Calculadora de error estándar

SE = s / √n s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ) s = √(p(1 − p)) × 100

SE

El error estándar: la desviación estándar de la estimación, y el resultado principal de la página. Responde a una pregunta sobre la estimación y no sobre los datos: a qué distancia de la media de la población se situaría típicamente una media muestral si se repitiera el muestreo. Es el número con el que se construye un intervalo de confianza y entre el que divide un estadístico de contraste, y por eso merece la pena calcularlo por sí solo

s

La desviación estándar de la muestra, con el denominador n − 1. Es de donde se deriva el error estándar en el modo de la media, y se imprime en su propia fila para que la división se pueda comprobar. El n − 1 en lugar de n es lo que la convierte en una estimación insesgada de la dispersión de la población: usar n subestimaría ligeramente la variabilidad, y esa subestimación es máxima justo donde las muestras son más pequeñas

n

Cuántas observaciones tiene la muestra, la cantidad, que también se imprime en su propia fila. Aparece bajo una raíz cuadrada, y por eso el error estándar se encoge despacio: diez veces más datos compran un error estándar unas tres veces menor. En el modo de la proporción es el campo del tamaño de la muestra y no una cantidad deducida de una lista, porque un porcentaje no lleva lista consigo

x̄

La media muestral, impresa para que la aritmética de la desviación estándar tenga un centro visible. No participa en el error estándar propiamente dicho (el error estándar es una propiedad de la dispersión y del tamaño de la muestra, no de dónde se sitúan los datos), y por eso un conjunto de datos se puede desplazar sumando cualquier constante y el error estándar no cambia

p

La proporción de la muestra, escrita como fracción en la fórmula y como porcentaje en el panel. En el modo de la proporción sustituye por completo a la desviación estándar: en una pregunta de sí o no la variabilidad es función del porcentaje, máxima cuando el reparto está empatado y decreciente hasta desaparecer a medida que el porcentaje se acerca a 0 o a 100. El × 100 devuelve el resultado a puntos porcentuales para que se pueda leer junto al porcentaje del que salió

Úsala cuando ya tengas los datos en la mano y quieras el error estándar de una estimación: para construir a mano un intervalo de confianza, para comprobar una cifra de un informe o para ver qué parte de la anchura de un resultado viene de la dispersión de los datos y qué parte del tamaño de la muestra. Imprimir la desviación estándar y la cantidad a su lado hace visible ese reparto de tareas: cambia los datos y se mueve la fila de la desviación estándar; cambia solo el tamaño de la muestra y se mueve la del error estándar mientras la desviación estándar se queda donde estaba. Los dos modos existen porque las dos estimaciones más habituales necesitan entradas distintas. Una media necesita la muestra, porque nada predice cuánto se van a dispersar las mediciones; una proporción no, porque su dispersión se sigue de su propio valor, que es la razón de que las encuestas puedan dar un margen de error a partir solo del tamaño de la muestra. Ninguno de los dos modos comprueba si la muestra es lo bastante grande para que la estimación sea aproximadamente normal. Eso depende de cuánto se desvíe la distribución de partida, y en el modo de la proporción hay además una regla práctica más concreta sobre n·p y n·(1 − p) que la página no impone.

1. El caso por defecto: ocho números con una desviación estándar de 2,1381

   1. Cantidad: ocho números. Media: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. Las desviaciones al cuadrado respecto a 5 suman 32, así que la varianza de la muestra es 32 / 7 = 4,5714
   3. Desviación estándar: √4,5714 = 2,1381
   4. Error estándar: 2,1381 / √8 = 2,1381 / 2,8284 = 0,7559

   Los números se reparten a los dos lados del 5 sin que ninguno quede muy lejos, y eso es lo que hace de este un buen caso por defecto: la media es un número redondo y la desviación estándar no lo es, así que las dos últimas filas no se pueden confundir entre sí. Leer el panel de arriba abajo es lo importante: 2,1381 es un hecho sobre los datos y 0,7559 es un hecho sobre la estimación, y lo único que hay entre ellos es la división entre √8. Los campos del tamaño de la muestra y del porcentaje se quedan sin usar en este modo.

