Calculadora de intervalo de confianza

media: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n proporción: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

La media de la muestra, el número que mediste, en las unidades en las que estén los datos. El intervalo se construye a su alrededor, así que todo el rango se desplaza cuando ella se desplaza

s

La desviación estándar de la muestra, la dispersión de las observaciones alrededor de su propia media. Es s y no σ porque lo único que tienes es una muestra; dividirla entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra es lo que la convierte en el error estándar

n

Cuántas observaciones tiene la muestra, como mínimo 2. Entra en el cálculo dos veces: dentro del error estándar y también a través de los grados de libertad del cuantil t, que son n − 1

t(α/2, n − 1)

El valor crítico de una media: el punto de una distribución t con n − 1 grados de libertad que deja la mitad de α en cada cola. Siempre es algo mayor que el valor crítico normal y bastante mayor con muestras pequeñas, que es lo que la t paga por el hecho de que s se estimó en lugar de conocerse

p̂

La proporción de la muestra, escrita como porcentaje. Todo el cálculo de la proporción se queda en puntos porcentuales, así que los límites, el margen de error y el error estándar están en la misma escala que el número que escribiste

z(α/2)

El valor crítico de una proporción: 1,9600 con un nivel de confianza del 95 % y el mismo valor con cualquier tamaño de muestra, porque una proporción se juzga contra la distribución normal y no contra la t. Aparece dos veces en la línea de la proporción, una fuera de la raíz y otra dentro a través de p̂

Úsala cuando tengas una muestra y quieras decir cuán precisa es la estimación que sale de ella: una media obtenida de un puñado de mediciones o una cuota procedente de una encuesta. Es la manera honesta de dar un solo número, porque una media de 50 con 100 observaciones es una afirmación distinta de una media de 50 con 5, y el intervalo es esa diferencia, ya que el tamaño de la muestra está en el denominador del error estándar. Dos ajustes deciden todo lo demás. Elige la rama de la media cuando la cantidad sea una medición (una longitud, un tiempo, una puntuación) y la de la proporción cuando sea un recuento sobre un total, escrito como porcentaje. Después elige el nivel de confianza: el 95 % es la convención, y los tres niveles que se ofrecen cubren casi cualquier cifra publicada. Fíjate en lo que el intervalo no hace: no dice dónde está el valor verdadero ni qué parte de las observaciones futuras caerá dentro. Es una afirmación sobre el procedimiento de estimación, no sobre los datos.

1. Una media a partir de una muestra de 100 mediciones

   1. Error estándar: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Grados de libertad: n − 1 = 99, que dan un valor crítico de 1,9842 al 95 % de confianza
   3. Margen de error: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Límites: 50 − 2,3811 = 47,6189 y 50 + 2,3811 = 52,3811

   El valor crítico es el número que merece atención aquí: 1,9842 y no el archiconocido 1,96. La distancia es lo que la distribución t cobra por estimar la dispersión con esas mismas 100 observaciones, y se encoge a medida que crece la muestra: con n = 1000 ha desaparecido casi por completo. Fíjate también en que el campo de la proporción sigue valiendo 60 y no hace nada: los dos grupos de campos están siempre en pantalla y el desplegable de arriba decide cuál usa la fórmula.

2. Una proporción a partir de una encuesta de 1000 personas

   1. Una proporción muestral del 50 % es 0,5 en forma decimal, y 1 − p̂ también es 0,5
   2. Error estándar: √( 0,5 × 0,5 / 1000 ) = 0,015811, que son 1,5811 puntos porcentuales
   3. Valor crítico: 1,96 al 95 % de confianza, el mismo con cualquier tamaño de muestra
   4. Margen de error: 1,96 × 1,5811 = 3,099 puntos porcentuales, lo que da los límites 46,901 % y 53,099 %

   Todos los números de este ejemplo están en puntos porcentuales y no en proporciones: el error estándar es 1,58 puntos y no 0,0158. Esa es la convención de escala que usa la página para una proporción, y es la razón de que el error estándar parezca grande al lado del del primer ejemplo: está midiendo otra cosa, una cuota y no una medición. El mismo cálculo es el origen de la conocida afirmación de que una encuesta de unos mil personas lleva un margen de error de unos tres puntos.

3. Las mismas 100 observaciones presentadas al 99 % de confianza

   1. El error estándar no cambia: 12 / √100 = 1,2, porque nada de la muestra ha cambiado
   2. Solo se mueve el valor crítico: 2,6264 en lugar de 1,9842
   3. Margen de error: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Límites: 50 ± 3,1517, es decir, de 46,8483 a 53,1517

   Comparar esto con el primer ejemplo aísla exactamente qué compra el nivel de confianza: los mismos datos, el mismo error estándar y un intervalo un 32 % más ancho. Subir el nivel no enseñó nada nuevo, porque la información de la muestra no cambió, solo la afirmación que se hace sobre ella. Esa es la razón de que el 95 % sea la convención y de que citar un intervalo del 99 % sin decirlo sea engañoso y no meramente prudente.

