Calculadora del límite central

E[X̄] = μ Var(X̄) = σ² / n SE = σ / √n

μ

La media de la población, es decir, el centro de la distribución de la que se extraen las muestras. Vuelve a salir sin cambios como media de la distribución muestral, que es el primero de los tres resultados y el único que vale con cualquier tamaño de muestra

σ

La desviación estándar de la población. Sus unidades son las de los datos, y las del error estándar también, y por eso σ y el error estándar se pueden comparar directamente: un error estándar de 2,5 junto a una σ de 15 es una afirmación sobre el tamaño de la muestra y no sobre los datos

n

Cuántas observaciones tiene una muestra: el tamaño de cada extracción y no el número de extracciones. Aparece como √n bajo una división y como n bajo otra, y esa diferencia es todo el mensaje práctico: la varianza cae en proporción a n y el error estándar solo cae con su raíz cuadrada

X̄

La media muestral, tratada como una cantidad aleatoria y no como un número suelto. Una muestra da una X̄; repetir el muestreo da toda una distribución de ellas, y los tres resultados describen esa distribución y no una muestra concreta

SE

El error estándar: la desviación estándar de las medias muestrales y el resultado principal de la página. Es lo que se usa para construir un intervalo de confianza y lo que divide un estadístico de contraste, y por eso es el número que merece leerse en lugar de la varianza de la que es raíz cuadrada

Úsala cuando necesites saber cuánto puede moverse una media muestral de una muestra a otra: antes de diseñar un estudio, al leer un error estándar en un informe y querer ver de dónde sale, o al comprobar si tu intuición sobre el tamaño de la muestra es correcta. La intuición que suele corregir es que una muestra más grande da una estimación proporcionalmente mejor, y no es así, porque el error estándar cae con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Pasar de 100 observaciones a 400 reduce a la mitad la dispersión de la estimación, y conseguir otra mitad cuesta 1600. Los dos resultados de arriba se cumplen con cualquier forma de la población, y por eso pueden usarse antes de saber nada sobre la distribución. Lo que la página no puede decirte es si un n concreto basta para que la media muestral sea aproximadamente normal: eso depende de cuánto se desvíe la distribución de partida, y es una apreciación y no un cálculo.

1. El caso por defecto: una población con media 100 y desviación estándar 15, muestreada de 36 en 36

   1. Varianza de las medias muestrales: σ² / n = 225 / 36 = 6,25
   2. Error estándar: √6,25 = 2,5
   3. Media de las medias muestrales: 100, la media de la población sin cambios
   4. Comparado con σ = 15: muestrear de 36 en 36 encoge la dispersión por un factor de 6, que es √36

   El 15 y el 36 están elegidos para que la aritmética se pueda hacer de cabeza: 225 entre 36 es 6,25 y su raíz cuadrada es un 2,5 redondo. La tercera fila merece una segunda mirada precisamente porque parece que no ha pasado nada: la media de todas las medias muestrales es la media de la población con cualquier tamaño de muestra, y eso es un hecho sobre la esperanza y no una aproximación. Ver 100 = 100 es el contenido de esa fila, y es la razón de que se imprima aunque repita lo que escribiste.

2. La misma población muestreada de 9 en 9 en lugar de 36

   1. La muestra es la cuarta parte, así que la varianza es cuatro veces mayor: 225 / 9 = 25
   2. Error estándar: √25 = 5
   3. La media sigue siendo 100: reducir la muestra cambió la dispersión y nada más
   4. Comparado con el primer ejemplo, n cayó a la cuarta parte y el error estándar solo se duplicó

   Este par es la ley de la raíz cuadrada hecha concreta: divide la muestra entre cuatro y el error estándar solo se duplica, porque lo que escala con n es la varianza. Leído al revés, es la razón de que la precisión sea cara: una muestra cuatro veces mayor compra una mejora de dos, y la siguiente mejora de dos cuesta dieciséis veces la muestra original. Toda decisión sobre el tamaño de un estudio es este intercambio, y la tabla de referencia de abajo lo muestra a lo largo de más valores de n.

3. Muestrear de uno en uno deja la dispersión intacta

   1. Con n = 1 la media de la muestra es la única observación, así que la distribución muestral es la población misma
   2. Varianza: 225 / 1 = 225, que es σ²
   3. Error estándar: √225 = 15, que es σ
   4. La media de todas las medias muestrales sigue siendo 100

   El extremo n = 1 conviene verlo porque ancla toda la idea: una muestra de uno es una extracción de la población, así que no se ha promediado nada y el error estándar es la propia desviación estándar de la población. Cualquier otro tamaño de muestra es ese punto de partida dividido entre √n. La página admite n = 1 en lugar de pedir al menos dos porque es una entrada legítima y didáctica: lo único que ocurre es que la distribución muestral todavía no se ha estrechado.

