Calculadora de resto
Resultado
Cociente
- Resto
- 2
- Comprobación
- 5 * 9 + 2 = 47
El resto de una división es lo que sobra de un número entero después de quitarle el mayor número entero de veces que cabe el divisor, y el cociente es cuántas veces era eso. Para 47 y 5 la respuesta no admite discusión: el 5 cabe en el 47 nueve veces, que son 45, y sobran 2, así que el cociente es 9 y el resto es 2. Los dos van atados por una definición y no por un procedimiento —el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto—, y esa comprobación se imprime junto a ellos, porque un cociente y un resto solo son correctos en pareja. Donde deja de estar claro es cuando el dividendo o el divisor son negativos, y ese es el asunto entero de esta página. Hay dos convenciones en uso y dan respuestas distintas para la misma entrada. La convención truncada descarta la parte fraccionaria del cociente exacto, así que el cociente se mueve hacia el cero, y el resto toma el signo del dividendo: -47 ÷ 5 se trunca a -9 con resto -2. La convención euclídea baja el cociente al siguiente número entero, lo que hace que el resto nunca sea negativo: -47 ÷ 5 baja a -10 con resto 3. Las dos cumplen la definición —5 × -9 + -2 y 5 × -10 + 3 dan -47 las dos veces—, así que la definición por sí sola no puede decirte a cuál se refiere una herramienta, y por eso aquí la convención es una entrada y no una decisión escondida. La truncada es la que viene puesta porque es lo que hacen casi todos los lenguajes de programación y lo que casi todo el mundo entiende por división entera; la euclídea es la que necesita la aritmética modular, donde un resto negativo no sirve para nada. Los casos especiales que quedan salen solos de la definición. Cuando el dividendo es 0, el cociente y el resto son los dos 0. Cuando el divisor es mayor que el dividendo en valor absoluto, un dividendo positivo da cociente 0 y un resto igual al dividendo. Y cuando el divisor entra exacto, el resto es 0 con cualquiera de las dos convenciones.
Las cuatro combinaciones de signos de ±47 y ±5, con las dos convenciones
| Dividendo | Divisor | Truncado | Euclídeo |
|---|---|---|---|
| -47 | 5 | -9 r -2 | -10 r 3 |
| -47 | -5 | 9 r -2 | 10 r 3 |
| 47 | -5 | -9 r 2 | -9 r 2 |
| 47 | 5 | 9 r 2 | 9 r 2 |
La página entera en cuatro filas. Lee primero las dos últimas: con los dos números positivos, y con un dividendo positivo y un divisor negativo, las dos columnas traen la misma respuesta —47 ÷ 5 es 9 con resto 2 de las dos maneras, y 47 ÷ -5 es -9 con resto 2 de las dos maneras—. Las convenciones solo se separan cuando el dividendo es negativo. La primera fila es el caso alrededor del cual está construida la página: -47 ÷ 5 es -9 con resto -2 truncando y -10 con resto 3 bajando al entero anterior, dos descomposiciones correctas del mismo número. La segunda fila muestra que cambiar el signo del divisor cambia el cociente y deja el resto comportándose igual, así que la regla no es simplemente que un dividendo negativo dé un resto negativo. Todas las entradas cumplen que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto —comprueba cualquiera de ellas—, que es por lo que la definición sola no puede elegir entre las dos columnas. La tabla no sigue tus entradas; el panel de arriba aplica a tus números la convención que hayas elegido.
