¿Para qué sirve la función error?

Para medir qué parte de una campana de Gauss queda entre el centro y un punto dado, que es lo mismo que una probabilidad en una distribución normal estándar. El valor en x = 1 es 0,842701, y sumarle uno y dividir entre dos da 0,921351, la probabilidad de que una variable normal estándar caiga a menos de una desviación típica de la media por los dos lados.

¿Qué es erfc y cómo se relaciona con erf?

Es la función error complementaria, definida como uno menos la función error, así que las dos lecturas de esta página suman siempre exactamente 1. Existe como función aparte y no como un añadido porque es la que conviene usar con valores grandes: en x = 4 la función error ya se ha aplanado sobre 1 y solo la complementaria conserva la información.

¿Por qué no puedo escribir un valor mayor que seis?

Porque más allá de seis ya no queda nada que medir. El valor verdadero en x = 6 es 1 menos unos 2 × 10⁻¹⁷, y un número en doble precisión no distingue eso de 1, así que la columna de la función error imprimiría 1 y la complementaria imprimiría exactamente cero. El límite habla de lo que se puede representar, no de lo difícil que es el cálculo: la serie converge ahí en unos doscientos términos.

¿Por qué la complementaria deja de ser exacta con valores grandes?

Porque se obtiene por resta. Cuando la función error vale 0,99999999999846256, restarla de uno deja solo unas pocas cifras significativas, y todo lo anterior es ruido de cancelación. La complementaria verdadera en x = 5 es 1,5374598 × 10⁻¹² y esta página devuelve 1,5364 × 10⁻¹². La función error no sufre este problema, y por eso es la lectura principal.

¿Puedo obtener aquí la probabilidad de la distribución normal?

No directamente, y la página no la ofrece a propósito. La función de distribución normal estándar se construye a partir de la función error sumando uno y dividiendo entre dos, pero la calculadora de distribución normal recibe además una media y una desviación típica y da la probabilidad directamente, que es una respuesta mejor a esa pregunta que una cifra estandarizada.

Calculadora de función error

Resultado

0,842701

erf(x)

erfc(x): 0,157299

Una calculadora de función error devuelve erf(x) y su complementaria erfc(x) para el mismo valor, de modo que las dos lecturas suman siempre uno. La función error es la integral de la campana de Gauss desde cero hasta x, y por eso aparece allí donde hay que medir una distribución normal: erf(1) es 0,842701, y como erfc(1) es 0,157299, la función error complementaria no es más que uno menos la primera lectura. La página calcula los valores a partir de la serie que la define, porque el lenguaje en el que está escrita no trae ninguna función error incorporada, y admite valores negativos además de positivos: la función es impar, así que erf(−1) es −0,842701. La entrada está limitada a seis en cualquiera de los dos sentidos, que es el punto a partir del cual la curva ya no tiene nada que distinguir. No hay unidades en ningún punto de la página: el valor es un número puro.

La función error y su complementaria en los valores que se consultan

x	erf(x)	erfc(x)
0	0	1
0.25	0.276326	0.7236736
0.5	0.5205	0.4795001
0.75	0.711156	0.2888444
1	0.842701	0.1572992
1.5	0.966105	0.03389485
2	0.995322	0.004677735
2.5	0.999593	0.000406952
3	0.999978	0.0000220905

Todas las filas suman uno entre las dos últimas columnas, que es la definición de complementaria y la manera más rápida de comprobar de un vistazo cualquier cifra de aquí. La mitad alta de la tabla es donde la complementaria se adelgaza: en x = 2 todavía da cuatro cifras, y para x = 3 ha bajado a cinco posiciones decimales de cero antes de que aparezca algo. Leyendo la columna central de arriba abajo se ve la curva aplanándose: los pasos de 0 a 0,5 cubren la mitad del recorrido, y todo lo que viene después de 2 es el último medio por ciento. Los puntos decimales son puntos normales en todo momento, porque una celda de tabla no se localiza.

Fórmula

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x: El valor que se mide, un número puro sin unidades. Puede ser negativo, y en ese caso la función error es impar y devuelve el negativo de la respuesta positiva: erf(−1) es −0,842701. El recorrido práctico va de −6 a 6, y fuera de él la curva se ha aplanado tanto que un número en doble precisión no distingue el valor de 1.
e^(−t²): La campana de Gauss, la curva que se integra. Su forma es lo que da importancia a la función error: el área bajo ella entre dos valores es una probabilidad, y de ahí que la misma integral aparezca en cualquier pregunta sobre una distribución normal y que la compañera natural de esta página sea la calculadora de distribución normal.
√π: El factor de normalización que va delante de la integral, unos 1,772454. Sin él la curva entera integraría √π en lugar de 1, y la función error no recorrería de −1 a 1. Aquí es una constante y no una variable, y conviene decirlo porque lo parece.
erf x: La función error propiamente dicha, impresa con seis decimales. Recorre de −1 a 1, corta el cero en el origen y llega a 0,842701 en x = 1. El valor es un área de verdad y no una probabilidad: para convertirlo en probabilidad se le suma uno y se divide entre dos, y así es como se construye la función de distribución normal estándar a partir de él.
erfc x: La función error complementaria, uno menos erf, que arranca en 1 para valores muy negativos y cae hacia cero. Se informa en notación científica porque abarca un rango enorme. No es tanto una segunda medida como la misma leída por el otro extremo: erfc es el área de la cola, y la cola es exactamente lo que se quiere cuando x está lejos de cero.

Usa esta página cuando la respuesta que necesites sea la función error o su complementaria tal cual. Si lo que quieres es la probabilidad de que una variable normal quede por debajo de un valor dado, la calculadora de distribución normal recibe una media y una desviación típica y devuelve esa probabilidad directamente, que es el mismo número por un camino más corto. La función error es la primitiva que hay debajo, y esta página es donde se lee la primitiva misma.

