¿Qué es una suma larga?

Sumar números tal y como se escriben: alinear los dígitos por posición, trabajar desde la columna de las unidades hacia la izquierda y llevarse lo que sobra a la columna siguiente. Es la misma suma que da una calculadora, pero conservando los pasos intermedios en lugar de descartarlos.

¿Por qué se empieza por la columna de las unidades?

Porque la llevada viaja hacia la izquierda. Cada columna necesita la llevada que entra en ella, y esa viene de la columna de su derecha, así que la de las unidades tiene que estar resuelta antes de poder resolver la de las decenas. Empezar por cualquier otra obligaría a volver atrás en cuanto llegara la llevada.

¿Qué me dice la cadena de llevadas?

Lista lo que cada columna se llevó a la siguiente, empezando por la de las unidades. Su longitud es el número de dígitos de la suma, así que sirve también de comprobación: si se ha perdido una llevada o se ha saltado una columna, las dos longitudes dejan de coincidir y el desarrollo no cuadra con el resultado.

¿Por qué la respuesta puede tener más dígitos que el sumando más largo?

Porque la última columna todavía puede llevarse algo. Sumar 9 y 9 llena la columna de las unidades y deja una llevada sin sitio donde ir, así que se abre una columna nueva para guardarla, y 9 + 9 pasa a ser 18 en lugar de 8. Esa columna de más es la razón de que la cadena pueda tener una entrada más que el sumando más ancho.

¿Puedo sumar decimales?

En esta página no. Los decimales también se pueden sumar por columnas, pero solo después de alinearlos con la coma decimal y rellenar con ceros, y eso cambia lo que significa una columna: pasa de ser un valor posicional a ser una posición detrás de la coma. La página rechaza la entrada en lugar de leer 1,5 como 15.

¿Importa el orden de los sumandos?

La suma es la misma en cualquier orden. La cadena de llevadas no: un orden distinto cambia el dígito que recibe cada columna, y una columna cuyos dígitos sumen justo 9 se llevará algo en una colocación y no en otra. El desarrollo intermedio depende del orden aunque la respuesta no.

Calculadora de sumas largas

Resultado

1890

Suma

Llevadas: 2, 1, 0, 0

Una calculadora de sumas largas suma una lista de números enteros tal y como se escriben, columna a columna, e imprime la llevada que pasa a la izquierda en cada paso. Es la versión de la suma que enseña su trabajo: el resultado vuelve con el dígito escrito en cada posición y con una cadena de llevadas que tiene una entrada por columna, así que la respuesta se puede comprobar contra el desarrollo en lugar de darse por buena. El caso por defecto suma 1234, 567 y 89 y da 1890, con llevadas de 2, 1, 0 y 0 recorriendo desde la columna de las unidades hacia la izquierda. Solo se aceptan números enteros: una coma decimal obligaría antes a alinear los números con ella, que es otro procedimiento, y un signo menos necesita una columna y una regla propias. La cadena de llevadas tiene siempre exactamente tantas entradas como dígitos tiene la suma, y esa coincidencia es la manera más rápida de comprobar que no se ha perdido nada por el camino.

1234 + 567 + 89 resuelta columna a columna

Columna	Dígitos	Llevada entrante	Total	Dígito escrito	Llevada saliente
0	4 + 7 + 9	0	20	0	2
1	3 + 6 + 8	2	19	9	1
2	2 + 5 + 0	1	8	8	0
3	1 + 0 + 0	0	1	1	0

Una fila por columna, leídas desde la de las unidades hacia arriba, que es la dirección en la que se trabaja de verdad. La columna de los dígitos lista lo que aporta cada sumando a esa posición, incluidos los ceros de los sumandos demasiado cortos para llegar hasta ella, y ese es el paso en el que más se pierde quien lee. El total es la llevada entrante más esos dígitos, y las dos últimas columnas lo parten en el dígito que se escribe y la llevada que se manda a la izquierda. La llevada entrante de la primera fila es cero porque no hay nada a la derecha de la columna de las unidades, y la llevada saliente de la última es cero porque no hay nada a su izquierda. Las columnas son números enteros y las cadenas de dígitos son notación, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

