¿Qué es una resta en columna?

Restar los números tal y como se escriben: alinear los dígitos por posición, trabajar desde la columna de las unidades hacia la izquierda y pedir prestado diez a la columna siguiente cada vez que el dígito de arriba se queda corto. Da la misma respuesta que una calculadora, pero con los pasos intermedios guardados en lugar de descartados.

¿Qué significa pedir prestado?

Tomar una unidad de la columna de la izquierda y gastarla aquí como diez. 4 − 7 no llega, así que se trae una decena y la columna se lee 14 − 7 = 7. La columna de la que salió queda una unidad más pequeña, y por eso cada préstamo afecta a dos columnas y no a una sola.

¿Prestar es lo mismo que reagrupar?

Sí: reagrupar, renombrar e intercambiar son el mismo movimiento con nombres distintos, y cuál use cada aula es una cuestión de costumbre. Un préstamo siempre cambia una unidad de la posición siguiente a la izquierda por diez unidades de esta, así que no se crea ni se destruye nada. El nombre reagrupación insiste en lo que se deshace por dentro; el nombre préstamo, en que hay que devolverlo.

¿Por qué la cadena de préstamos termina en cero?

Porque la columna más alta nunca pide prestado. Un préstamo solo ocurre cuando una columna no llega a cubrir el dígito de abajo, y la columna más alta del número mayor siempre vale más que el número menor entero, así que ahí la cadena se detiene. Ese cero final es exactamente la cadena deteniéndose, y por eso la cadena tiene una entrada más que los préstamos que de verdad se ven.

¿Cómo compruebo la respuesta?

Suma la diferencia al sustraendo y mira si vuelves a obtener el minuendo. 1234 − 567 = 667, y 667 + 567 = 1234. Esa comprobación es exacta y cuesta una suma en columna, y es la razón de que la resta y la suma se enseñen como un mismo procedimiento con los signos cambiados.

¿Puedo restar un número mayor a uno menor?

Sí, y la respuesta vuelve negativa. El desarrollo se sigue haciendo con el mayor menos el menor, porque un procedimiento columna a columna necesita que los dígitos de arriba sean los mayores en algún momento; lo único que cambia es el signo de la diferencia. 3 − 5 se desarrolla como 5 − 3 = 2 y se informa como −2.

Calculadora de resta

Resultado

667

Diferencia

Préstamos: 1, 1, 1, 0

Una calculadora de resta en columna quita un número entero a otro tal y como se escriben, columna a columna, e imprime el préstamo que pasa a la izquierda en cada paso. Es la versión de la resta que enseña su trabajo: la diferencia vuelve con el dígito escrito en cada posición y con una cadena de préstamos que tiene una entrada por columna. El caso por defecto quita 567 a 1234 y da 667, pidiendo prestado en cada columna que no llega a cubrir el dígito de abajo. Solo se aceptan números enteros, y los dos pueden venir al revés: el desarrollo sigue haciéndose con el mayor menos el menor, y el signo aparece únicamente en la respuesta.

1234 − 567 desarrollada columna a columna

Columna	Dígitos	Préstamo entrante	Bruto	Dígito escrito	Préstamo saliente
0	4 - 7	0	-3	7	1
1	3 - 6	1	-4	6	1
2	2 - 5	1	-4	6	1
3	1 - 0	1	0	0	0

Una fila por columna, leídas desde la de las unidades hacia arriba, que es la dirección en la que se trabaja de verdad. La columna de los dígitos muestra a qué se le quita qué, y como el desarrollo va siempre del número mayor menos el menor, enseña los dos dígitos tal como acaban quedando y no tal como se escribieron: un 3 − 5 aparece en esta tabla como 5 − 3. Bruto es la resta propia de la columna antes de que se le traiga nada de la izquierda, así que puede ser negativo; el préstamo saliente vale 1 exactamente cuando lo es, y el dígito escrito es ese valor bruto completado con diez. El préstamo entrante de la fila superior es cero porque no hay nada a su derecha, y el préstamo saliente de la fila inferior es cero porque no hay nada a su izquierda. Los números de columna son enteros y las cadenas de dígitos son notación, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