2. Nueve números elegidos para que el error estándar sea exactamente 1

   1. Media: (3 × 4 + (−3) × 4 + 0) / 9 = 0
   2. Desviaciones al cuadrado: cuatro nueves, otros cuatro nueves y un cero, que suman 72
   3. Varianza de la muestra: 72 / 8 = 9, así que la desviación estándar es 3
   4. Error estándar: 3 / √9 = 3 / 3 = 1

   Nueve observaciones es una muestra lo bastante pequeña como para que el denominador n − 1 se note: dividir entre 9 en lugar de entre 8 daría una varianza de 8 y una desviación estándar de 2,8284, y el error estándar saldría 0,9428 en lugar de 1. Eso es la corrección haciendo su trabajo: con una muestra pequeña la dispersión observada subestima un poco la de la población, y dividir entre uno menos que la cantidad lo compensa. El par n = 9 y s = 3 es el mismo que usa la página del intervalo de confianza, y su intervalo sale exactamente en ±2,306 porque el valor t con 8 grados de libertad es 2,306.

3. Una proporción no necesita ninguna lista de datos

   1. La proporción como fracción: 60 % = 0,6
   2. Desviación estándar en puntos porcentuales: √(0,6 × 0,4) × 100 = 0,4899 × 100 = 48,9898
   3. Error estándar: 48,9898 / √100 = 48,9898 / 10 = 4,899
   4. La lista de datos se ignora por completo: la fila de la cantidad informa del campo del tamaño de la muestra en su lugar

   El campo de datos sigue en pantalla y sigue conteniendo una lista, y nada de la respuesta la usa: en este modo la variabilidad viene del porcentaje y el tamaño de la muestra de su propio campo. Por eso la fila de la desviación estándar marca 48,9898, un número que suena raro para una pregunta binaria. Es la desviación estándar de una variable de sí o no codificada como 0 y 100, y aquí su única finalidad es que se divida entre √n. La misma estructura aparece en la página del tamaño de muestra, donde se usa el peor caso p = 0,5 para planificar un estudio antes de conocer ningún porcentaje.

4. Dos observaciones, donde el denominador n − 1 hace el trabajo más visible

   1. Media: 5
   2. Desviaciones al cuadrado: 25 y 25, que suman 50
   3. Varianza de la muestra: 50 / 1 = 50, así que la desviación estándar es √50 = 7,0711
   4. Error estándar: 7,0711 / √2 = 7,0711 / 1,4142 = 5

   Con dos observaciones la desviación estándar es simplemente la mitad de la distancia entre ellas: el denominador n − 1 deja un solo grado de libertad y la fórmula se reduce a algo que se ve en lugar de calcularse. El error estándar es entonces la desviación estándar dividida entre √2, que aquí es 5. Esta es la muestra más pequeña que la página acepta en el modo de la media, y merece la pena probarla una vez para ver cuán ancha es de verdad una estimación hecha con dos números: el error estándar sale igual a la mitad del recorrido de los datos.

La página informa del error estándar de la estimación y se detiene antes de convertirlo en un intervalo o en un contraste. Esa frontera es deliberada: un intervalo necesita un valor crítico, que depende de un nivel de confianza y de si la dispersión hubo que estimarla a partir de la muestra, y un contraste necesita un segundo estadístico con el que comparar. Los dos están en las páginas vecinas, y la aritmética de aquí es la entrada de ambos y no un sustituto de ninguno. El modo de la media supone que las observaciones son independientes, cosa que no se cumple con mediciones repetidas sobre un mismo sujeto, con pares emparejados ni con datos agrupados como alumnos dentro de centros; en los tres casos el tamaño de muestra efectivo es menor que la cantidad y el error estándar sale demasiado pequeño. También supone que la lista contiene todas las observaciones que querías incluir: el error estándar se calcula con lo que se escriba, y dejar fuera un valor atípico por descuido lo estrecha. El modo de la proporción tiene una advertencia aparte: su fórmula es una aproximación de muestra grande que se comporta mal cuando el número de éxitos o de fracasos es pequeño, así que un porcentaje cercano al 0 % o al 100 % obtenido de una muestra modesta se sirve mejor con un intervalo exacto que con este error estándar. Ninguno de los dos modos juzga si la estimación está sesgada, algo que ningún error estándar puede detectar.

