Calculadora de multiplicar fracciones
Resultado
Producto (en forma irreducible)
- Antes de simplificar
- 6/12
- Primera fracción, simplificada en cruz
- 1
- Segunda fracción, simplificada en cruz
- 1/2
Una calculadora de multiplicar fracciones toma dos fracciones y da su producto, y además muestra el atajo que hace fácil esa multiplicación. 2/3 por 3/4 es 1/2, y la razón de que merezca la pena mostrarlo es que la multiplicación en bruto da 6/12: correcto, y muy lejos de la respuesta. La simplificación en cruz llega antes. Antes de multiplicar, mira cada numerador contra el denominador que tiene en diagonal enfrente y divide los dos entre lo que tengan en común; aquí el 2 de arriba se simplifica contra el 4 de la otra línea, y el 3 se simplifica contra el otro 3. Lo que queda es 1/1 por 1/2, que es la respuesta sin ningún paso de simplificación al final. Las dos lecturas están en el panel. Los cuatro números que imprime esta página son la respuesta en su forma irreducible, el mismo producto antes de simplificar nada, y los dos factores tal como quedan una vez hecha la simplificación; estos dos últimos son lo que hace que el atajo se pueda comprobar en lugar de ser un truco que hay que memorizar. Multiplicar fracciones es la única operación que no necesita común denominador, y merece la pena ver por qué: sumar cuartos y tercios obliga a buscar antes los doceavos, mientras que multiplicarlos multiplica los dos denominadores entre sí y ese paso no existe. Lo único que se atasca es qué parejas se simplifican, y la respuesta es las diagonales (numerador contra el denominador de enfrente), nunca los dos numeradores entre sí, porque esos se multiplican en lugar de simplificarse.
Ocho productos de fracciones con la simplificación a la vista
| Primera fracción | Segunda fracción | Primera fracción, simplificada en cruz | Segunda fracción, simplificada en cruz | Producto |
|---|---|---|---|---|
| 2/3 | 3/4 | 1 | 1/2 | 1/2 |
| 3/4 | 8/9 | 1 | 2/3 | 2/3 |
| 5/6 | 3/10 | 1/2 | 1/2 | 1/4 |
| 7/8 | 4/5 | 7/2 | 1/5 | 7/10 |
| -2/3 | 3/4 | -1 | 1/2 | -1/2 |
| -7/9 | 3/7 | -1/3 | 1 | -1/3 |
| 1/2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 99/100 | 100/99 | 1 | 1 | 1 |
Cada fila son los mismos dos pasos (simplificar las diagonales y multiplicar en línea recta) sobre una pareja distinta, y las cinco columnas son los dos datos, los dos factores después de simplificar y la respuesta en su forma irreducible. Multiplicar las dos columnas de los factores simplificados da siempre el producto de la última columna, y esa es la comprobación de que se simplificó contra las parejas correctas: si los dos factores simplificados no dan el producto al multiplicarlos, se emparejó un numerador con el denominador que no era. Las tres primeras filas son parejas en las que se simplifican las dos diagonales y los factores vuelven sencillos; la tercera de ellas, 5/6 por 3/10, se simplifica en los dos sentidos y aterriza en 1/4. La cuarta fila es la otra forma, en la que una diagonal es coprima y pasa intacta (7 contra 5), así que el primer factor simplificado conserva un denominador 2 mientras que el otro se simplifica del todo. La quinta fila es negativa, y el signo menos sobrevive a la simplificación en el numerador. La sexta fila tiene las dos fracciones simplificándose por completo, 3 contra 9 y 7 contra 7, así que el segundo factor vuelve como un 1 pelado. La séptima fila multiplica un medio por un número entero escrito como 2/1, que no necesita ningún caso especial. La octava fila es una fracción por su propio recíproco: todo se simplifica, los dos factores vuelven como 1 y la respuesta es 1, la fila en la que el atajo ha ahorrado más trabajo, porque multiplicar en línea recta habría escrito antes 9900 sobre 9900. Lee las dos primeras columnas de arriba abajo y las respuestas en el mismo orden: los mismos cuatro números reordenados dan productos distintos, y por eso merece la pena comprobar contra la línea sin simplificar si los escribiste en los campos que no eran.
