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CalcMax

Calculadora de división larga

Intervalo: 0 – 1.000.000.000

Intervalo: 1 – 1.000.000.000

Resultado

102

Cociente

Resto
10
Paso a paso
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Comprobación
12 * 102 + 10 = 1234

La división larga es el método escrito para dividir un número entero entre otro cuando el resultado no sale exacto, y esta página imprime cada paso del método. Para 1234 ÷ 12 la operación son cuatro líneas. Se divide 1 entre 12: es demasiado pequeño, así que el dígito del cociente es 0 y el resto es 1. Se baja el dígito siguiente para formar 12, se divide entre 12: el dígito es 1 y el resto es 0. Se baja el 3 para formar 3, se divide entre 12: el dígito es 0 y el resto es 3. Se baja el 4 para formar 34, se divide entre 12: el dígito es 2 y el resto es 10. Los dígitos del cociente, en orden, son 1, 0, 2, así que 1234 ÷ 12 es 102 con resto 10, y el último resto, 10, es el que se queda. Todas las líneas del algoritmo tienen la misma forma: se toma el valor construido hasta el momento, se busca cuántas veces enteras cabe el divisor en él, ese número se anota como un dígito de la respuesta y lo que sobra se guarda para combinarlo con el dígito siguiente. Por eso el cociente acaba teniendo siempre el mismo número de dígitos que el dividendo, y por eso un cero puede ser un dígito perfectamente válido de la respuesta: el 0 del centro de 102 está haciendo trabajo real. El resto aquí es siempre el no negativo, la convención en la que 0 es el valor más pequeño que puede tomar. Con números negativos las dos convenciones dan respuestas distintas, y ese caso pertenece a la página del resto. La última salida es la comprobación: el divisor por el cociente más el resto es igual al dividendo, que no es un cálculo aparte sino la definición de lo que significan un cociente y un resto. 12 × 102 + 10 son 1234, así que los tres números son coherentes entre sí. Aparecen dos casos especiales. Un dividendo menor que el divisor da un cociente de 0 y un resto igual al dividendo, ya que el divisor no cabe ni una vez. Y un divisor de 1 da un cociente igual al dividendo con resto 0, con una línea por dígito. Los dígitos del cociente son también de donde salen los desarrollos decimales: cuando la operación empieza a repetirse, como ocurre en 1 ÷ 7, los decimales se repiten con ella.

5432 ÷ 17 desarrollado, una columna por cada parte de un paso

PasoValorDivisorDígitoResto
151705
2541733
33317116
41621799

Lee una fila de izquierda a derecha y tienes una línea de la operación: el valor que se divide, el divisor con el que se compara, el dígito de cociente que produce y lo que sobra. La primera fila es 5 frente a 17, que cabe 0 veces y deja 5, así que el dígito es 0. La fila siguiente baja el 4 y forma 54, y 54 ÷ 17 es 3 con 3 de sobra. El patrón que hay que ver está en la columna del valor: cada entrada es el resto anterior con un dígito más del dividendo pegado detrás, que es lo que significa bajar un dígito, y es lo único que pasa de una fila a la siguiente. La columna de los dígitos se reúne en la respuesta, 0 3 1 9, que es 319, y la última entrada de la columna del resto, 9, es el resto de toda la división. Pásale la comprobación: 17 × 319 + 9 = 5432. Fíjate en que el 0 inicial de la columna de los dígitos se descarta en la respuesta y el 0 del medio no se descartaría: un dígito cero significa que el divisor no cabía en el valor de ese paso, y eso es información, mientras que un cero inicial simplemente no se escribe. La tabla está fijada en 5432 ÷ 17 y no sigue lo que se haya escrito; el panel de arriba hace esas mismas cuatro columnas con tus números, una fila por dígito.

