¿Qué es la multiplicación larga?

Multiplicar dos números descomponiendo las cifras de uno de ellos: cada cifra del multiplicador produce una línea, las líneas se desplazan a la izquierda según la posición que ocupaba esa cifra y después se suman. Da el mismo producto que una calculadora, con las líneas intermedias conservadas.

¿Por qué se desplazan los productos parciales?

Porque el valor de una cifra depende de dónde se sienta. El 4 de 45 vale cuarenta, así que todo lo que multiplica tiene que salir diez veces mayor que lo que produjo el 5, y escribir la línea una posición más a la izquierda es la forma de registrarlo. Es la misma regla que hace que las columnas de una suma queden alineadas.

¿Cómo sé dónde va la coma decimal?

Cuenta los decimales de los dos factores y súmalos. 2,3 tiene uno y 4,5 tiene uno, así que el producto tiene dos y 1035 pasa a ser 10,35. Los dígitos nunca ven la coma: toda la multiplicación va sobre números naturales y la coma se coloca al final.

¿Por qué se conserva una línea de ceros?

Porque la información es la posición de la línea. Cuando la cifra de las unidades del multiplicador es cero, esa línea dice que la posición de las unidades no aportó nada, y saltársela perdería el hecho de que la línea que queda está desplazada. Conservarla hace además que las líneas sumen siempre el producto, que es la comprobación que la página está construida para sostener.

¿Qué pasa con los factores negativos?

El producto es negativo cuando lo es exactamente uno de los dos factores, y positivo cuando lo son los dos. Los productos parciales se imprimen sin signo en ambos casos, igual que un cálculo escrito deja el signo menos fuera de la operación, y eso es lo que hace que sigan sumando el producto.

¿Por qué un producto entero se imprime con una fila de ceros?

Porque el panel imprime el producto con seis decimales fijos, así que 1035 sale como 1035.000000. La alternativa sería imprimir el producto como texto, lo que metería un punto ASCII en la respuesta, incorrecto en los países donde el separador decimal es la coma, y sería peor que unos cuantos ceros de relleno.

Calculadora de multiplicación

Resultado

1035,000000

Producto

Productos parciales: 115, 920
Decimales del producto: 0

Una calculadora de multiplicación larga multiplica dos números dígito a dígito y deja a la vista cada producto parcial, junto con el desplazamiento que lo coloca en su sitio y la posición final de la coma decimal. Multiplicar dos números aquí significa multiplicar los dígitos de uno por cada cifra del otro, escribir cada resultado en su propia línea y sumar las líneas, que es la misma suma que hace la página de las sumas largas, una línea cada vez. El caso por defecto resuelve 23 × 45 = 1035 como los productos parciales 115 y 920, el segundo desplazado una posición a la izquierda. Los decimales no cambian nada del trabajo con los dígitos: 2,3 × 4,5 usa exactamente los mismos dos productos parciales, y solo se mueve la coma, dos posiciones hacia dentro desde la derecha porque los dos factores llevan un decimal cada uno. Los factores negativos se aceptan y los productos parciales se siguen imprimiendo sin signo, del mismo modo que un cálculo escrito deja el signo menos fuera de la operación.

23 × 45, una cifra del multiplicador cada vez

Desplazamiento	Cifra del multiplicador	Producto parcial	Valor tras el desplazamiento
0	5	115	115
1	4	92	920

Una fila por cifra del multiplicador, empezando por la de las unidades. La columna del desplazamiento es la razón de que la tabla exista: en papel el desplazamiento se muestra dejando un hueco al principio de la línea, y una fila escrita en una tabla no tiene huecos que dejar, así que la alineación tiene que convertirse en un número. Leer la última columna de arriba abajo da las dos líneas que después se suman, y sumarlas es una suma en columna corriente: el desplazamiento de 1 es exactamente el cero del final de 920. Todas las celdas son números enteros, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

a × b: escribe los dígitos de b como b₀ + 10·b₁ + …, toma a × b_k en su propia línea, desplázala k posiciones y suma las líneas producto = (a × b) con la coma decimal colocada tantas posiciones desde la derecha como decimales haya entre los dos factores

a: El multiplicando, el número que se multiplica. Se multiplica entero por cada cifra del otro número por turno, así que se queda de una pieza mientras el otro se descompone
b: El multiplicador, el número cuyas cifras se toman de una en una empezando por la derecha. Cada una de sus cifras produce una línea, incluida la cifra cero, porque esa línea registra qué posición ocupaba la cifra: un hueco vacío también es información
shift: Cuántas posiciones a la izquierda se escribe la línea, igual a la posición que ocupaba la cifra del multiplicador. Aquí se ve el valor posicional en acción: el 4 de 45 vale cuarenta, así que su producto parcial es diez veces mayor que los que produce la cifra de las unidades. En papel el desplazamiento se muestra empezando la línea más a la izquierda; en una tabla tiene que convertirse en un número
decimal places: El número de dígitos que hay detrás de la coma decimal, sumado entre los dos factores en lugar de contado en uno de ellos. 2,3 tiene uno y 4,5 tiene uno, así que el producto lleva dos, y 1035 se convierte en 10,35. Nada del trabajo con los dígitos depende de esto: la multiplicación va entera sobre números naturales y la coma se coloca después

Úsala para multiplicar dos números a mano y conservar el desarrollo: comprobar un producto que se hizo en papel, enseñar el paso del desplazamiento, o resolver decimales en los que la posición de la coma es justo la parte que sale mal. El método también se llama multiplicar en columnas, y no es más que la multiplicación escrita con todas sus líneas a la vista. La multiplicación repetida de un número por sí mismo es la página de los exponentes, donde los dos factores son el mismo y el desplazamiento no cambia de una línea a otra. La multiplicación de fracciones tiene su propia regla, numerador por numerador y denominador por denominador, y se lleva mejor por separado. Y cuando lo que haya que multiplicar sea un porcentaje de algo, la página de los porcentajes se ocupa de la parte y no de la cuenta entera.