Fórmula
a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Simplificación en cruz: divide a y d entre mcd(a, d), y c y b entre mcd(c, b), antes de multiplicar Después simplifica el producto
- First numerator
- Lo de arriba de la primera fracción: 2 en 2/3. Se simplifica contra el denominador de la otra fracción, no contra el suyo ni contra el otro numerador. Puede ser negativo, y el signo viaja con él a través de la simplificación y hasta la respuesta.
- First denominator
- Lo de abajo de la primera fracción: 3 en 2/3. Tiene que ser positivo, porque una fracción lleva su signo en el numerador y esa convención es lo que hace que la simplificación no sea ambigua. Se simplifica contra el numerador de la segunda fracción.
- Second numerator
- Lo de arriba de la segunda fracción: 3 en 3/4. Se simplifica contra el primer denominador, que en el caso por defecto es el mismo 3, así que los dos desaparecen a la vez y las dos lecturas simplificadas salen más sencillas.
- Second denominator
- Lo de abajo de la segunda fracción: 4 en 3/4. Se simplifica contra el primer numerador (el 2 contra el 4 en el caso por defecto) y tiene que ser positivo por la misma razón que el primero.
- Cross-cancelling
- Dividir el numerador de una fracción y el denominador de la otra entre su máximo común divisor antes de multiplicar. Se simplifican las dos parejas diagonales, y la gracia de hacerlo antes es que el producto llega ya en su forma irreducible, sin ninguna división larga al final. Funciona porque dividir un factor y multiplicar por ese mismo número se compensan.
- Cancelled factors
- Las dos fracciones tal como quedan una vez simplificadas las parejas diagonales: 1/1 y 1/2 en el caso por defecto. Multiplicadas dan el valor de la respuesta, y esa es la manera de comprobar el atajo: si las dos lecturas no dan el producto al multiplicarlas, algo se simplificó contra la pareja que no era. Se imprimen tal cual, así que un factor que se simplifica del todo aparece como un 1 pelado.
- Product before reducing
- Lo que da multiplicar en línea recta, sin simplificar nada: 6/12 en el caso por defecto. Es el mismo número que la respuesta y una pareja de enteros mucho más grande, y se imprime para que la diferencia entre los dos caminos se vea en lugar de afirmarse.
El primer uso es el ejercicio: multiplicar fracciones se enseña antes de dividirlas, y es la operación en la que se presenta la simplificación en cruz, y por eso el panel imprime los dos factores simplificados y no solo la respuesta. El segundo es comprobar un trabajo hecho a mano: escribe las dos fracciones, lee los factores simplificados contra los tuyos, y si los tuyos son distintos el producto también lo será. El tercero es un producto que simplifica mucho, como 99/100 por 100/99, donde multiplicar en línea recta da 9900/9900 y la simplificación en cruz da 1 sin ninguna aritmética. El cuarto es una fracción negativa, donde el signo tiene que sobrevivir a la simplificación: −2/3 por 3/4 es −1/2, y el signo pertenece al numerador que lo lleva. El quinto es una fracción multiplicada por un número entero, que no es más que la segunda fracción escrita con denominador 1 (1/2 por 2 es 1/2 por 2/1) y la página la acepta sin ningún caso especial. Hay también un uso que consiste en lo contrario: simplificar antes de multiplicar es opcional, y entrar las mismas dos fracciones sin hacerlo para ver las dos líneas del panel juntas es la manera más rápida de entender qué ahorra.
Ejemplos resueltos
2/3 × 3/4
- Simplifica las diagonales: 2 contra 4 comparten el factor 2, y quedan 1 y 2; 3 contra 3 comparten el 3, y quedan 1 y 1
- Los dos factores son ahora 1/1 y 1/2
- Multiplica en línea recta: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
- Sin simplificar habría sido (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12, que es el mismo número
El caso por defecto, y el que muestra qué compra la simplificación en cruz: los dos caminos producen 1/2 y 6/12, el mismo valor, y solo uno de ellos está ya en su forma irreducible. Fíjate en que el primer factor simplificado se imprime como un 1 pelado y no como 1/1: todos sus números se simplificaron, y un denominador igual a uno se escribe sin él. La comprobación está en las dos últimas lecturas: multiplícalas y sale la respuesta, 1 × 1/2 = 1/2.
