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CalcMax

Calculadora de media armónica

Resultado

86,3118

Media armónica

Promedio
86,6000
Cantidad
5
Paso a paso
5 / (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86.3118

La media armónica de una lista es cuántos valores hay dividido entre la suma de sus inversos: la media que conviene cuando lo que está fijo es el total y lo que varía es la tasa a la que se recorre. Es la única de las tres medias que queda por debajo de la geométrica, y da la respuesta correcta a una pregunta que surge continuamente en la vida corriente: un trayecto de ida a 30 y de vuelta a 60 tiene una velocidad media de 40, no de 45, porque la mitad lenta del viaje ocupa más tiempo. La media aritmética sería la correcta si se pasara la mitad del tiempo a cada velocidad; la armónica lo es porque lo que se repitió fue la mitad de la distancia. Esta calculadora imprime esa división completa, término a término, ya que con inversos de por medio la expresión es la única forma de ver qué se hizo en realidad, e imprime la media aritmética junto al resultado para que la distancia entre las dos quede a la vista.

Fórmula

Media armónica = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ
Un valor de la lista, y todos ellos tienen que ser mayores que cero. Un cero hace que 1/x sea infinito, así que la suma de los inversos se va y la respuesta sale como un cero limpio que parece un resultado; un valor negativo puede anular el denominador o sacar la respuesta fuera del rango de los datos
1/xᵢ
El inverso de un valor: su tasa convertida en tiempo, o un tiempo convertido en tasa. Este es el paso que hace que la media armónica se comporte de forma tan distinta a las otras dos: un valor pequeño tiene un inverso grande y tira con más fuerza del resultado, que es justo lo que debe pasar cuando el valor pequeño es una velocidad lenta que se come las horas
Σ(1/xᵢ)
La suma de esos inversos, y el denominador de la fracción. Es lo que el panel escribe término a término cuando la lista es corta, porque esta suma es todo el cálculo: lo demás es una única división al final
n
Cuántos valores hay, impreso en el panel de resultados. Multiplica hacia arriba lo que los inversos dividieron hacia abajo: sin él, la respuesta sería el inverso de una media en lugar de una media

Usa la media armónica cuando el numerador está fijo y lo que varía es el denominador: una distancia fija recorrida a velocidades distintas, una cantidad de trabajo fija hecha a ritmos distintos, un presupuesto fijo gastado a precios distintos. El caso clásico es un viaje en dos mitades: 30 a la ida y 60 a la vuelta dan una velocidad media de 40, porque el tramo de vuelta dura la mitad que el de ida y la velocidad lenta tiene el doble de tiempo para pesar en el resultado. Promediar las dos velocidades de forma aritmética da 45, que sería la respuesta correcta si se hubiera pasado la mitad del tiempo a cada velocidad, y conviene tener claro cuál de las dos cosas pregunta el enunciado. La misma estructura cubre el consumo de un viaje de dos tramos, el precio medio pagado cuando se gasta un presupuesto fijo a dos precios distintos y la resistencia en paralelo, donde el total es el inverso de la suma de los inversos: con resistencias iguales eso se reduce a la resistencia dividida entre su número, que es la media armónica de una lista de valores idénticos. No la uses con cantidades que se suman: para notas, alturas o importes, la media armónica es un número más pequeño sin lectura detrás, y cuanto más se separan los valores más por debajo cae de la media aritmética.

Ejemplos resueltos

  1. Cinco notas de un examen

    1. Saca el inverso de cada valor: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
    2. Súmalos: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
    3. Divide el recuento entre la suma de los inversos; el 0,057931 redondeado de arriba no deshace la división: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

    El panel no imprime a propósito esa suma intermedia de 0,057931: es una cifra redondeada, y 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, así que quien comprobara la aritmética con ella obtendría una respuesta distinta de la del panel. En su lugar se imprime la expresión, que dice qué se hizo sin invitar a una división que no sale. Este ejemplo completa además la cadena del sitio: para estos cinco números la media armónica es 86,3118, la geométrica 86,458 y la aritmética 86,6, así que las tres quedan en el orden que promete la desigualdad, y la separación entre ellas es una lectura de lo desigual que es la lista.

  2. Ida a 30 y vuelta a 60: la velocidad media es 40

    1. Saca los inversos: 1/30 = 0,033333 y 1/60 = 0,016667
    2. Súmalos: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
    3. Divide el recuento entre la suma: 2 ÷ 0,05 = 40

    Este es el ejemplo por el que existe la página entera. Recorre 60 km a 30 km/h y vuelve a 60 km/h: la ida tarda dos horas y la vuelta una, así que son tres horas para 120 km, es decir 40 km/h. La media aritmética de 30 y 60 es 45, y 45 sería correcta si se hubiera circulado una hora a cada velocidad: esa es una pregunta sobre el tiempo, y esta lo es sobre la distancia. En el otro sentido, 30 a la ida y 30 a la vuelta dan 30 por cualquiera de los dos métodos, porque no hay nada que discutir cuando los valores son iguales.

  3. Tres valores: 1, 2 y 4

    1. Saca los inversos: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
    2. Súmalos: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
    3. Divide el recuento entre la suma: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

    Los inversos van al revés que los valores, y en eso consiste todo el carácter de esta media: 1 es el valor más pequeño y aporta el término más grande, 1, mientras que 4 es el más grande y aporta el más pequeño, 0,25. Por eso la respuesta queda bastante por debajo de la media aritmética de 2,3333 y más cerca del extremo pequeño de la lista. Los valores de aquí son geométricos —cada uno dobla al anterior— y en una lista así es donde más se separan las tres medias: 1,7143, luego 2 como media geométrica y luego 2,3333.