Fórmula

1234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ cociente 102, resto 10, y 12 × 102 + 10 = 1234

1234
El dividendo, el número que se reparte, un entero entre 0 y 1000000000. El cero está permitido y da un cociente y un resto de 0. Los negativos y los decimales se rechazan, porque el algoritmo escrito de abajo da por supuestos dígitos y esta página no enuncia ninguna convención de signo
12
El divisor, el número entre el que se reparte, un entero entre 1 y 1000000000. No puede ser 0: nada se puede repartir en cero partes, y ningún cociente cumpliría la comprobación. Puede ser mayor que el dividendo, y entonces el cociente es 0 y el resto es el propio dividendo
1, 2, 3, 4
Los dígitos del dividendo, tomados de uno en uno desde la izquierda. Cada paso añade el siguiente al resto del paso anterior, que es lo que significa bajar un dígito. El número de pasos es igual al número de dígitos del dividendo, así que 1234 necesita cuatro pasos y 1000000000 necesita diez
0, 1, 0, 2
El dígito de cociente que produce cada paso: cuántas veces enteras cabe el divisor en el valor de ese paso. Un paso cuyo valor es menor que el divisor aporta el dígito 0, y esos ceros forman parte de la respuesta: 102 lleva uno en el medio, y quitarlo daría 12
1, 0, 3, 10
El resto que queda en cada paso, siempre el no negativo. El último de ellos es el resto de toda la división; los anteriores son intermedios y desaparecen en cuanto se baja el dígito siguiente. Aquí nada es nunca negativo, y por eso los dividendos negativos pertenecen a la página de las convenciones del resto
dividend = divisor × quotient + remainder
La salida de la comprobación, y la definición de toda la operación más que un resultado extra: para 1234 ÷ 12 se lee 12 × 102 + 10 = 1234. Si esa línea es cierta, el cociente y el resto son correctos por definición, y si es falsa no se puede uno fiar de nada más de la página

Este es el método escrito en sí, así que quien lo necesita está aprendiéndolo. El paso a paso es la operación que de otro modo se enseña en papel, y merece la pena compararla con la propia línea por línea cuando una respuesta no coincide: el punto en el que las dos se separan es el error, y eso es más útil que recibir el número correcto. La línea de comprobación es la otra mitad de lo mismo: el divisor por el cociente más el resto es igual al dividendo, y quien tenga el cociente y el resto puede confirmarlos sin rehacer la división larga entera. Más allá de los estudios, esta misma descomposición es como se trata la división cuando los enteros no se pueden partir: 1234 objetos en grupos de 12 dan 102 grupos completos y sobran 10, y el resto es la parte que no se puede repartir. Un resto de 0 significa que la división salió exacta. El algoritmo es también el origen de los desarrollos decimales: si se continúa la operación más allá de la coma añadiendo un cero al resto, salen los decimales del cociente, y cuando un resto se repite el decimal también: 1 ÷ 7 recorre los mismos seis restos para siempre, y por eso 1/7 tiene un bloque decimal de seis cifras que se repite. Los lenguajes de programación tienen dos maneras habituales de tratar un dividendo negativo, el truncado y el suelo, y no coinciden; el resto no negativo que se imprime aquí es el del suelo, y la página del resto muestra los dos uno al lado del otro.

Ejemplos resueltos

  1. 1234 ÷ 12, la entrada por defecto

    1. Baja el 1: 1 ÷ 12 cabe 0 veces, así que el primer dígito del cociente es 0 y sobra 1
    2. Baja el 2: el valor es 12, y 12 ÷ 12 cabe 1 vez sin que sobre nada
    3. Baja el 3: el valor es 3, y 3 ÷ 12 cabe 0 veces, así que sobran 3
    4. Baja el 4: el valor es 34, y 34 ÷ 12 cabe 2 veces y sobran 10
    5. Los dígitos del cociente en orden son 0, 1, 0, 2; escritos sin el cero inicial, eso es 102
    6. El resto final es 10, y la comprobación lo confirma: 12 × 102 + 10 = 1234

    Es la entrada por defecto, y la que enseña por qué importan los ceros del cociente. El tercer paso aporta un 0 porque 3 es menor que 12, y ese dígito no es adorno: la respuesta es 102 y no 12. El 0 inicial del primer paso se descarta, porque 102 y 0102 son el mismo número escrito de dos maneras. La línea de comprobación merece leerse como una frase: el divisor por la respuesta más lo que sobró devuelve el número con el que se empezó.