7/8 × 4/5
- Simplifica las diagonales: 7 contra 5 no comparten nada, así que los dos se quedan; 4 contra 8 comparten el 4, y quedan 1 y 2
- Los dos factores son ahora 7/2 y 1/5
- Multiplica en línea recta: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
- Sin simplificar: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, el mismo número con enteros más grandes
El caso en el que solo se simplifica una de las dos diagonales: 7 y 5 son primos entre sí, así que esa pareja pasa intacta y el primer factor conserva un denominador 2, mientras que la otra diagonal se simplifica del todo y el segundo factor baja a 1/5. La mitad del trabajo de la simplificación en cruz es reconocer cuándo no hay nada que hacer, y por eso una lectura que vuelve sin cambios es información y no un fallo. La respuesta 7/10 ya está en su forma irreducible, y la línea sin simplificar, 28/40, muestra lo que habría entregado el camino largo.
99/100 × 100/99
- Simplifica las diagonales: 99 contra 99 comparten el 99, y quedan 1 y 1; 100 contra 100 comparten el 100, y quedan 1 y 1
- Los dos factores son ahora 1/1
- Multiplica en línea recta: 1 × 1 = 1
- Sin simplificar: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9900/9900, que también es 1
Una fracción multiplicada por su propio recíproco, que es el caso que muestra cuánto ahorra el atajo: el camino largo construye 9900 sobre 9900 y después tiene que simplificarlo otra vez hasta 1, mientras que la simplificación en cruz no escribe ninguno de los dos números. Las dos lecturas vuelven como 1 pelados porque los dos factores se simplificaron por completo, que es la forma que tiene un recíproco en esta notación. Es también la ilustración más clara de por qué funciona la simplificación: el 99 y el 100 se están multiplicando y dividiendo cada uno por la misma cantidad.
−2/3 × 3/4
- Simplifica las diagonales: −2 contra 4 comparten el factor 2, y quedan −1 y 2; 3 contra 3 comparten el 3, y quedan 1 y 1
- Los dos factores son ahora −1/1 y 1/2
- Multiplica en línea recta: (−1 × 1) ÷ (1 × 2) = −1/2
- El signo pertenece al numerador en todas las líneas
Una fracción negativa, donde el signo viaja con el numerador a través de la simplificación: −2 y 4 comparten el factor 2, y lo que queda es −1 y 2, así que el menos sigue ahí después de la simplificación en lugar de haberse simplificado con ella. Fíjate en que el denominador se queda positivo en todas las líneas: una fracción lleva su signo arriba, que es exactamente la convención que mantiene esto sin ambigüedad. Un factor negativo da un producto negativo; dos habrían dado uno positivo.
1/2 × 2
- Escribe el número entero como fracción: 2 es 2/1
- Simplifica las diagonales: 1 contra 1 no comparten nada; 2 contra 2 comparten el 2, y quedan 1 y 1
- Multiplica en línea recta: 1 × 1 = 1
- Así que la mitad de dos es uno
Un número entero, que no necesita ningún caso especial: 2 es 2/1, así que la página lo trata como cualquier otra fracción y la simplificación en cruz encuentra el 2 contra el 2. Sin ese paso el producto sería 2/2 y todavía habría que simplificarlo, que es la diferencia que marca el atajo en un ejemplo tan pequeño. Que la respuesta salga como un 1 pelado y no como 1/1 es la misma convención que en el resto de la página: un denominador igual a uno no se escribe.