columna k: bruto = dígito_k(minuendo) − préstamo entrante − dígito_k(sustraendo) préstamo saliente = 1 si bruto < 0, y 0 si no dígito escrito = bruto + 10 × préstamo saliente

minuend: El minuendo: el número al que se le quita, un entero no mayor que un billón. Va en la línea de arriba del desarrollo, y todas las columnas se leen contra sus dígitos, incluidas aquellas en las que ya no le queda ninguno, que cuentan como cero.
subtrahend: El sustraendo: el número que se quita, escrito debajo y alineado por la columna de las unidades. Puede ser el mayor de los dos, y en ese caso el desarrollo se hace al revés y a la diferencia se le pone un signo menos.
column k: La k-ésima posición contada desde la derecha, con la columna de las unidades como cero. Una columna solo se puede resolver cuando ya lo está la de su derecha, porque el préstamo viaja hacia la izquierda, y por eso la columna de las unidades decide todas las de arriba.
borrow: El 1 que se toma de la columna siguiente a la izquierda cuando el dígito de arriba es menor que el de abajo. Vale diez en la columna que lo recibe, así que 4 − 7 se lee como 14 − 7, y la columna de la que salió pierde una unidad. En la escuela este paso también se llama reagrupación, porque un grupo de diez de una posición se deshace en diez unidades sueltas de la siguiente; es el mismo movimiento con dos nombres.
difference: La respuesta, y también la referencia contra la que se mide la cadena de préstamos: la cadena tiene una entrada por columna del número mayor, así que su última entrada es siempre 0. Los ceros de delante nunca se escriben, de modo que 099 es la respuesta 99.

Úsala para restar un número entero a otro cuando haga falta enseñar el desarrollo y no solo responderlo: explicar el préstamo justo en la columna que no llega a cubrir el dígito de abajo, o comprobar una diferencia hecha a mano. La comprobación que va con ella es una suma: devuelve la diferencia al sustraendo y el minuendo tiene que volver. Y si lo que quieres es multiplicar por columnas, la calculadora de multiplicación hace el mismo desarrollo con productos parciales en lugar de con una sola cifra escrita por columna, mientras que la calculadora de sumas largas es esta misma página con las llevadas yendo en la otra dirección.

Ejemplos resueltos

1234 − 567
1. Columna de las unidades: 4 − 7 no llega, así que se pide 1 prestado a las decenas y se lee 14 − 7 = 7
2. Columna de las decenas: el 3 ya perdió una unidad con ese préstamo, así que 2 − 6 tampoco llega; se vuelve a pedir prestado y se lee 12 − 6 = 6
3. Columna de las centenas: el 2 también perdió una, así que 1 − 5 no llega; se pide prestado y se lee 11 − 5 = 6
4. Columna de los millares: el 1 perdió una y queda 0 − 0 = 0
5. Los dígitos escritos, de la columna más alta hacia abajo, son 0, 6, 6, 7
6. La diferencia es 667 y la cadena de préstamos es 1, 1, 1, 0
El caso por defecto, y el que muestra por qué el desarrollo se escribe: cada columna que pide prestado deja a la de arriba una unidad más pequeña, así que el préstamo llega antes de que se lean los dígitos de esa columna. La última entrada es 0 porque la columna más alta no tiene nada por encima de donde tomar; ese cero es la cadena de préstamos deteniéndose, no un paso que falte.
1000 − 1, con el préstamo recorriendo los ceros
1. Columna de las unidades: 0 − 1 no llega, así que se pide prestado a la columna de las decenas
2. La columna de las decenas tiene un 0 y no puede prestar, así que antes pide prestado a la de las centenas
3. La columna de las centenas también tiene un 0, así que pide prestado a los millares, lo que convierte 1000 en 990 y deja diez en las centenas
4. Prestar una de esas diez a la columna de las decenas deja 9 ahí y diez en la columna de las unidades
5. Unidades: 10 − 1 = 9. Decenas: 9 − 0 = 9. Centenas: 9 − 0 = 9
6. La diferencia es 999 y la cadena de préstamos es 1, 1, 1, 0
La cadena tiene las mismas cuatro entradas que el ejemplo por defecto, y ese es justo el punto: el préstamo recorre todo el ancho del número y la respuesta es el complemento a nueve. Un cero en medio no es un sitio que pueda prestar, porque no tiene nada que dar; primero tiene que pedir prestado a la izquierda, y sobre el papel esa es la cadena tachada que se escribe encima de la resta.
3 − 5, donde la respuesta sale negativa
1. El número de arriba es menor que el de abajo, así que la resta se hace al revés: 5 − 3
2. Columna de las unidades: 5 − 3 = 2, sin nada que pedir prestado
3. Los dígitos escritos son solo 2
4. Como los dos números se han intercambiado, la respuesta lleva un signo menos
5. La diferencia es −2 y la cadena de préstamos es 0
El desarrollo es siempre el número mayor menos el menor, así que la columna de los dígitos de la tabla de abajo nunca muestra una línea negativa: el signo menos vive en la respuesta y en ningún otro sitio. Eso es exactamente lo que hace legible la cadena de préstamos, porque tiene una entrada por columna del número mayor, y esa longitud no sería fija si las columnas pudieran ir al revés.