  4. Cruzando el 1: los inversos dan la vuelta al orden

    1. Saca los inversos: 1/0,5 = 2 y 1/2 = 0,5
    2. Súmalos: 2 + 0,5 = 2,5
    3. Divide el recuento entre la suma: 2 ÷ 2,5 = 0,8

    Los valores por debajo de 1 tienen inversos por encima de 1, así que el valor pequeño de este par produce el término grande y domina el denominador: 0,5 aporta 2 mientras que 2 aporta solo 0,5. La media armónica queda por tanto en 0,8, cerca del valor pequeño, mientras que la media aritmética, 1,25, se sitúa entre los dos. Hacerlo al revés —dividir la suma entre el recuento en lugar del recuento entre la suma— produce 1,25, que es la media aritmética y en el panel parece del todo plausible, así que el orden importa y este par es donde un error en él se ve más claro.

  5. Ocho valores, escritos con Σ

    1. Saca el inverso de cada valor: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
    2. Súmalos: 2,717857
    3. Divide el recuento entre esa suma: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

    Por encima de seis valores la línea del procedimiento pasa a la abreviatura, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435, porque cada inverso ocupa seis caracteres como mínimo y una lista de doscientos valores produciría si no una línea de más de mil. La abreviatura conserva lo único que no se puede adivinar, que es hacia qué lado va la fracción. La distancia es aquí la más ancha de la página: 2,9435 frente a una media aritmética de 4,5, porque estos ocho valores se reparten por igual a lo largo de un factor ocho, y la media armónica es la más sensible al extremo pequeño de una lista.

Limitaciones

Todos los valores tienen que ser mayores que cero, y la página rechaza una lista que contenga un cero o un negativo. El cero es el peligroso, porque el inverso de cero es infinito y una implementación ingenua de la fórmula devolvería un cero limpio: un número que parece un resultado y no un fallo. Un valor negativo puede anular la suma de los inversos, lo que sería una división entre cero, o sacar la respuesta fuera del rango de los propios valores. Esta media solo tiene sentido cuando se reparte un total fijo, como una distancia fija recorrida a velocidades distintas o un presupuesto fijo gastado a precios distintos; aplicada a notas, alturas o importes produce un número más pequeño sin interpretación, y cuanto más varíen los valores más por debajo cae de la media aritmética. La suma intermedia de inversos solo se ve redondeada si la sumas tú: el panel imprime la expresión en su lugar, precisamente porque un valor intermedio redondeado no deshace la división hasta la respuesta impresa. La lista se limita a 200 valores, y un valor como 1.500 o 1,500 se rechaza en lugar de adivinarse, porque no hay forma de saber si es mil quinientos o uno coma cinco; escribe 1500 o 1,5.

Preguntas frecuentes

¿Cómo calcular la media armónica?
Saca el inverso de cada valor, súmalos y divide cuántos valores hay entre esa suma. Para 30 y 60 los inversos son 0,033333 y 0,016667, que suman 0,05, y 2 ÷ 0,05 = 40. El orden importa: es el recuento dividido entre la suma, no la suma dividida entre el recuento, y hacerlo al revés da la media aritmética en su lugar.
¿Por qué la media armónica es menor que las otras dos?
Porque tomar el inverso da la vuelta al orden de los valores y, después, cada valor aporta en proporción a lo pequeño que era. Un valor pequeño tiene un inverso grande y empuja el denominador hacia arriba, lo que empuja la respuesta hacia abajo, y el efecto crece con lo separados que estén los valores. Con valores iguales las tres medias coinciden; cuanto más se dispersa la lista, más cae la media armónica por debajo de la geométrica, que a su vez cae por debajo de la aritmética.
¿Por qué la velocidad media es 40 y no 45?
Porque los dos tramos duraron cantidades de tiempo distintas. Sobre la misma distancia a 30 y a 60, el tramo lento dura el doble, así que tiene el doble de peso en la respuesta: dos horas a 30 más una hora a 60 son 120 km en tres horas, es decir 40 km/h. La cifra de 45 es la media aritmética, y responde a otra pregunta: la velocidad media cuando se pasa la misma cantidad de tiempo a cada velocidad, en lugar de la misma distancia.
¿Cuándo conviene usarla en lugar de un promedio corriente?
Cuando lo que está fijo es el total y lo que varía es la tasa: una distancia fija recorrida a velocidades distintas, una cantidad de trabajo fija hecha por máquinas de ritmos distintos, un presupuesto fijo gastado a precios distintos, un voltaje fijo sobre resistencias de valores distintos. Si en cambio los datos son cantidades que se suman, o un conjunto de valores que deben contar todos igual, la media correcta es la aritmética y la armónica sería un número más pequeño sin nada detrás.
¿Qué relación tiene con la resistencia en paralelo?
Directa: la resistencia total de unas resistencias en paralelo es el inverso de la suma de sus inversos, que es esta fórmula sin la multiplicación final por el recuento. Dos resistencias de 10 ohmios en paralelo dan 5 ohmios, y la media armónica de 10 y 10 en esta página es 10: el inverso medio se cancela, porque la media armónica de una lista de valores idénticos es ese valor, y lo mismo ocurre con la aritmética y con la geométrica. Los casos interesantes son los desiguales: el total en paralelo siempre queda por debajo de la resistencia más pequeña, exactamente igual que la media armónica siempre queda por debajo del valor más pequeño de una lista.
¿Pueden los valores ser menores que 1?
Sí, siempre que todos sean mayores que cero. Los valores por debajo de 1 tienen inversos por encima de 1, así que aportan los términos más grandes y la respuesta queda cerca de ellos: para 0,5 y 2 la media armónica es 0,8, muy por debajo de la media aritmética de 1,25. Es la misma regla que en el resto de la página, leída en el otro sentido: el valor pequeño es el que tira, esté del lado de 1 que esté.

Referencias

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