Calculadora de suma de cuadrados

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

Cada valor de la lista, uno a uno. Cada valor aporta su propia brecha al cuadrado, así que ninguno se puede quitar sin cambiar el total

x̄

La media de los valores. Es el punto desde el que se miden las brechas, y se elige precisamente porque las desviaciones sin más alrededor de ella se cancelan y dan cero

SS

La suma de las desviaciones al cuadrado: el resultado principal. Vale cero exactamente cuando todos los valores son idénticos, y crece tanto con el tamaño de las desviaciones como con cuántas haya

Σx²

La suma de los valores al cuadrado, que también se imprime como suma de cuadrados en bruto. Es el primer término de la derecha de la identidad y el más fácil de confundir con la respuesta, porque a los dos se les llama suma de cuadrados

Σx

La suma simple de los valores, antes de elevar nada al cuadrado. Elevarla al cuadrado y dividirla entre n da el término de corrección que convierte Σx² en la suma de las desviaciones al cuadrado

n

Cuántos valores entraron, hasta 200 aquí. Aparece dos veces: como divisor en el término de corrección y como la cantidad que se imprime para poder comprobar

Recurre a ella cuando quieras ver el paso en lugar de la medida ya terminada: al comprobar a mano una varianza o una desviación estándar, al explicar por qué esas dos cantidades elevan sus desviaciones al cuadrado, o al comparar cuánta de la variación de un total explica un modelo. También es la forma natural de expresar la dispersión cuando trabajas con sumas en vez de con promedios, como en un análisis de la varianza, donde todo el método es contabilidad de sumas de cuadrados. En una regresión con término independiente, esta misma cantidad es lo que se llama la suma total de cuadrados, y el ajuste del modelo se mide por cuánto de ella consigue eliminar la recta ajustada. La identidad de la derecha merece conocerse por una segunda razón: así se calculaba este número antes de las máquinas, y así siguen escritas muchas fórmulas, aunque calcularlo por ahí pierde precisión cuando los valores son grandes y su dispersión es pequeña. Por eso la calculadora de arriba usa la ruta de la definición y solo imprime los términos de la identidad para que puedas comprobar que las dos coinciden.

1. Ocho valores: 32 por las dos rutas

   1. La media es 40 / 8 = 5
   2. Las desviaciones son −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 y 4, y suman 0, como suman siempre
   3. Elevarlas al cuadrado da 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 y 16, que suman 32
   4. La otra ruta: Σx² = 232 y (Σx)² / n = 1600 / 8 = 200, así que 232 − 200 = 32

   Las dos rutas llegan a 32, y verlo es casi todo el sentido de la página. Las tres primeras desviaciones son negativas y las dos últimas positivas, que es exactamente por lo que hacen falta los cuadrados: las desviaciones en bruto suman cero y no podrían distinguir un conjunto de datos de otro.

2. Dos valores con media fraccionaria

   1. La media es 3 / 2 = 1,5, así que las desviaciones son −0,5 y +0,5
   2. Elevarlas al cuadrado da 0,25 y 0,25, así que la suma de cuadrados es 0,5 y no 1
   3. La otra ruta: 5 − 3² / 2 = 5 − 4,5 = 0,5, donde la parte fraccionaria aparece en la resta

   Dos valores nunca pueden dar una suma de cuadrados mayor que la mitad de su brecha al cuadrado, y este es el caso más pequeño: cada una de las dos desviaciones se lleva la mitad de la distancia. Un desliz frecuente es elevar al cuadrado la brecha entera, lo que daría 1 en lugar de 0,5: la brecha ya es la diferencia entre dos desviaciones, así que se contaría dos veces.

3. Un solo valor: 0 frente a 1764

   1. La media de un solo valor es ese valor, así que la media es 42
   2. La desviación es 42 − 42 = 0, y 0² es 0, así que la suma de cuadrados es 0
   3. La suma de cuadrados en bruto es otra cantidad por completo: 42² = 1764

   Dos cosas llamadas suma de cuadrados, con tres órdenes de magnitud de diferencia, en el mismo panel. Este es el caso que las mantiene separadas: con una lista más larga los dos números suelen estar en el mismo orden y es fácil echar mano del equivocado. La suma de las desviaciones al cuadrado vale 0 porque un solo valor no puede desviarse de sí mismo: eso es una respuesta real y no un fallo, y es la razón de que esta página no exija dos valores como los exige la varianza.

4. Cuatro valores idénticos

   1. La media es 12 / 4 = 3, así que todas las desviaciones son 0
   2. La suma de cuadrados es 0
   3. La suma de cuadrados en bruto es 3² + 3² + 3² + 3² = 36, que no es 0 ni lo será nunca

   Aquí el cero significa que los datos no tienen dispersión ninguna, y es una situación distinta de la del valor único de arriba aunque las dos impriman 0: aquí hay cuatro observaciones y coinciden exactamente, allí existe una sola observación. La suma de cuadrados en bruto se mueve en la dirección contraria, creciendo con cada valor añadido sin importar la dispersión.