Fórmula
47 = 5 × 9 + 2 ⇒ cociente 9, resto 2; y -47 = 5 × -10 + 3 con la convención euclídea frente a -47 = 5 × -9 + -2 con la convención truncada
- 47
- El dividendo, el número que se divide, un entero de -1000000000 a 1000000000. Se admiten valores negativos y son la razón de que exista el campo de la convención: con los dos números positivos no hay nada que elegir. Los decimales se rechazan en lugar de redondearse, porque un resto es una afirmación sobre números enteros
- 5
- El divisor, un entero de -1000000000 a 1000000000. No puede ser 0: ningún cociente cumpliría la comprobación. También puede ser negativo, y un divisor negativo cambia el signo del cociente con las dos convenciones; lo que mantiene el orden es la línea de comprobación y no la intuición
- truncated
- La convención que descarta la parte fraccionaria del cociente exacto y lo mueve hacia el cero: -47 ÷ 5 da -9 porque -9,4 se trunca a -9. El resto pasa a llevar el signo del dividendo y puede ser negativo. Es lo que producen casi todos los lenguajes de programación y es la que viene puesta aquí
- euclidean
- La convención que baja el cociente al siguiente número entero, de modo que el resto nunca es negativo: -47 ÷ 5 da -10 con resto 3. La teoría de números y la aritmética modular necesitan esta, porque un resto negativo no significa nada cuando representa una posición dentro de un ciclo. Las dos coinciden siempre que los dos números sean positivos
- quotient 9
- Cuántas veces enteras cabe el divisor. Con la convención truncada es el cociente exacto sin su parte fraccionaria; con la euclídea es el cociente exacto bajado al entero anterior. Los dos se diferencian exactamente en 1 cuando los signos hacen negativo el resto, y en ningún otro caso
- remainder 2
- Lo que sobra, y el número del que va toda la página. Siempre es menor que el divisor en valor absoluto, y vale 0 cuando la división es exacta. Su signo es toda la diferencia entre las dos convenciones: con la truncada sigue al dividendo, con la euclídea no baja nunca de 0
Repartir cosas en grupos es el caso de cada día, y es aquel en el que la convención nunca importa: 47 objetos en grupos de 5 dan 9 grupos completos y 2 sueltos, y a nadie le parecería bien llamar a eso -9 con -2 sueltos. La convención empieza a importar en el momento en que los números pueden ser negativos, y eso pasa más a menudo de lo que parece. La división entera en programación es el caso común: casi todos los lenguajes truncan, así que -47 / 5 es -9 y el resto es -2, y el código que da por hecho un resto no negativo se rompe con entradas negativas. La aritmética modular es la otra cara: las horas del reloj, las fechas del calendario, recorrer una lista en ciclo y la aritmética de enteros de ancho fijo de los ordenadores necesitan la versión euclídea, porque «tres pasos hacia atrás desde aquí» tiene que aterrizar en una posición real del ciclo. En los estudios, el resto con la convención truncada es lo que se enseña junto a la división larga, con los negativos excluidos o resueltos con la misma regla de que el signo sigue al dividendo. La línea de comprobación merece usarse en todos estos contextos, porque las dos convenciones producen cocientes que se diferencian en uno y restos que se diferencian en el divisor, y las dos parejas cumplen la definición: una pareja que no la cumpla es un error, sea cual sea la convención que se pretendía.
Ejemplos resueltos
47 ÷ 5, donde las dos convenciones coinciden
- El 5 cabe en el 47 nueve veces: 5 × 9 = 45
- 47 - 45 = 2, así que sobran 2
- El cociente exacto es 9,4, y truncarlo da 9
- Bajar 9,4 al entero anterior también da 9, así que aquí las dos convenciones coinciden
- Comprobación: 5 × 9 + 2 = 47
La entrada por defecto, y el caso en el que el campo de la convención no cambia nada. Las dos convenciones coinciden siempre que el dividendo y el divisor tengan el mismo signo, lo que incluye cualquier pareja de números positivos: la elección solo se nota cuando uno de los dos es negativo. Leer la comprobación como una frase es la costumbre que merece la pena adquirir: el divisor por el cociente más el resto tiene que devolver el dividendo exactamente.
-47 ÷ 5 truncando: el resto se vuelve negativo
- El cociente exacto es -47 ÷ 5 = -9,4
- Truncar descarta la parte fraccionaria y mueve el cociente hacia el cero: -9
- 5 × -9 = -45, que está 2 por encima de -47, así que hay que devolver 2: el resto es -2
- El resto lleva el signo del dividendo, que es lo que lo hace negativo aquí
- Comprobación: 5 × -9 + -2 = -47
El cociente es -9 y no -10, y el resto es -2 y no 3. Esta pareja y la siguiente cumplen la misma definición, que es justamente el punto de la página: -9 con resto -2 y -10 con resto 3 son las dos descomposiciones correctas de -47, y la convención es lo que decide cuál te toca. Casi todos los lenguajes de programación aterrizan aquí, así que el código que da por hecho que un resto nunca es negativo se llevará una sorpresa con esta fila.
-47 ÷ 5 con la convención euclídea: el resto no baja de cero
- El cociente exacto sigue siendo -47 ÷ 5 = -9,4
- Bajarlo al entero anterior en lugar de moverlo hacia el cero da -10
- 5 × -10 = -50, que está 3 por debajo de -47, así que sobran 3: el resto es 3
- El resto no es negativo, que es lo que garantiza esta convención
- Comprobación: 5 × -10 + 3 = -47
Mismo dividendo, mismo divisor, otra respuesta, y esta no es una corrección de la anterior. La convención euclídea es la que necesita la aritmética modular, porque un resto que representa una posición dentro de un ciclo no puede ser negativo: -47 módulo 5 es 3 en ese contexto, y se espera que todo resultado de una operación módulo caiga entre 0 y el divisor. El cociente es uno menos que con la convención truncada y el resto es mayor exactamente en el divisor, que es la relación fija entre las dos.
