lo que equivale a construir la lista completa y usar esta misma fórmula con el conjunto entero.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1 and the standard deviation as its square root, and states that taking the root restores the units of the spread to the original data units while the variance squares them) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 (calls the variance the average of the squares of the deviations x − x̄ for a sample, and warns that in a skewed distribution the standard deviation may not be much help) — OpenStax, Rice University