Calculadora de media geométrica

Media geométrica = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(mean(ln xᵢ))

xᵢ

Un valor de la lista, y todos ellos tienen que ser mayores que cero. Un cero hace que el producto sea cero y la respuesta cero diga lo que diga el resto de la lista; un valor negativo da un producto negativo, y una raíz par de un producto negativo no es un número real

n

Cuántos valores hay, impreso en el panel de resultados. Es el exponente de la raíz: dos valores piden una raíz cuadrada, tres una cúbica, cinco una quinta. Contarlo mal es la forma habitual de equivocarse al hacerlo a mano, así que se muestra en lugar de dejarlo contar en la lista

x₁ · x₂ · … · xₙ

El producto de todos los valores. Solo importa el producto, y por eso la respuesta no depende del orden en que se escribieron los valores, y por eso una lista de dos números da la raíz cuadrada de su producto, que es la construcción clásica de la media proporcional

mean(ln xᵢ)

La otra forma de escribir lo mismo, y la que usa de verdad una calculadora: se toma el logaritmo natural de cada valor, se promedian esos logaritmos y se deshace el logaritmo al final. Da la misma respuesta que multiplicar primero, sin el desbordamiento en que incurre multiplicar una lista larga de valores grandes

Usa la media geométrica cuando los números se multiplican en vez de sumarse: porcentajes que se componen, razones, niveles de un índice, factores de crecimiento. Un fondo que gana un 10 %, gana un 20 % y pierde un 10 % acaba los tres años un 18,8 % arriba, que es 1,1 × 1,2 × 0,9; el factor de crecimiento medio anual es la raíz cúbica de eso, 1,0591, así que la cifra anual honesta es 5,91 % y no el 6,67 % que da un promedio corriente de los tres porcentajes. El mismo razonamiento cubre todo lo que se mide en una escala multiplicativa: recuentos de bacterias, magnitudes de terremotos, los tamaños de un conjunto de objetos que abarca varios órdenes de magnitud y una lista de razones como los PER, donde un valor extremo dominaría un promedio corriente. No la uses con valores que se suman: una lista de temperaturas, de notas o de precios no tiene un producto con sentido, y su media geométrica sería un número sin interpretación. La comparación que conviene recordar es que la media geométrica siempre es la menor de las dos, y lo es más cuanto más difieren los valores, de modo que la distancia entre ambas es una medida tosca de lo desigual que es la lista.

1. Cinco notas de un examen

   1. Multiplica los valores: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4.830.883.200
   2. Hay 5 valores, así que se saca la raíz quinta: ⁵√4.830.883.200 = 86,458
   3. La media aritmética de la misma lista es 86,6

   Las dos respuestas se diferencian en 0,142, que es poco porque estas cinco notas están juntas: la media geométrica cae por debajo de la aritmética en una cantidad que crece con lo desigual que sea la lista. Esa desigualdad no es un artefacto del redondeo: para valores positivos la media geométrica no puede superar a la aritmética y solo la iguala cuando todos los valores son idénticos. Las notas no son realmente una magnitud multiplicativa, así que este ejemplo está aquí para mostrar el mecanismo y no un uso natural de la herramienta; los rendimientos del fondo del ejemplo siguiente son aquello para lo que sirve. El producto de 4.830.883.200 se escribe con puntos de millar porque pasa de cuatro cifras, y ese mismo número se rechazaría si se escribiera en el cuadro de entrada, donde un punto con tres cifras detrás es un dato ambiguo.

2. Un fondo que sube 10 %, sube 20 % y baja 10 %

   1. Multiplica los factores de crecimiento: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Hay 3 factores, así que se saca la raíz cúbica: ³√1,188 = 1,0591
   3. La media aritmética es 1,0667, más alta y equivocada para esta pregunta

   Los tres años juntos suben un 18,8 %, y 1,188 es el único número que lo dice. El factor anual medio es el que multiplicado tres veces da 1,188, es decir la raíz cúbica, 1,0591: una tasa de crecimiento anual compuesta del 5,91 %. Un promedio corriente de los tres porcentajes da 6,67 %, y la razón de que sea demasiado alto es que los porcentajes no se suman: una caída del 10 % deshace más que una subida del 10 %, porque se calcula sobre una base mayor. La diferencia es aquí de 0,76 puntos porcentuales al año, que a lo largo de veinte años separa triplicar una cartera de multiplicarla por 3,6.

3. Dos números: la media proporcional

   1. Multiplica los dos valores: 2 × 8 = 16
   2. Hay 2 valores, así que se saca la raíz cuadrada: √16 = 4
   3. La media aritmética del mismo par es 5

   Con dos valores la media geométrica es la raíz cuadrada de su producto, que es el número que los geómetras antiguos llamaban media proporcional: 2 es a 4 como 4 es a 8. Es también el lado del cuadrado que tiene la misma área que el rectángulo de 2 por 8 —16 en los dos casos—, mientras que la media aritmética, 5, es el lado del cuadrado con el mismo perímetro, un cuadrado de 5 por 5 cuya área es 25. Este es el caso más claro de desacuerdo entre las dos medias y muestra por qué la geométrica es la respuesta correcta a una pregunta sobre áreas, escalas o crecimiento, y la aritmética a una pregunta sobre totales.