columna k: total = dígito_k(a₁) + … + dígito_k(aₙ) + llevada entrante dígito escrito = total mod 10 llevada saliente = ⌊total ÷ 10⌋

a₁ … aₙ: Los sumandos: entre dos y diez números enteros, cada uno de ellos no mayor que un billón. La primera columna es la de las unidades de todos los números a la vez, y por eso los números tienen que estar escritos con sus dígitos alineados para que este procedimiento signifique algo
column k: La k-ésima posición contada desde la derecha, con la columna de las unidades como cero. Cada columna contiene un dígito de cada sumando, y un número demasiado corto para llegar hasta ahí aporta un cero en lugar de quedarse fuera: el valor posicional de un dígito lo decide la columna en la que se sienta y no el número del que viene
carry: La cantidad que se lleva a la columna siguiente hacia la izquierda. Es lo que sobra una vez quitado el dígito que se escribe, o sea la parte de las decenas del total. Una columna puede llevarse como mucho un 9, y la columna más alta puede llevar todavía una posición más allá de la anchura del sumando más largo, que es lo que convierte 9 + 9 en una respuesta de dos dígitos. En los textos formales esta cantidad se llama acarreo, pero aquí se usa llevada porque es la palabra con la que se enseña y porque la fila del panel que lista la cadena se titula Llevadas
sum: El total, y también la referencia contra la que se mide la cadena de llevadas: la cadena tiene una entrada por columna, así que su longitud es el número de dígitos de la suma. Los ceros a la izquierda nunca se escriben, de modo que 007 es la respuesta 7

Úsala cuando la suma haya que enseñarla y no solo responderla: explicar el paso de la llevada, comprobar un total hecho a mano, o sumar varios números a la vez cuando las llevadas intermedias son justo la parte que sale mal. Sumar números para hallar su promedio es la pregunta siguiente después de un total, y la página de la media toma la misma lista. Y si lo que quieres es multiplicar por columnas en lugar de sumar, la calculadora de multiplicación hace el mismo desarrollo con productos parciales en vez de con una sola cifra escrita por columna.

Ejemplos resueltos

1234 + 567 + 89
1. Columna de las unidades: 4 + 7 + 9 = 20, así que se escribe 0 y se lleva 2
2. Columna de las decenas: 3 + 6 + 8 + 2 = 19, así que se escribe 9 y se lleva 1
3. Columna de las centenas: 2 + 5 + 0 + 1 = 8, así que se escribe 8 y se lleva 0
4. Columna de los millares: 1 + 0 + 0 + 0 = 1, así que se escribe 1 y se lleva 0
5. Los dígitos escritos, de la columna más alta hacia abajo, son 1, 8, 9, 0
6. La suma es 1890 y la cadena de llevadas es 2, 1, 0, 0
Los tres sumandos tienen cuatro, tres y dos dígitos, así que los dos más cortos se quedan sin dígitos en las columnas altas y ahí no aportan nada. La cadena tiene cuatro entradas y la suma tiene cuatro dígitos: esa coincidencia es la afirmación sobre la que está construida la página, y se cumple en todas las entradas, incluidas aquellas en las que no se lleva nada de una columna a la siguiente.
9 + 9, donde aparece una columna nueva
1. Columna de las unidades: 9 + 9 = 18, así que se escribe 8 y se lleva 1
2. No queda ninguna columna, así que la llevada abre una: se escribe 1 y se lleva 0
3. Los dígitos son 1 y 8
4. La suma es 18, así que la cadena de llevadas es 1, 0
Dos sumandos de un solo dígito y una respuesta de dos. La cadena tiene una entrada para la columna que los sumandos nunca tuvieron, y por eso es una más larga que el sumando más ancho. Leer 1, 0 como una resta de la respuesta sería un error: las entradas van de la columna de las unidades hacia arriba, así que la primera es la llevada de las unidades.
Un total sin ninguna llevada
1. Columna de las unidades: 0 + 0 + 0 = 0, se escribe 0, se lleva 0
2. Columna de las decenas: 0 + 0 + 0 = 0, se escribe 0, se lleva 0
3. Columna de las centenas: 1 + 2 + 3 = 6, se escribe 6, se lleva 0
4. La suma es 600 y la cadena de llevadas es 0, 0, 0
Aquí no se lleva nada y los ceros se imprimen igual. Una cadena que se cortara en la primera entrada distinta de cero sería ilegible frente a las columnas, porque lo que se lee en ella es justamente la correspondencia entre cada entrada y su posición. Este ejemplo separa además los sumandos con espacios en lugar de puntos y coma; las dos formas se aceptan, y los espacios evitan la coma, que en español es el separador decimal.