  2. 5432 ÷ 17, el ejemplo de la tabla de referencia

    1. Baja el 5: 5 ÷ 17 cabe 0 veces, y sobran 5
    2. Baja el 4: el valor es 54, y 54 ÷ 17 cabe 3 veces (3 × 17 = 51) y sobran 3
    3. Baja el 3: el valor es 33, y 33 ÷ 17 cabe 1 vez (17) y sobran 16
    4. Baja el 2: el valor es 162, y 162 ÷ 17 cabe 9 veces (9 × 17 = 153) y sobran 9
    5. Los dígitos del cociente son 0, 3, 1, 9, que es 319, y el resto es 9

    Son las cuatro líneas que la tabla de abajo despliega columna a columna, y la razón de que merezca la pena leer las dos: cada paso vuelve a multiplicar el divisor para encontrar el producto más grande que todavía cabe —3 × 17 = 51 frente a 54, luego 1 × 17 = 17 frente a 33, luego 9 × 17 = 153 frente a 162— y el resto es la diferencia. Aquí las diferencias son 3, 16 y 9, todas menores que el divisor 17, que es el invariante que hace que cada dígito del cociente sea el mayor posible.

  3. Un resto que se repite: 1000000000 ÷ 7

    1. Baja el 1: 1 ÷ 7 cabe 0 veces, y sobra 1
    2. Baja cada 0 por turno, lo que va dando 10, 30, 20, 60, 40, 50 y otra vez 10
    3. Los dígitos del cociente son 1, 4, 2, 8, 5, 7 y después 1, 4, 2, 8 otra vez
    4. Tras el séptimo paso el resto vuelve a ser 1, así que el ciclo entero empieza de nuevo
    5. El cociente es 142857142 y el resto final es 6

    Aquí los restos van 1, 3, 2, 6, 4, 5 y vuelven a 1: el ciclo de 1/7, que es la razón de que los dígitos del cociente se repitan como 142857. Esa repetición no es una rareza de este dividendo: siempre que un resto se repite, todo lo que viene después se repite también, porque el paso siguiente depende solo del valor que se baja. Es también la razón de que una fracción en forma decimal termine o se repita, y de que 1/7 tenga un bloque de seis cifras que se repite.

  4. Cuando el divisor es mayor que el dividendo: 7 ÷ 999999999

    1. Hay un solo dígito que bajar, el 7
    2. 7 ÷ 999999999 cabe 0 veces, ya que 999999999 es muchísimo mayor que 7
    3. El dígito del cociente es 0 y sobra el dividendo entero
    4. El cociente es 0 y el resto es 7

    Un cociente de 0 es una respuesta de verdad y no un fracaso. Cuando el divisor no cabe ni una vez no se quita nada, así que el resto es el dividendo entero y la comprobación se lee 999999999 × 0 + 7 = 7. La lista de pasos tiene una sola línea porque el dividendo tiene un solo dígito: el número de pasos es siempre igual al número de dígitos que se dividen, nunca al tamaño del divisor.