Limitaciones

Solo se aceptan números enteros. Los decimales también se pueden restar en columna, pero solo después de alinearlos con la coma decimal y rellenarlos con ceros, y eso cambia lo que significa una columna, así que se rechazan en lugar de tratarlos en silencio como si fueran enteros. Las entradas negativas se rechazan por una razón parecida: un signo no es un dígito y necesitaría su propia columna y su propia regla. Se toman exactamente dos números; una cadena de restas son varias de estas operaciones una detrás de otra. Cada número está limitado a un billón, porque los dígitos se leen de una posición en una y más allá los dígitos escritos dejan de coincidir con la respuesta. Cuando el segundo número es el mayor, la respuesta es negativa, pero los dígitos que aparecen en el desarrollo son los del mayor menos el menor, así que la tabla no se lee directamente de los números tal como se escribieron.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una resta en columna?: Restar los números tal y como se escriben: alinear los dígitos por posición, trabajar desde la columna de las unidades hacia la izquierda y pedir prestado diez a la columna siguiente cada vez que el dígito de arriba se queda corto. Da la misma respuesta que una calculadora, pero con los pasos intermedios guardados en lugar de descartados.
¿Qué significa pedir prestado?: Tomar una unidad de la columna de la izquierda y gastarla aquí como diez. 4 − 7 no llega, así que se trae una decena y la columna se lee 14 − 7 = 7. La columna de la que salió queda una unidad más pequeña, y por eso cada préstamo afecta a dos columnas y no a una sola.
¿Prestar es lo mismo que reagrupar?: Sí: reagrupar, renombrar e intercambiar son el mismo movimiento con nombres distintos, y cuál use cada aula es una cuestión de costumbre. Un préstamo siempre cambia una unidad de la posición siguiente a la izquierda por diez unidades de esta, así que no se crea ni se destruye nada. El nombre reagrupación insiste en lo que se deshace por dentro; el nombre préstamo, en que hay que devolverlo.
¿Por qué la cadena de préstamos termina en cero?: Porque la columna más alta nunca pide prestado. Un préstamo solo ocurre cuando una columna no llega a cubrir el dígito de abajo, y la columna más alta del número mayor siempre vale más que el número menor entero, así que ahí la cadena se detiene. Ese cero final es exactamente la cadena deteniéndose, y por eso la cadena tiene una entrada más que los préstamos que de verdad se ven.
¿Cómo compruebo la respuesta?: Suma la diferencia al sustraendo y mira si vuelves a obtener el minuendo. 1234 − 567 = 667, y 667 + 567 = 1234. Esa comprobación es exacta y cuesta una suma en columna, y es la razón de que la resta y la suma se enseñen como un mismo procedimiento con los signos cambiados.
¿Puedo restar un número mayor a uno menor?: Sí, y la respuesta vuelve negativa. El desarrollo se sigue haciendo con el mayor menos el menor, porque un procedimiento columna a columna necesita que los dígitos de arriba sean los mayores en algún momento; lo único que cambia es el signo de la diferencia. 3 − 5 se desarrolla como 5 − 3 = 2 y se informa como −2.

Referencias

Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de sumas largasSuma varios números en columna, con el acarreo.Calculadora de multiplicaciónMultiplica números largos, con todos los pasos.Calculadora binariaSuma, resta, multiplica y divide en binario.