El nombre es el principal peligro. Dos cantidades distintas se llaman suma de cuadrados y las dos aparecen en esta página: la suma de las desviaciones al cuadrado Σ(x − x̄)², que es la respuesta, y la suma de los valores al cuadrado Σx², que solo es un término de la identidad. Con un solo valor se llevan tres órdenes de magnitud. Lee la etiqueta de la fila antes de citar un número. La segunda limitación es lo que esta página no hace: una regresión parte la suma total de cuadrados en una parte explicada por la recta ajustada y un residuo, y esa partición no está disponible aquí. Necesita una segunda variable y una recta ajustada a los datos, y ninguna página de esta sección ajusta ninguna: la página de la covarianza se detiene en el coeficiente de correlación. Lo que sí es cierto, y merece saberse, es que la suma total de cuadrados de una regresión con término independiente es esta misma cantidad aplicada a la variable de resultado; lo que falta es solo la partición. Hay además una razón práctica por la que la calculadora usa la ruta de la definición y no la identidad: restar dos números grandes y casi iguales pierde precisión, así que en una lista de valores grandes con dispersión pequeña la ruta de la derecha puede dar una respuesta visiblemente equivocada. La identidad se imprime para comprobar, no para ir más rápido. La lista está limitada a 200 valores, y una forma como 1,500 se rechaza en lugar de adivinar qué significa, porque una coma entre dígitos es una parte decimal en unos países y un separador de millares en otros.

¿Cómo se calcula la suma de cuadrados?

Halla la media, réstala a cada valor, eleva cada resultado al cuadrado y súmalos. Para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 y 9 la media es 5, las desviaciones son −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 y 4, y sus cuadrados suman 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Participan todos los valores, incluidos los que caen justo sobre la media, que aportan 0.

¿Por qué se elevan las desviaciones al cuadrado en vez de sumarlas sin más?

Porque las desviaciones sin más suman exactamente cero. Los valores por debajo de la media cancelan a los que están por encima, sea cual sea la lista, así que la suma de las desviaciones no lleva información ninguna sobre la dispersión. Elevar al cuadrado hace dos cosas a la vez: vuelve positivo cada término, de modo que nada se cancela, y da proporcionalmente más peso a los valores alejados de la media, porque un valor a dos unidades aporta 4 y uno a veinte unidades aporta 400. Ese segundo efecto es deliberado. Es también la razón de que la suma de cuadrados, y la varianza construida sobre ella, reaccionen con tanta fuerza a un solo valor extremo.

¿Por qué hay dos números distintos llamados suma de cuadrados en esta página?

Porque en estadística dos cantidades comparten el nombre, y esta página imprime las dos. La suma de las desviaciones al cuadrado, Σ(x − x̄)², es la respuesta aquí y el numerador de la varianza. La suma de los valores al cuadrado, Σx², es la suma de los valores elevados al cuadrado antes de restar media alguna. Las relaciona la identidad Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, que es la razón de que la versión en bruto esté en pantalla, pero no son intercambiables. Con el valor único 42 la suma de las desviaciones al cuadrado es 0 mientras que la de los valores al cuadrado es 1764.

¿La elección entre muestra y población cambia el resultado?

No, y por eso esta página no tiene selector. Las fórmulas muestral y poblacional solo se diferencian en su divisor —n − 1 frente a n— y la suma de cuadrados no divide entre nada. Es un único número para una lista dada. La elección aparece en las páginas de la varianza y de la desviación estándar porque la división ocurre allí, y es exactamente la razón de que un mismo conjunto de datos pueda dar dos varianzas y solo una suma de cuadrados.

¿Qué relación tiene con la varianza y la desviación estándar?

La varianza es este número dividido entre los grados de libertad: n − 1 para una muestra o n para una población. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Así que la suma de cuadrados es la materia prima, y la división es lo que la hace comparable entre conjuntos de datos de tamaños distintos, porque una suma sobre ocho valores es por naturaleza mayor que una suma sobre cuatro aunque la dispersión sea la misma. Dividir entre n − 1 en lugar de entre n corrige además una ligera subestimación que viene de medir las desviaciones alrededor de la media de la muestra y no de la verdadera.

¿Puede ser negativa la suma de cuadrados?

Nunca. Cada término es un cuadrado, así que cada término es cero o positivo y el total también. Vale cero exactamente cuando todos los valores son iguales a la media, lo que significa que todos los valores son iguales entre sí: o porque la lista tiene un solo valor, o porque todos son idénticos. Un total de cero es un resultado real que dice que los datos no tienen dispersión, no una señal de que algo haya ido mal. Si ves un número negativo, o estás mirando la suma de los valores al cuadrado Σx² con un error de signo, o es una diferencia de cuadrados calculada a mano.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University