Las dos ramas suponen que las observaciones son independientes entre sí. Una muestra de 500 lecturas del mismo instrumento, o de 500 estudiantes de 20 aulas, lleva menos información de la que cree la aritmética, y el intervalo sale más estrecho de lo que debería. También suponen que la estimación es más o menos simétrica alrededor del valor verdadero: la rama de la media se apoya en que la muestra sea aproximadamente normal o en que n sea lo bastante grande para que la t perdone, y la rama de la proporción es la más frágil, porque cerca del 0 % o del 100 % la fórmula es sencillamente la equivocada, y por eso la página rechaza esos dos valores en lugar de devolver un intervalo muy estrecho con total aplomo alrededor de una proporción que no se puede estimar así. No se corrige el caso de poblaciones finitas. Si la muestra es una parte importante de una población pequeña, la página del tamaño de muestra aplica esa corrección y te pedirá menos personas de las que implica esta.

¿Qué significa de verdad un intervalo de confianza?

Es un rango construido por un procedimiento que acierta con el valor verdadero en el 95 % de las muestras, si se trabaja al 95 %; no es una probabilidad del 95 % de que este rango concreto lo contenga. La distinción importa porque el valor verdadero es fijo y desconocido: o está dentro de los límites que acabas de calcular o está fuera, y a eso no se le asocia ninguna probabilidad. Lo que describe el número es la fiabilidad del método. En la práctica la lectura que se hace es que los valores próximos al centro del intervalo son más plausibles que los próximos a los extremos y que un valor fuera del intervalo está en cierta tensión con los datos, que es el puente hacia los contrastes de hipótesis de la página del valor p.

¿Por qué una media usa t y una proporción usa z?

Porque con una media estás estimando también la dispersión y con una proporción no. El error estándar de una media es s / √n, y s se calcula con la misma muestra, así que el intervalo tiene que tener en cuenta esa incertidumbre añadida: eso es exactamente lo que hace la distribución t, y por eso su valor crítico es 1,9842 con n = 100 y no 1,96. Una proporción no tiene una segunda estimación de ese tipo, porque la dispersión de la estimación se sigue de la propia proporción a través de p̂(1 − p̂), así que la distribución normal se aplica con cualquier tamaño de muestra. Los dos grupos de campos están siempre visibles en pantalla; el desplegable de arriba decide cuál lee el cálculo.

¿Qué diferencia hay entre el margen de error y el error estándar?

El error estándar es una unidad de incertidumbre y el margen de error es cuántas unidades se extiende el intervalo. El margen de error es el error estándar multiplicado por el valor crítico, así que al 95 % de confianza y con una muestra grande es más o menos el doble del error estándar (1,96 veces) y al 99 % es unas dos veces y media (2,5758). Las dos filas se imprimen para que la estructura en dos pasos quede a la vista: si quieres un intervalo más estrecho, la fila a atacar es la del error estándar, porque es la única que responde a recoger más datos. El valor crítico solo se mueve cuando cambias el nivel de confianza.

¿Puede el intervalo bajar del 0 % o pasar del 100 %?

Sí, y la página lo imprimirá en lugar de recortarlo en silencio. Al 50 % con una muestra de 2 los límites son −19,3 % y 119,3 %, lo cual no es un fallo: con dos observaciones no hay prácticamente información sobre una proporción, y un intervalo que lo dice es más honesto que uno recortado al rango que una proporción puede tomar en realidad. Léelo como que esta muestra no permite estimar nada útil aquí y recoge más datos. Lo que sí rechaza la página es una proporción escrita exactamente como 0 % o 100 %, porque en esos dos puntos la fórmula divide entre una dispersión de anchura cero y devolvería un intervalo de anchura cero, una afirmación de certeza que el método no puede sostener.

¿Dónde está la tabla de valores críticos?

En esta página no hay ninguna, y es deliberado. Todo aquello para lo que se usa una tabla de valores críticos ya está hecho aquí: eliges un nivel y el único valor que ese nivel implica se imprime en su propia fila. Una tabla tendría además que construirse con un nivel de confianza fijo, así que quien cambiara al 99 % estaría mirando una tabla que contradice al panel de arriba, que es el modo de fallo en el que una página se contradice a sí misma. La distribución t plantea un problema añadido, porque su valor crítico depende de los grados de libertad además del nivel, lo que exigiría toda una rejilla y no una tabla. La herramienta dedicada de valor crítico, que toma el nivel y los grados de libertad como entradas, es el sitio para esa consulta.

• Evaluación de la calidad de los datos de la Encuesta de Población Activa. Año 2013 — errores de muestreo e intervalos de confianza de las estimaciones — Instituto Nacional de Estadística (INE), España
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)