Ejemplos resueltos

23 × 45
1. Multiplica por la cifra de las unidades: 23 × 5 = 115, escrita sin desplazamiento
2. Multiplica por la cifra de las decenas: 23 × 4 = 92
3. La cifra de las decenas vale diez veces más, así que esa línea se desplaza una posición a la izquierda y se lee 920
4. Suma las líneas: 115 + 920 = 1035
5. Ninguno de los dos factores tiene decimales, así que el producto tampoco
6. El producto es 1035
El caso por defecto. El 0 del final de 920 es el desplazamiento hecho visible: en papel esa línea simplemente empieza una columna más a la izquierda, y al leerla se convierte en un dígito que hay que escribir. Las dos líneas sumadas son una suma en columna corriente, que es la página de al lado.
Los mismos dígitos con coma decimal
1. Ignora las comas y multiplica los dígitos: 23 × 45 es el ejemplo anterior
2. Los productos parciales son 115 y 920, sin cambios
3. Cuenta los decimales: 2,3 tiene uno y 4,5 tiene uno, así que el producto tiene dos
4. Coloca la coma dos dígitos hacia dentro desde la derecha de 1035
5. El producto es 10,35
La afirmación más clara de cómo funcionan aquí los decimales: el trabajo con los dígitos es idéntico a multiplicar 23 por 45, y toda la diferencia está en dónde aterriza la coma. Por eso los decimales se informan como una suma en lugar de contarse en uno de los dos factores.
Una cifra cero en el multiplicador
1. Multiplica por la cifra de las unidades: 23 × 0 = 0, escrita sin desplazamiento
2. Multiplica por la cifra de las decenas: 23 × 4 = 92, desplazada una posición a la izquierda, o sea 920
3. Suma las líneas: 0 + 920 = 920
4. El producto es 920
La línea del cero se conserva en lugar de saltarse. A mano se suele omitir, pero lo que se está registrando es su posición, y dice que la cifra de las unidades del 40 no aportó nada; la comprobación de que las líneas suman el producto solo se sostiene si la línea está. Es la elección contraria a la de la página de FOIL, donde un término que sale cero se omite: allí el término vacío no existe, mientras que aquí sí hay una línea escrita.

Limitaciones

Los dos factores pueden llevar entre los dos como mucho seis decimales, y lo que se limita es la suma y no cada número por separado. Es un límite de presentación y no de aritmética: el panel imprime el producto con seis decimales, así que un producto que necesitara ocho saldría como 0,000000, una respuesta equivocada vestida de respuesta correcta. Cada factor está limitado a una magnitud de un millón, y la forma entera del producto al mayor entero representable con exactitud, porque los dígitos se leen posición a posición y más allá de ese punto los productos parciales dejan de sumar la respuesta. Los factores negativos se aceptan y los productos parciales se imprimen sin signo; el signo aparece solo en el producto final. El cero es un factor legítimo, y el producto de un negativo por un cero se imprime como 0 y no como cero negativo. Esta página multiplica; la división es un procedimiento aparte, con sus propias reglas de columnas, y un producto no se puede deshacer aquí dividiendo entre uno de los factores.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la multiplicación larga?: Multiplicar dos números descomponiendo las cifras de uno de ellos: cada cifra del multiplicador produce una línea, las líneas se desplazan a la izquierda según la posición que ocupaba esa cifra y después se suman. Da el mismo producto que una calculadora, con las líneas intermedias conservadas.
¿Por qué se desplazan los productos parciales?: Porque el valor de una cifra depende de dónde se sienta. El 4 de 45 vale cuarenta, así que todo lo que multiplica tiene que salir diez veces mayor que lo que produjo el 5, y escribir la línea una posición más a la izquierda es la forma de registrarlo. Es la misma regla que hace que las columnas de una suma queden alineadas.
¿Cómo sé dónde va la coma decimal?: Cuenta los decimales de los dos factores y súmalos. 2,3 tiene uno y 4,5 tiene uno, así que el producto tiene dos y 1035 pasa a ser 10,35. Los dígitos nunca ven la coma: toda la multiplicación va sobre números naturales y la coma se coloca al final.
¿Por qué se conserva una línea de ceros?: Porque la información es la posición de la línea. Cuando la cifra de las unidades del multiplicador es cero, esa línea dice que la posición de las unidades no aportó nada, y saltársela perdería el hecho de que la línea que queda está desplazada. Conservarla hace además que las líneas sumen siempre el producto, que es la comprobación que la página está construida para sostener.
¿Qué pasa con los factores negativos?: El producto es negativo cuando lo es exactamente uno de los dos factores, y positivo cuando lo son los dos. Los productos parciales se imprimen sin signo en ambos casos, igual que un cálculo escrito deja el signo menos fuera de la operación, y eso es lo que hace que sigan sumando el producto.
¿Por qué un producto entero se imprime con una fila de ceros?: Porque el panel imprime el producto con seis decimales fijos, así que 1035 sale como 1035.000000. La alternativa sería imprimir el producto como texto, lo que metería un punto ASCII en la respuesta, incorrecto en los países donde el separador decimal es la coma, y sería peor que unos cuantos ceros de relleno.

Referencias

Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de sumas largasSuma varios números en columna, con el acarreo.Calculadora de exponentesPotencia de una base, con exponente positivo o negativo.Calculadora de multiplicar fraccionesMultiplica dos o más fracciones y simplifica el resultado.