Lanzador de dados

ways(total) = el coeficiente de x^total en (x + x² + … + x^sides)^diceCount → probabilidad = ways(total) / sides^diceCount

diceCount

Cuántos dados se lanzan, hasta 20. Un solo dado da una distribución plana en la que todas las caras son igual de probables; con dos o más las sumas centrales se acumulan, y esa es toda la razón de que merezca la pena informar de la probabilidad de una suma

sides

Cuántas caras tiene cada dado, de 2 a 100. Aquí vive el conocido d6, pero también el dado de veinte caras y el de cien

ways(total)

Cuántos de los resultados posibles suman esa cantidad. El número de maneras es la unidad honesta para los dados: una suma de 7 tiene seis maneras de 36 con dos dados de seis caras, y esa razón es la probabilidad

seed

El punto de partida del lanzamiento, cualquier número entero de 0 a 4294967295. La misma semilla con el mismo conjunto da las mismas caras, lo que convierte un lanzamiento en algo que se puede repetir y comprobar

total

La suma de las caras. Va desde diceCount (todo unos) hasta diceCount × sides (todas las caras máximas), así que el número de sumas que puede formar un conjunto es diceCount × sides − diceCount + 1

Recúrrela cuando lo que importa sea la suma y las caras individuales sean un detalle: calcular si un lanzamiento de 3d6 tiene probabilidades de superar un número objetivo, consultar las probabilidades de una suma de 2d6 antes de una partida o producir un lanzamiento con semilla para poder repetir una sesión exactamente. El lanzamiento con semilla es la parte que lo convierte en algo más que una curiosidad: los programas que generan niveles, los grupos que repiten un escenario y quien prueba una regla necesitan todos un lanzamiento reproducible, y una semilla es lo que convierte un lanzamiento en un lanzamiento que cualquiera puede reproducir. No es un simulador de dados equilibrados en el sentido de aleatoriedad física: los números salen de una secuencia determinista pequeña, así que todo aquello en lo que un jugador no deba poder predecir las caras queda fuera de su alcance.

1. Dos dados de seis caras, semilla 1: 4 y 1, para una suma de 5

   1. El conjunto son dos dados de seis caras, así que hay 6 × 6 = 36 parejas de caras igual de probables
   2. La semilla 1 fija la pareja en 4 y 1, y la suma es 4 + 1 = 5
   3. Una suma de 5 sale como 1+4, 2+3, 3+2 y 4+1: cuatro maneras de 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, así que la probabilidad es del 11,11 %

   El 11,11 % es el motivo de poner el lanzamiento al lado de las probabilidades: una suma de 5 parece de lo más normal, y es la tercera suma más probable empatada con otra, pero aun así solo sale aproximadamente uno de cada nueve lanzamientos. Las sumas de 2 y de 12 son las más raras, con un 2,78 % cada una, porque hay exactamente una manera de formar cada una, mientras que el 7 tiene seis maneras y un 16,67 %. Con un solo dado no existe nada de esta estructura —cada cara es 1/sides—, y esa es la razón de que el tamaño del conjunto sea lo primero que hay que mirar cuando una probabilidad te sorprende.

2. Tres dados de seis caras, semilla 5: 5, 5 y 2, para una suma de 12

   1. Tres dados de seis caras dan 6 × 6 × 6 = 216 resultados igual de probables
   2. La semilla 5 da las caras 5, 5 y 2, que suman 12
   3. El conjunto puede formar 3 × 6 − 3 + 1 = 16 sumas distintas, de 3 a 18
   4. Una suma de 12 tiene 25 maneras de 216, así que la probabilidad es del 11,57 %

   Tres dados apelotonan mucho más el centro del recorrido que dos: las sumas más probables son 10 y 11, con un 12,5 % cada una, y 12 es una tercera muy cerca con un 11,57 %. Esa misma suma de 12 es una cosa muy distinta con dos dados, donde es el resultado más raro de todos con un 2,78 %, así que una probabilidad citada para una suma no significa nada si no se cita con ella el conjunto. Las 16 sumas posibles muestran además por qué el recuento no es simplemente el número de caras: con tres dados las sumas van de 3 a 18 y hay 16, no 18 ni 6.

3. Un solo dado de veinte caras, semilla 7

   1. Un solo dado no tiene manera de combinar caras, así que todas las caras son igual de probables
   2. La semilla 7 da la cara 1
   3. Una cara de 20 es 1 / 20 = 5 %

   Este es el caso en el que la distribución es plana: no se acumula nada en el centro porque hay un solo dado, así que un 1 y un 20 son exactamente igual de probables que cualquier otra cosa. Es la manera más clara de ver qué hacen los dados de más: con 2d6 las sumas extremas son raras, con 1d20 no hay nada raro, y el mecanismo es por completo el número de maneras de formar cada suma. El generador de números aleatorios de al lado dice lo mismo desde el otro lado: una única extracción uniforme no es lo mismo que una suma de extracciones.