Limitaciones

Los dos números tienen que ser enteros. El dividendo va de 0 a 1000000000 inclusive, y el divisor de 1 a 1000000000 inclusive. Un divisor de 0 se rechaza: no hay ningún número que multiplicado por 0 devuelva un dividendo distinto de cero, así que ningún cociente ni resto podría cumplir la comprobación. Los números negativos se rechazan en lugar de tratarse con una regla de signo, porque el algoritmo escrito que se muestra aquí trabaja sobre dígitos y las dos convenciones para la división negativa no coinciden: esta página imprime el resto no negativo, y el caso en el que eso importa pertenece a la página del resto, que muestra las dos convenciones una al lado de la otra. Los decimales se rechazan: el algoritmo se puede prolongar más allá de la coma añadiendo ceros, pero ese es otro procedimiento y esta página no lo hace, aunque los restos que se repiten de arriba son precisamente de donde vienen esos decimales. El cero como dividendo se acepta y da un cociente de 0 con un resto de 0. La lista de pasos tiene una línea por cada dígito del dividendo, así que un dividendo de diez cifras produce diez líneas y el panel es largo a propósito: eso es la operación, no un resumen de ella. La tabla de referencia de abajo está fijada en 5432 ÷ 17 y no sigue lo que se escriba; el panel de arriba responde a tus números, y la tabla está para mostrar qué significa cada columna de un paso. Todos los valores son exactos y nada se redondea.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se hace una división larga paso a paso?
Se trabaja desde la izquierda del dividendo, un dígito cada vez. Se divide el valor construido hasta el momento entre el divisor, se anota cuántas veces enteras cabe como dígito siguiente de la respuesta y se guarda lo que sobra. Después se baja el dígito siguiente —se pega a lo que sobraba— y se repite hasta que se acaben los dígitos. Para 1234 ÷ 12 eso da los dígitos 0, 1, 0, 2 y un resto final de 10, así que la respuesta es 102 con resto 10.
¿Cuál es la diferencia entre el cociente y el resto?
El cociente es cuántas veces enteras cabe el divisor en el dividendo, y el resto es lo que sobra cuando ya no cabe más. Los dos están atados por la definición: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Para 1234 ÷ 12 el cociente es 102 y el resto es 10, y 12 × 102 + 10 devuelve 1234. El resto es siempre menor que el divisor, y eso es lo que hace que el cociente sea el mayor número entero posible. La comprobación es esa misma igualdad escrita en el panel.
¿Por qué el resto no es negativo aquí?
Porque esta página usa la convención en la que el resto es el no negativo: se resta el mayor múltiplo del divisor que no supere al dividendo, y lo que queda está entre 0 y el divisor. Los lenguajes de programación a menudo truncan en su lugar, lo que puede dejar un resto negativo: dividir −1 entre 2 da un resto de −1 con truncado y 1 con esta convención. La página del resto muestra las dos una al lado de la otra. Aquí los dividendos negativos se rechazan en lugar de tratarlos con una elección silenciosa.
¿Puede la respuesta llevar un cero?
Sí, y el cero forma parte de la respuesta. Un dígito cero aparece siempre que el valor de ese paso es menor que el divisor, así que 1234 ÷ 12 produce los dígitos 0, 1, 0, 2: el cero del medio no se puede quitar, porque 102 y 12 son números distintos. Solo se omite un cero inicial, porque 0102 y 102 son el mismo número.
¿Qué pasa cuando el dividendo es menor que el divisor?
Que el cociente es 0 y el resto es el dividendo entero. 7 ÷ 999999999 cabe 0 veces, así que no se resta nada y los 7 quedan enteros; la comprobación se lee 999999999 × 0 + 7 = 7. La lista de pasos tiene una sola línea, porque el número de pasos es siempre igual al número de dígitos del dividendo y no depende para nada del divisor.
¿Por qué empiezan a repetirse los restos?
Porque cada paso depende solo del valor que entra en él, así que en cuanto un resto vuelve a aparecer, toda la secuencia que viene detrás se repite. Dividir 1000000000 entre 7 produce los restos 1, 3, 2, 6, 4, 5 y otra vez 1, así que los dígitos del cociente se repiten como 142857. De ahí vienen los decimales periódicos: continuar esa misma operación más allá de la coma añadiendo ceros convierte el ciclo en el bloque que se repite de 1/7.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de restoCociente y resto de una división, entera o decimal.Calculadora de fracción a decimalConvierte una fracción en decimal, exacto o periódico.Conversor de decimal a binarioConvierte un número decimal a binario, con los restos.Calculadora de redondeoRedondea a cualquier cifra, con el modo que elijas.