Todos los valores tienen que ser mayores que cero, y la página rechaza una lista que contenga un cero o un negativo en vez de devolver algo sin sentido: un solo cero deja el producto en cero y la respuesta en cero diga lo que diga el resto de la lista, y una raíz par de un producto negativo no es un número real. Para una lista con una cantidad impar de valores negativos existe en principio una respuesta real, pero el signo de una media geométrica construida con negativos no tiene interpretación, así que esas listas también se rechazan, y la solución es trabajar con los factores de crecimiento y no con las variaciones porcentuales. Esta media solo tiene sentido para magnitudes que se multiplican; con notas, temperaturas o precios es un cálculo legítimo sin lectura útil, y por eso la media aritmética se imprime a su lado en lugar de sustituirla. No sirve cuando alguno de los valores es cero, lo que descarta un conjunto de rendimientos que incluya una pérdida total. La lista se limita a 200 valores, y un valor como 1.500 o 1,500 se rechaza en lugar de adivinarse, porque no hay forma de saber si es mil quinientos o uno coma cinco; escribe 1500 o 1,5.

¿Cómo calcular la media geométrica?

Multiplica todos los valores entre sí y saca la raíz cuyo índice sea la cantidad de valores. Para 2 y 8 el producto es 16 y hay dos valores, así que la media geométrica es √16 = 4; para cinco valores habría que sacar la raíz quinta. Una calculadora hace lo mismo por logaritmos, promediando los logaritmos y deshaciéndolos al final, lo que evita el producto intermedio enorme.

¿Por qué la media geométrica es menor que la aritmética?

Porque la multiplicación trata de forma asimétrica una bajada y una subida. Un valor que cae un 10 % y luego sube un 10 % termina por debajo de donde empezó, en 1,1 × 0,9 = 0,99, así que cualquier lista que se mueva en los dos sentidos tendrá una media geométrica por debajo de la aritmética. Las dos coinciden solo cuando todos los valores son iguales, y cuanto más separados estén más ancha es la brecha: por eso la diferencia entre los dos números es ya una lectura tosca de lo desigual que es la lista.

¿Cuándo conviene usar la media geométrica en lugar de la aritmética?

Cuando los valores se multiplican en vez de sumarse. Las tasas de crecimiento, los porcentajes que se componen año tras año, las razones y los niveles de un índice son multiplicativos, y promediarlos con una media corriente exagera el resultado. Las cantidades que se suman —notas, temperaturas, precios, recuentos de cosas— son aditivas, y para ellas la media correcta es la aritmética. Una prueba útil es preguntarse si al doblar todos los valores debería doblarse la respuesta: si la respuesta es sí, la magnitud es multiplicativa.

¿Se puede usar con una lista que contenga un cero o un número negativo?

No, y la página lo rechaza. Un solo cero lleva el producto a cero, así que la respuesta sería cero diga lo que diga el resto de la lista, y eso no es la media de nada. Un valor negativo da un producto negativo, y una raíz par de eso no es un número real. La solución práctica para un conjunto de variaciones porcentuales que incluya una pérdida total es trabajar con los factores de crecimiento —0,5 para una pérdida del 50 %— y aceptar que un factor de cero, una pérdida total, no tiene media geométrica alguna.

¿En qué se diferencia de una tasa de crecimiento anual compuesta?

La tasa de crecimiento anual compuesta es la media geométrica de los factores anuales de crecimiento, expresada en porcentaje. Si una inversión se multiplica por 1,1, por 1,2 y por 0,9 a lo largo de tres años, el producto es 1,188, la raíz cúbica es 1,0591 y el crecimiento anual compuesto es del 5,91 %. Todo en la calculadora está ya en esa forma: escribe los factores en lugar de los porcentajes y el número del panel será el factor de crecimiento cuyo porcentaje es la tasa.

¿Importa el orden de los valores?

No. La media geométrica se construye con el producto y con el recuento, y la multiplicación no depende del orden, así que 2, 8 y 4 dan la misma respuesta que 8, 4 y 2. Merece la pena saberlo porque la media geométrica describe a menudo una sucesión en el tiempo —años de rendimientos— y la respuesta que da es deliberadamente ciega a qué año bueno llegó primero. Responde a cómo fue el año medio, no a qué pasó en un año concreto.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric mean — Encyclopedia of Mathematics (the nth root of the product, and why it never exceeds the arithmetic mean) — European Mathematical Society