4. La semilla en su límite superior

   1. La semilla puede llegar hasta 4294967295, que es 2³² − 1, el mayor valor que puede guardar el estado del generador
   2. Los mismos dos dados que en el primer ejemplo, pero con otra semilla, así que otra mano
   3. 6 y 2 suman 8, y una suma de 8 tiene cinco maneras de 36
   4. 5 / 36 = 13,89 %

   Merece la pena probar una semilla de 4294967295 porque es el único valor de semilla en el que una implementación descuidada del estado del generador se rompe de una manera difícil de ver: el estado se guarda como entero sin signo de 32 bits, y el valor más grande es exactamente donde un error de uno en ese paso deja de ser invisible. El resultado visible aquí es una mano corriente de 6 y 2 —el panel no debe tener otro aspecto—, que es justo la razón de que esta frontera sea una prueba y no una función de cara al usuario.

Las caras no son impredecibles. Salen de una secuencia determinista pequeña con semilla, del tipo que usa el software corriente, así que quien conozca la semilla puede reproducir la mano y quien vea unas cuantas manos puede deducir la semilla. Eso lo descarta para todo aquello en lo que un jugador no deba poder predecir ni reconstruir el lanzamiento —un sorteo con dinero de por medio, una clave, un token, un código de un solo uso—, y para esos casos la única respuesta correcta es una fuente aleatoria criptográfica. Los lanzamientos con semilla son para repetir, generar y probar, donde ser reproducible es precisamente la ventaja. Hay dos límites más que conviene decir con claridad. La tabla de referencia que hay debajo de la calculadora describe dos dados de seis caras y no sigue a los dados que escribas: la tabla es una referencia fija, y la probabilidad que corresponde a tu conjunto es la del panel de resultados. Y la probabilidad de una suma da por supuestos dados equilibrados: un dado físico con un sesgo no coincidirá con estos números, sea cual sea el conjunto.

¿Por qué la tabla de debajo de la calculadora no coincide con los dados que he puesto?

Porque la tabla de referencia está fijada a dos dados de seis caras. Se calcula a partir de una constante y no de los datos de entrada, así que se queda quieta mientras cambias el conjunto; la probabilidad que se ve en el panel de resultados es la que sigue a tus dados, y es el número que hay que leer cuando los dos no coinciden. La tabla está ahí porque 2d6 es la distribución que la gente tiene en la cabeza cuando pregunta por las probabilidades de los dados: el 7 en el centro y el 2 y el 12 en los extremos. Si necesitas las probabilidades de otro conjunto, el panel te da la probabilidad de la suma que ha salido, y puedes repetir la misma semilla para comprobar cualquier otra suma que te interese.

¿Qué hace la semilla y por qué sale siempre la misma mano?

La semilla es el estado desde el que arranca el lanzamiento, así que la misma semilla con el mismo conjunto da siempre las mismas caras. Eso es la función y no un atajo: un lanzamiento con semilla es como se repite una sesión exactamente, como un nivel generado se mantiene igual entre ejecuciones y como se puede probar una regla contra una mano fija. Cambia la semilla y obtendrás otra mano del mismo conjunto. Si quieres que cada lanzamiento sea distinto, cambia la semilla entre lanzamientos: nada en el panel la avanza por su cuenta ni en silencio.

¿Sirven estos lanzamientos para un juego en el que nadie deba poder predecir el resultado?

No, y la distinción importa. Las caras salen de una secuencia determinista pequeña, así que a partir de la semilla se puede reproducir toda la mano y a partir de unas cuantas manos se puede recuperar la semilla. Todo aquello en lo que un participante no deba poder predecir ni reconstruir el lanzamiento necesita una fuente aleatoria criptográfica. Repetir partidas de mesa, generar niveles, probar reglas y tomar muestras reproducibles son usos perfectamente válidos: son exactamente los casos en los que poder reproducir el lanzamiento es la razón de usarlo.

¿Por qué una suma de 7 es la más probable con dos dados, pero no con tres?

Porque lo que se apelotona en el centro es el número de maneras de formar una suma, y eso depende del conjunto. Con dos dados de seis caras hay 36 parejas y el 7 tiene seis de ellas (de 1+6 a 6+1), más que ninguna otra suma. Con tres dados las sumas más probables son 10 y 11, con un 12,5 % cada una, y el 7 baja bastante en la lista. Una misma suma significa por tanto cosas distintas en conjuntos distintos, y esa es la razón de que el panel informe siempre de la suma junto con la probabilidad del conjunto que hayas puesto de verdad.

¿Cuántas sumas puede formar un conjunto?

Desde la suma más pequeña posible, que es todo unos, hasta la mayor, que es cada dado mostrando su cara más alta: con un número de dados y unas caras por dado, eso da count × sides − count + 1 sumas distintas. Para 2d6 son 11 sumas, de 2 a 12; para 3d6 son 16, de 3 a 18; para 20d100 son 1981. El recuento no es el número de caras, y los extremos del recorrido son siempre las sumas más raras, porque cada uno de ellos se puede formar de exactamente una manera.

¿La probabilidad del panel es la de la suma o la de las caras exactas?

La de la suma. Dos dados que muestran 4 y 1 y dos dados que muestran 1 y 4 son la misma suma de 5, y la probabilidad que se informa es la de esa suma, contando todas las combinaciones que la forman: cuatro maneras de 36 para un 5. La mano exacta y ordenada es una probabilidad distinta y mucho menor (1/36 para cualquier pareja concreta), y no es lo que informa el panel, porque la suma es el número que decide si un lanzamiento supera un objetivo.

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)