Lanzador de monedas

caras = cuántas H aparecen en la secuencia · cruces = lanzamientos − caras · racha más larga = el bloque más largo de resultados idénticos · probabilidad del reparto = C(n, caras) / 2ⁿ

flips

Cuántas veces se lanza la moneda. La secuencia guarda una H o una T por lanzamiento, y todos los demás resultados se cuentan sobre exactamente ese número de tiradas

seed

Qué secuencia se extrae del generador. La misma semilla produce siempre las mismas caras y las mismas cruces, así que una tanda se puede repetir exactamente; no hace que ninguno de los dos lados sea más probable

H

Caras, uno de los dos lados igual de probables. La secuencia imprime H y T en lugar de palabras porque esas letras son la notación que usa el resto de la página, y se mantienen iguales en todos los idiomas

T

Cruces, el otro lado. Una moneda equilibrada no tiene memoria, así que una racha de un mismo lado es una casualidad de la secuencia y no una inclinación de la moneda

split chance

La probabilidad de que una moneda equilibrada saque exactamente esta cantidad de caras en esta cantidad de lanzamientos: la probabilidad de este reparto concreto, que es una pregunta distinta de la proporción que ha salido de verdad

Úsala cuando quieras ver una tanda de lanzamientos sin tener una moneda a mano, o cuando haya que contar una secuencia de caras y cruces en vez de estimarla a ojo. La racha más larga es la parte que no se puede leer mirando la secuencia, y también la que más se juzga mal: una racha de siete en doscientos lanzamientos es algo ordinario y no una prueba de que la moneda esté cargada. La probabilidad del reparto responde a la pregunta compañera: no qué proporción salió esta vez, sino con qué frecuencia una moneda equilibrada produce un reparto así. La página no comprueba si una moneda está equilibrada; da por hecho que lo está y enseña qué aspecto tiene el azar cuando es justo.

1. Diez lanzamientos: siete caras, tres cruces y una racha de tres

   1. Se extraen diez resultados del generador: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Se cuentan las H: hay 7, así que las cruces son 10 − 7 = 3
   3. La proporción es 7 / 10 = 70 %
   4. Se recorre la secuencia una vez buscando el bloque más largo de un mismo lado: HHH en las posiciones 3 a 5, y otra vez HH en la 7 y la 8; el más largo es 3
   5. La probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos equilibrados es C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11,72 %

   Lee los dos últimos números juntos, porque son el par en el que más se equivoca la gente en esta página. El 70 % es lo que ha pasado esta vez; el 11,72 % es con qué frecuencia una moneda equilibrada produce un reparto de 7 y 3. Ninguno contradice al otro, y el 70 % no es otra forma de decir 11,72 %: el primero describe esta tanda y el segundo describe toda la familia de tandas de diez lanzamientos con siete caras dentro.

2. Los mismos diez lanzamientos con otra semilla: cinco y cinco

   1. La semilla 7 extrae una secuencia distinta: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Cinco caras y cinco cruces, así que la proporción es 50 %
   3. El bloque más largo vuelve a ser 3: TTT en las posiciones 6 a 8 y HHH en las 3 a 5
   4. Un reparto de 5 y 5 tiene probabilidad C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24,61 %

   Las dos tandas han caído en un bloque más largo de 3, y eso es el resultado ordinario con diez lanzamientos más que una casualidad que merezca interpretación. Lo que ha cambiado es la probabilidad del reparto: un 5 y 5 es más del doble de probable que un 7 y 3, porque hay muchas más maneras de repartir cinco caras entre diez posiciones que siete. Esta es también la razón de que la semilla sea un campo y no un detalle oculto: volver a abrir la misma página no debería dar una respuesta distinta sin avisar, y una tanda de la que se va a hablar tiene que poder repetirse.

3. Un solo lanzamiento, el límite inferior

   1. Se extrae un único resultado: H
   2. Una cara y ninguna cruz, así que la proporción es 1 / 1 = 100 %
   3. El bloque más largo de resultados idénticos es el propio lanzamiento, así que 1
   4. La probabilidad de una cara en un lanzamiento equilibrado es C(1,1) / 2¹ = 1/2, es decir el 50 %

   Un lanzamiento es la entrada más pequeña que acepta la página, y muestra por qué la proporción y la probabilidad tienen que ser filas distintas. Un solo lanzamiento cae de un lado, así que la proporción es del 100 %: un número que no dice nada sobre la moneda. La probabilidad del reparto es del 50 %, que es el número que sí lo dice. Con un lanzamiento las dos filas parecen casi contradictorias; con doscientos convergen, y la distancia entre ellas en recuentos pequeños es el tema entero del muestreo.

4. Doscientos lanzamientos y una racha de nueve

   1. Se extraen doscientos resultados del generador: la fila de la secuencia los guarda todos
   2. Se cuentan las caras: 95, así que las cruces son 200 − 95 = 105
   3. La proporción es 95 / 200 = 47,5 %, que está a 2,5 puntos de la mitad exacta
   4. El bloque más largo de un mismo lado es 9: nueve resultados idénticos seguidos
   5. La probabilidad de obtener exactamente 95 caras en 200 lanzamientos equilibrados es de un 4,39 % aproximadamente

   La racha de nueve es el número con el que conviene quedarse. La gente lee una racha de nueve como prueba de que algo va mal en la moneda, y en doscientos lanzamientos equilibrados no tiene nada de llamativo: el bloque más largo crece con la longitud de la secuencia, despacio pero sin techo. Fíjate también en hacia dónde tiran las dos filas: la proporción es un cómodo 47,5 %, lo bastante cerca de la mitad como para parecer correcta, mientras que la probabilidad del reparto es solo del 4,39 %, porque caer exactamente en 95 es un resultado concreto entre muchos que se parecen todos bastante.