Un divisor negativo cerca del límite: 1000000000 ÷ -999999999
- El divisor es negativo, así que el cociente exacto es negativo: alrededor de -1,000000001
- Truncar hacia el cero da -1
- -999999999 × -1 = 999999999, que está 1 por debajo de 1000000000
- El resto es 1, y toma el signo del dividendo, que es positivo
- Comprobación: -999999999 × -1 + 1 = 1000000000
Los dos números están en el borde de lo que la página acepta, y el cociente sale -1 porque el divisor es por muy poco mayor que el dividendo en valor absoluto. La línea de comprobación es la parte que merece leerse: dos números negativos que se multiplican y dan uno positivo, más un resto de 1, aterrizan exactamente en el dividendo. Un divisor negativo cambia el signo del cociente con las dos convenciones, mientras que el resto sigue al dividendo.
Limitaciones
El dividendo y el divisor tienen que ser números enteros de -1000000000 a 1000000000, ambos incluidos, y el divisor no puede ser 0 con ninguna de las dos convenciones: no hay ningún número que multiplicado por 0 devuelva un dividendo distinto de cero, así que ninguna pareja de cociente y resto podría cumplir la comprobación. Los decimales se rechazan en lugar de redondearse: un resto es una afirmación sobre números enteros que dividen a números enteros. El campo de la convención toma uno de dos valores, truncada o euclídea, y los dos están siempre disponibles; no hay una tercera opción y la página no adivina cuál querías. Con los dos números positivos la elección no cambia nada, y las dos convenciones no discrepan en nada más que en el signo del resto y en un cociente que se diferencia en uno. Con la convención truncada el resto puede ser negativo, y ese es el comportamiento de la convención, no un error. La tabla de abajo está fijada en ±47 y ±5 y no sigue tus entradas: despliega las cuatro combinaciones de signos para que las dos convenciones se puedan comparar una al lado de la otra, mientras que el panel de arriba responde a lo que hayas escrito. Todos los valores son exactos —los cuatro números son enteros holgadamente dentro del rango que una máquina representa con precisión— así que aquí no se redondea nunca nada.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué hay dos respuestas para la misma división?
- Porque la definición solo dice que el cociente por el divisor más el resto tiene que devolver el dividendo, y con un dividendo negativo la cumplen tanto un cociente más pequeño con un resto negativo como un cociente más grande con un resto positivo. -47 ÷ 5 es -9 con resto -2 cuando el cociente se trunca hacia el cero, y -10 con resto 3 cuando se baja al entero anterior. Las dos son correctas, y la convención decide cuál te toca.
- ¿Qué convención debería usar?
- La truncada es la que viene puesta porque es lo que producen casi todos los lenguajes de programación y lo que casi todo el mundo entiende por división entera: el cociente se mueve hacia el cero y el resto toma el signo del dividendo. Elige la euclídea cuando el resto tenga que ser no negativo: el módulo en sentido matemático, las posiciones dentro de un ciclo, la aritmética de calendario y cualquier cosa en la que el resto sea un índice dentro de una lista que se repite. Con dos números positivos la elección no cambia absolutamente nada.
- ¿Cuál es el resto cuando el divisor es negativo?
- Se aplica la misma regla, con el signo del cociente cambiado. 47 ÷ -5 da -9 con resto 2 con la convención truncada, porque el resto sigue al dividendo y no al divisor. Que el divisor sea negativo cambia el signo del cociente y deja intacta la regla del signo del resto, que es lo que muestra la segunda fila de la tabla.
- ¿Es lo mismo que la operación módulo?
- Están emparentadas, pero no son lo mismo. El módulo devuelve solo el resto y se define normalmente con resultado no negativo, que es la convención euclídea de esta página. La diferencia se ve con entradas negativas: -47 módulo 5 es 3, mientras que la división entera con truncamiento devuelve -2. Si lo que quieres es un resultado no negativo, elige la euclídea; si quieres el cociente redondeado hacia el cero, elige la truncada.
- ¿Cuál es el resto cuando la división es exacta?
- Cero, con las dos convenciones. Cuando el divisor entra un número entero de veces no sobra nada, y la comprobación se lee como divisor por cociente igual a dividendo, sin un tercer término del que preocuparse. Un resto de 0 es una respuesta normal y significa que la división era exacta, no que la salida haya fallado.
- ¿Por qué el divisor no puede ser cero?
- Porque ninguna pareja de cociente y resto podría cumplir la comprobación. Si el divisor es 0, entonces 0 por cualquier cociente es 0, así que la comprobación exigiría que el resto fuera igual al dividendo y a la vez menor que el divisor en valor absoluto: imposible para cualquier dividendo distinto de cero, y con un dividendo de 0 la respuesta sería todos los números a la vez en lugar de uno. La página lo rechaza en vez de devolver algo arbitrario.
Referencias
- Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
- Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
- Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)
- Divisiones exactas y divisiones inexactas — cuándo el resto vale cero y la identidad que liga dividendo, divisor, cociente y resto tal como se enuncia en la escuela — Smartick (España)