Las dos identidades de la fórmula se cumplen con cualquier población y cualquier n, pero describen solo los dos primeros momentos de la distribución muestral. La tercera afirmación del teorema —la normalidad aproximada— es de la que depende casi todo el uso práctico y es justo la que esta página no puede comprobar, porque cuánto tiene que crecer n depende de cuánto se desvíe la distribución de partida: con una población más o menos simétrica, 10 suele bastar, mientras que una distribución de cola larga puede necesitar cientos de observaciones antes de que la media se asiente. Toma el umbral de 30 que se repite por todas partes como regla práctica y no como resultado. La fórmula también supone que las observaciones son independientes, y un muestreo sin reemplazo sobre una población pequeña lo incumple: la página del tamaño de muestra aplica esa corrección y te pedirá menos personas de las que implica esta. Aquí no se estima nada a partir de datos, porque las dos entradas son valores de la población; si solo tienes la desviación estándar de una muestra, la página del intervalo de confianza es la que sabe la diferencia.

¿Qué diferencia hay entre la desviación estándar y el error estándar?

La desviación estándar describe a qué distancia de la media están las observaciones individuales; el error estándar describe a qué distancia de la media de la población está una media muestral. El segundo es el primero dividido entre √n, y esa división es todo el contenido de la diferencia: una población con σ = 15 está igual de dispersa tanto si muestreas 9 valores como 900, pero la media de 900 observaciones cae tres veces más cerca del valor verdadero que la de 100. Por eso σ se expresa en las unidades de los datos y el error estándar se encoge a medida que crece el estudio, y por eso el error estándar es el número que entra en un intervalo de confianza o en un estadístico de contraste.

¿La media de las medias muestrales cambia si tomo muestras más grandes?

No, y es el resultado que más cuesta creer. La media de la distribución muestral es igual a la media de la población con cualquier tamaño de muestra, desde n = 1 en adelante, porque promediar no empuja la estimación en ninguna dirección: solo la hace menos variable. La distribución de las medias muestrales se vuelve más estrecha y más alta alrededor del mismo centro. El tamaño de la muestra compra precisión, nunca exactitud: encoge la dispersión de la estimación sin mover su centro. Un método de muestreo sesgado, en cambio, sí mueve el centro, y ningún tamaño de la muestra lo devuelve a su sitio, que es la razón de que convenga no confundir los dos modos de fallo.

¿Qué tamaño de muestra necesito para que se aplique el teorema central del límite?

Depende de la forma de la población y no hay un umbral que sirva para todas. Una población simétrica se comporta bien con n = 10, mientras que una muy asimétrica puede necesitar varios cientos de observaciones antes de que la media muestral se parezca a una normal. La regla práctica de 30 que todo el mundo repite viene de simulaciones con datos moderadamente asimétricos y es un valor por defecto razonable, no un teorema. Lo que la página sí te da sin suponer nada sobre la forma es el centro y la dispersión: la media y el error estándar son exactos con cualquier n. Solo la aproximación normal necesita la muestra grande, y solo los intervalos de confianza y los valores p que se apoyan en ella heredan ese requisito.

¿Por qué la varianza de las medias muestrales es mucho menor que la varianza de los datos?

Porque promediar cancela los errores independientes de cada observación, y la cancelación va en proporción al tamaño de la muestra, mientras que el error estándar, que es lo que la gente compara, va en proporción a su raíz cuadrada. Con σ = 15 y n = 36 la varianza baja de 225 a 6,25, un factor de 36, mientras que la desviación estándar baja de 15 a 2,5, un factor de solo 6. Las dos filas se imprimen por eso mismo: la varianza es como se enuncia normalmente el teorema y el error estándar es la forma que se usa, y la distancia entre los dos factores es la raíz cuadrada.

¿Es lo mismo que la calculadora de error estándar?

Calculan la misma cantidad a partir de entradas distintas, y cuál quieres depende de lo que tengas. Esta página toma la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra, que son los valores que existen antes de recoger ningún dato, y es la herramienta adecuada para planificar un estudio o para comprobar una intuición sobre cómo n gobierna la precisión. La calculadora de error estándar toma la muestra y calcula la desviación estándar a partir de ella, que es lo que se usa cuando los datos ya están en la mano y el valor de la población es desconocido. Las dos se diferencian exactamente en el paso de estimación intermedio, y la página del intervalo de confianza es donde esa diferencia tiene consecuencias.

• Evaluación de la calidad de los datos de la Encuesta de Población Activa. Año 2013 — errores de muestreo e intervalos de confianza de las estimaciones — Instituto Nacional de Estadística (INE), España
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a sample statistic as a quantity with its own distribution, which is the object this page describes) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the curve the sampling distribution approaches as the sample grows) — National Institute of Standards and Technology (NIST)