Los lanzamientos no son físicos. Cada uno sale de un generador con semilla aleatoria, así que lo que muestra la página es una secuencia que se comporta como una moneda equilibrada y no el registro de una moneda de verdad; además, la misma semilla extrae siempre la misma secuencia, que es la utilidad del campo y también su límite. Hay tres límites más que conviene decir. El primero es que la página nunca comprueba si una moneda está equilibrada: da por supuesta una probabilidad de un medio en cada lanzamiento e informa de lo que se sigue de ahí, así que una moneda realmente cargada produciría una secuencia que la página seguiría describiendo como si fuera justa. El segundo es que 200 lanzamientos es el tope, heredado del límite de extracción del núcleo aleatorio compartido y no elegido para esta página, y con 200 la fila de la secuencia es lo bastante larga como para ocupar varias líneas. El tercero es que la página muestra un resultado pero no lo juzga: una racha más larga de nueve, o un 70 % de caras, se imprimen sin ningún comentario sobre si son sorprendentes, y la forma prevista de hacer ese juicio es leer al lado la probabilidad del reparto.

¿Por qué la misma semilla me da siempre la misma secuencia?

Porque los lanzamientos salen de un generador con semilla aleatoria y no de una moneda real, y la semilla decide qué secuencia se extrae de la corriente de ese generador. Si escribes la semilla 1 dos veces obtienes las mismas diez caras y cruces; si la cambias por 7 obtienes otra tanda de la misma longitud. Es deliberado: una página que volviera a sortear su respuesta en cada visita no se podría comprobar, no se podría citar un resultado y las pruebas automáticas que hay detrás de la página no tendrían contra qué comparar. Además, eso convierte la semilla en la única entrada de esta página que no es una cantidad: selecciona una secuencia, no pondera ninguno de los dos lados, así que ninguna semilla hace que salgan más caras.

¿Cuál es la diferencia entre la proporción de caras y la probabilidad del reparto?

La proporción describe la tanda que tienes delante; la probabilidad del reparto describe todas las tandas de esta longitud que caen en este reparto. Diez lanzamientos que dan siete caras tienen una proporción del 70 %, y la probabilidad de que una moneda equilibrada saque exactamente siete caras en diez lanzamientos es del 11,72 %. No son dos maneras de decir lo mismo y pueden moverse en direcciones opuestas: con 200 lanzamientos la proporción puede quedarse cómodamente cerca del 50 % mientras la probabilidad del reparto baja del 5 %, porque caer en un recuento exacto es un blanco estrecho aunque el vecindario esté lleno. Lee la proporción como el resultado y la probabilidad del reparto como el presupuesto de sorpresa.

¿Una racha de nueve caras seguidas indica que la moneda no está equilibrada?

No, y con 200 lanzamientos no es ni siquiera raro. El bloque más largo de resultados idénticos crece con la longitud de la secuencia —despacio, pero sin ningún techo—, así que una racha larga es justo lo que una moneda equilibrada acaba produciendo. Lo que una moneda equilibrada no hace es acordarse: después de ocho caras, el noveno lanzamiento sigue siendo un medio, que es exactamente la razón de que aparezcan rachas así en secuencias así de largas. Leer una racha como prueba de sesgo es leer la única parte de la secuencia que crece con la longitud como si fuera una constante, y la fila de la racha más larga se imprime precisamente para poder comprobar esa intuición en lugar de fiarse de ella.

¿Por qué no puedo lanzar más de 200 veces?

Porque 200 es el límite de extracción del núcleo aleatorio que comparten esta página, el lanzador de dados y el generador de números aleatorios: viene heredado y no se ha elegido aquí, y mantenerlo hace que una misma semilla signifique lo mismo en las tres páginas. La consecuencia se ve a simple vista: con 200 lanzamientos la fila de la secuencia es lo bastante larga como para ocupar varias líneas, y eso es un efecto directo del tope y no un fallo de presentación. Si necesitas una secuencia más larga, la respuesta honesta es que esta página no es la herramienta adecuada: lo que quieres es un programa, no una secuencia impresa que tendrías que contar a ojo.

¿Por qué no hay ninguna tabla de resultados debajo de la calculadora?

Porque la tabla que merecería la pena aquí es tu propia secuencia, y el código que construye las tablas de referencia no puede ver lo que has escrito: se ejecuta en el momento de la compilación a partir únicamente de la estructura de la calculadora, sin acceso a los datos de entrada. Una tabla de probabilidades y cuotas genéricas quedaría debajo del panel pareciendo una respuesta a tu pregunta mientras responde a otra distinta. Así que la página imprime la secuencia misma, en la última fila del panel, y deja las tablas para las páginas cuyo tema sí es un conjunto fijo de números y no una sola tanda.

¿Qué significan las letras H y T y por qué no se escriben con palabras?

H son caras y T son cruces, impresas una por lanzamiento en el orden en que se han extraído. Se mantienen como letras en todos los idiomas porque la secuencia es notación y no texto: la misma tanda de lanzamientos tiene que poder leerse como la misma cadena en cualquier idioma, y además una secuencia traducida sería imposible de comparar con los números que tiene al lado. La fila existe para que el recuento, la proporción y sobre todo la racha más larga se puedan comprobar a mano; la racha más larga, en particular, no se puede leer de ninguna otra manera a partir de una secuencia.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)