Limitaciones
Los dos denominadores tienen que ser positivos, porque una fracción lleva su signo en el numerador, y esa convención aquí hace trabajo real: la simplificación empareja los números en diagonal y sería ambigua si cualquiera de los denominadores pudiera ser negativo. Los numeradores sí pueden ser negativos, y el signo viaja hasta la respuesta. Los cuatro números están acotados en tamaño: los numeradores y los denominadores llegan cada uno hasta unos noventa y cuatro millones, que es el valor más grande para el que los dos numeradores multiplicados entre sí siguen cayendo en un entero representable con exactitud. Un producto por encima de eso sería inexacto sin avisar, así que la página rechaza la entrada en lugar de imprimir un número que parece correcto. El cero se acepta en un numerador (el producto es entonces cero y los dos factores simplificados vuelven como cero sobre algo), pero un denominador cero no, porque la fracción no existiría. La página multiplica dos fracciones y nada más: no suma, no resta y no divide, y no acepta un número mixto escrito como un entero al lado de una fracción, que hay que convertir antes a fracción impropia. Por último, la respuesta está en su forma irreducible mientras que las lecturas de los factores no lo están necesariamente: un factor simplificado puede seguir imprimiéndose como 2/2 si sus propios números comparten un factor, y eso es la lectura siendo honesta sobre lo que hizo la simplificación, no la respuesta estando mal.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se multiplican dos fracciones?
- Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. 2/3 por 3/4 es (2 × 3) sobre (3 × 4), o sea 6/12, y 6/12 se simplifica a 1/2. No hace falta común denominador, a diferencia de la suma, y eso es lo único que hace que multiplicar fracciones sea más fácil que sumarlas.
- ¿Qué es la simplificación en cruz?
- Dividir un numerador y el denominador que tiene en diagonal enfrente entre su máximo común divisor antes de multiplicar. En 2/3 por 3/4, el 2 se simplifica con el 4 y el 3 se simplifica con el otro 3, y queda 1/1 por 1/2, que ya es la respuesta. Funciona porque dividir un factor y multiplicar por el mismo número se compensan.
- ¿Qué números se simplifican, los de en medio o los de los lados?
- Siempre en diagonal: cada numerador contra el denominador de la otra fracción. Los dos numeradores se multiplican entre sí, no se simplifican uno contra otro, y lo mismo los dos denominadores. Simplificar la pareja equivocada da una respuesta equivocada en lugar de ninguna respuesta, y por eso el panel imprime los dos factores simplificados.
- ¿Es obligatorio simplificar antes de multiplicar?
- No, y la página muestra los dos caminos: 6/12 y 1/2 son el mismo número. Lo que compra la simplificación en cruz es que el producto llega ya en su forma irreducible, sin ningún paso de simplificación al final: en 99/100 por 100/99, el atajo da 1 mientras que el camino largo escribe antes 9900 sobre 9900.
- ¿Se puede multiplicar una fracción por un número entero?
- Sí. Escribe el número entero sobre 1 (2 se convierte en 2/1) y entonces es una multiplicación normal. 1/2 por 2 es 1/2 por 2/1, los doses se simplifican en diagonal y la respuesta es 1. No hay ninguna regla especial para los números enteros.
- ¿Y con fracciones negativas?
- El signo pertenece al numerador y viaja con él. −2/3 por 3/4 es −1/2: el −2 se simplifica con el 4 y deja −1 y 2, así que el menos sobrevive a la simplificación. Los denominadores se quedan positivos en todo momento, que es la convención que hace que el emparejamiento en diagonal no sea ambiguo.
- ¿Por qué uno de los factores simplificados se imprime como un 1 pelado?
- Porque todo lo suyo se simplificó. Cuando un numerador y el denominador de enfrente comparten todos sus factores, lo que queda es 1 sobre 1, y un denominador igual a uno se escribe sin él, la misma convención que usa el resto de la página. Un 1 pelado es un factor que se ha simplificado hasta desaparecer, no una lectura que falte.
Referencias
- Fracciones: fracciones equivalentes, simplificación y reducción a común denominador — el paso que aquí se adelanta al producto mediante la simplificación en cruz — Matemáticas IES (España)
- Operaciones con fracciones: multiplicación y división con ejercicios resueltos, incluida la simplificación de factores antes de multiplicar — Matemáticas IES (España)
- Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of multiplying two of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the answer on this page is printed in and the form the unreduced line has to be reduced to — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, which is the number each diagonal pair is divided by before the multiplication — Wolfram MathWorld (United States)
- Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which a diagonal pair has nothing to cancel and passes through unchanged — Wolfram MathWorld (United States)