Ejemplos resueltos

El valor con el que se topa todo el mundo: x = 1
1. La serie se evalúa en x = 1, y converge en unas pocas docenas de términos
2. erf(1) sale 0,842701
3. La complementaria es uno menos eso: 1 − 0,842701 = 0,157299
4. Sumar las dos lecturas da 1,000000, que es la comprobación que merece la pena pasar por cualquier fila de esta página
Que las dos lecturas sumen uno no es una casualidad del redondeo, es lo que significa la palabra complementaria. Leído como área, dice que todo lo que hay bajo la campana está o dentro de una unidad del centro o más allá. Esta es además la fila que se convierte de manera más directa en la cifra conocida de alrededor del 68 % dentro de una desviación típica.
Dos, donde la cola se va adelgazando
1. erf(2) es 0,995322, así que la curva casi ha terminado su ascenso
2. La complementaria es 1 − 0,995322 = 0,0046777, ya por debajo del medio por ciento
3. En notación científica esa cola se escribe 4,677735 × 10⁻³
4. Las dos lecturas siguen sumando uno, con la complementaria reducida a cuatro cifras significativas
Conviene vigilar la precisión de la complementaria y no la de la función error. Calcular uno menos un número muy próximo a uno tira las cifras que van delante, y en esta fila la complementaria ya ha perdido casi todas: por eso la página la informa en notación científica con su propio manejo de cifras significativas en lugar de con un número fijo de decimales.
Cuatro, donde la complementaria empieza a agotarse
1. El valor verdadero de erf(4) es uno menos unos 1,54 × 10⁻⁸
2. Como número en doble precisión eso es indistinguible de 1, así que la columna de la función error imprime exactamente 1
3. La complementaria se calcula entonces como 1 − erf y devuelve 1,541726 × 10⁻⁸
4. La resta es donde se va la exactitud: a la respuesta le quedan nada más que unas pocas cifras buenas
Este es el límite honesto de la página y la razón de que el rango de entrada termine en 6. Aquí la complementaria es una diferencia entre dos números que coinciden hasta la octava cifra decimal, así que es el pequeño resto de una cancelación: el valor verdadero es 1,5417 × 10⁻⁸ y de él son fiables unas pocas cifras de delante. Para x = 6 los dos números en doble precisión ya son iguales y la resta devuelve exactamente cero donde la verdad está en torno a 2 × 10⁻¹⁷.

Limitaciones

La entrada está limitada a 6 en cualquiera de los dos sentidos. Es un límite de precisión y no de rendimiento: más allá la función error está tan cerca de 1 que un número en doble precisión no puede representar la diferencia, así que la página estaría imprimiendo ruido. Incluso dentro del rango hay un límite que conviene conocer: la complementaria se calcula por resta, y en cuanto x pasa de unos 4,5 esa resta cancela casi todas las cifras significativas, de modo que los valores de erfc ahí solo llevan unas pocas cifras buenas. Eso no se corrige aquí, y corregirlo exigiría una segunda implementación de la complementaria en lugar de un retoque de esta. La función error en sí es exacta dentro de una o dos unidades en el último lugar a lo largo de todo el rango. Solo se dan los dos valores: la función de distribución normal estándar no está entre los resultados, porque es la misma información por otra ruta y la calculadora de distribución normal la informa como probabilidad con una media y una desviación típica con las que trabajar. No hay unidades en ningún punto de esta página; la entrada es un número puro. Los valores se calculan con una serie escrita para esta página y no con una biblioteca de la plataforma, porque el lenguaje no trae ninguna.

Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve la función error?: Para medir qué parte de una campana de Gauss queda entre el centro y un punto dado, que es lo mismo que una probabilidad en una distribución normal estándar. El valor en x = 1 es 0,842701, y sumarle uno y dividir entre dos da 0,921351, la probabilidad de que una variable normal estándar caiga a menos de una desviación típica de la media por los dos lados.
¿Qué es erfc y cómo se relaciona con erf?: Es la función error complementaria, definida como uno menos la función error, así que las dos lecturas de esta página suman siempre exactamente 1. Existe como función aparte y no como un añadido porque es la que conviene usar con valores grandes: en x = 4 la función error ya se ha aplanado sobre 1 y solo la complementaria conserva la información.
¿Por qué no puedo escribir un valor mayor que seis?: Porque más allá de seis ya no queda nada que medir. El valor verdadero en x = 6 es 1 menos unos 2 × 10⁻¹⁷, y un número en doble precisión no distingue eso de 1, así que la columna de la función error imprimiría 1 y la complementaria imprimiría exactamente cero. El límite habla de lo que se puede representar, no de lo difícil que es el cálculo: la serie converge ahí en unos doscientos términos.
¿Por qué la complementaria deja de ser exacta con valores grandes?: Porque se obtiene por resta. Cuando la función error vale 0,99999999999846256, restarla de uno deja solo unas pocas cifras significativas, y todo lo anterior es ruido de cancelación. La complementaria verdadera en x = 5 es 1,5374598 × 10⁻¹² y esta página devuelve 1,5364 × 10⁻¹². La función error no sufre este problema, y por eso es la lectura principal.
¿Puedo obtener aquí la probabilidad de la distribución normal?: No directamente, y la página no la ofrece a propósito. La función de distribución normal estándar se construye a partir de la función error sumando uno y dividiendo entre dos, pero la calculadora de distribución normal recibe además una media y una desviación típica y da la probabilidad directamente, que es una respuesta mejor a esa pregunta que una cifra estandarizada.

Referencias

Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions

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