Limitaciones

Solo se aceptan números enteros. Una coma decimal exigiría alinear antes los sumandos con ella, rellenando con ceros hasta igualar las longitudes, y eso es un procedimiento distinto de añadir más columnas, así que los decimales se rechazan en lugar de tratarse como enteros sin avisar. Los sumandos negativos se rechazan por una razón del mismo tipo: un signo menos no es un dígito y necesita su propia columna y su propia regla. Se aceptan entre dos y diez sumandos; un solo número no tiene columna donde escribirse, y a partir de diez la aritmética se sirve mejor con una suma sobre una lista. Cada sumando está limitado a un billón y la suma al mayor entero representable con exactitud, porque los dígitos se leen posición a posición y más allá de ese punto los dígitos escritos dejan de coincidir con la respuesta. Esta página suma; no resta, ni multiplica, ni divide, y cada una de esas tres operaciones tiene su propio procedimiento por columnas, así que un total no se puede deshacer aquí restando uno de los sumandos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una suma larga?: Sumar números tal y como se escriben: alinear los dígitos por posición, trabajar desde la columna de las unidades hacia la izquierda y llevarse lo que sobra a la columna siguiente. Es la misma suma que da una calculadora, pero conservando los pasos intermedios en lugar de descartarlos.
¿Por qué se empieza por la columna de las unidades?: Porque la llevada viaja hacia la izquierda. Cada columna necesita la llevada que entra en ella, y esa viene de la columna de su derecha, así que la de las unidades tiene que estar resuelta antes de poder resolver la de las decenas. Empezar por cualquier otra obligaría a volver atrás en cuanto llegara la llevada.
¿Qué me dice la cadena de llevadas?: Lista lo que cada columna se llevó a la siguiente, empezando por la de las unidades. Su longitud es el número de dígitos de la suma, así que sirve también de comprobación: si se ha perdido una llevada o se ha saltado una columna, las dos longitudes dejan de coincidir y el desarrollo no cuadra con el resultado.
¿Por qué la respuesta puede tener más dígitos que el sumando más largo?: Porque la última columna todavía puede llevarse algo. Sumar 9 y 9 llena la columna de las unidades y deja una llevada sin sitio donde ir, así que se abre una columna nueva para guardarla, y 9 + 9 pasa a ser 18 en lugar de 8. Esa columna de más es la razón de que la cadena pueda tener una entrada más que el sumando más ancho.
¿Puedo sumar decimales?: En esta página no. Los decimales también se pueden sumar por columnas, pero solo después de alinearlos con la coma decimal y rellenar con ceros, y eso cambia lo que significa una columna: pasa de ser un valor posicional a ser una posición detrás de la coma. La página rechaza la entrada en lugar de leer 1,5 como 15.
¿Importa el orden de los sumandos?: La suma es la misma en cualquier orden. La cadena de llevadas no: un orden distinto cambia el dígito que recibe cada columna, y una columna cuyos dígitos sumen justo 9 se llevará algo en una colocación y no en otra. El desarrollo intermedio depende del orden aunque la respuesta no.

Referencias

Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is what makes the ones column the right place to start — Wolfram MathWorld (United States)
Binary — the identical carry procedure in base two, where a single 1 + 1 already carries and the chain is easiest to watch — Wolfram MathWorld (United States)
Additive Inverse — the opposite of a number, and the reason a negative addend cannot simply be written into the column — Wolfram MathWorld (United States)

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