¿Qué diferencia hay entre la desviación estándar y el error estándar?

La desviación estándar describe a qué distancia de su media están los valores individuales; el error estándar describe a qué distancia de la media de la población está una media muestral. El segundo es el primero dividido entre √n, y esa división es toda la relación, que es la razón de que se impriman los dos. La desviación estándar es una propiedad de los datos y no cambia porque se recojan más, mientras que el error estándar se encoge a medida que la muestra crece. Una comprobación útil sobre el panel: cambia los números y se mueven las dos filas; cambia solo la cantidad y la desviación estándar se queda donde estaba mientras el error estándar cae.

¿Por qué la página divide entre n − 1 en lugar de entre n?

Porque al medir la dispersión se usa como centro la media de la propia muestra, y esa media está más cerca de los datos que la media verdadera de la población, así que el promedio ingenuo de las desviaciones al cuadrado es sistemáticamente un poco pequeño. Dividir entre uno menos que la cantidad lo corrige. El efecto es mayor en muestras pequeñas: con dos observaciones duplica la varianza, y con cien observaciones es un ajuste del 1 %. Dividir entre n no está mal para describir la muestra que tienes; está mal para estimar la dispersión de la población de la que salió, que es para lo que sirve un error estándar.

¿Cómo calculo el error estándar de una proporción sin ningún dato?

La proporción aporta su propia variabilidad, así que no hace falta ninguna lista: solo el tamaño de la muestra y el porcentaje. Codifica los dos resultados como 0 y 100 y la desviación estándar sale √(p(1 − p)) × 100, que es máxima cuando el reparto está empatado y decrece hacia cero a medida que el porcentaje se acerca a cualquiera de los dos extremos. Para un 60 % de 100 personas eso es √(0,6 × 0,4) × 100 = 48,9898, y dividir entre √100 da un error estándar de 4,899 puntos porcentuales. Es el mismo par de entradas que usa la página del margen de error, donde el error estándar se multiplica por un valor crítico para dar un más menos.

¿El error estándar se hace más pequeño según añado datos?

Sí, pero solo en proporción a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Pasar de 100 observaciones a 400 reduce el error estándar a la mitad, y conseguir otra mitad cuesta 1600. Por eso el error estándar es el número que hay que vigilar al planificar un estudio, y por eso es fácil sobreestimar lo que mejora una muestra muy grande frente a una simplemente grande. La fila de la desviación estándar, en cambio, se queda más o menos donde estaba: más datos no hacen que la población de partida sea menos variable, solo hacen más precisa la estimación de su centro.

¿Qué significa un error estándar de 0?

O bien que todas las observaciones de la muestra eran idénticas, o bien que la proporción era del 0 % o del 100 %: en los dos casos la fórmula no encuentra variación con la que trabajar y devuelve cero. Leído al pie de la letra, un error estándar de cero dice que la estimación es exacta, y eso es una afirmación que los datos no pueden sostener: una muestra de cuatro lecturas idénticas es evidencia de que la dispersión es pequeña, no prueba de que sea nula. La página devuelve el cero en lugar de un error porque la aritmética es correcta y el motivo se ve en las otras filas, pero un error estándar exactamente igual a cero debería tomarse como una señal de que la muestra es demasiado pequeña o demasiado uniforme para decir nada sobre la variabilidad.

¿Es lo mismo que la calculadora del teorema central del límite?

Calculan la misma cantidad a partir de entradas distintas, y cuál quieres depende de lo que tengas. Esta página toma la muestra (una lista de números, o un porcentaje y un tamaño) y es la que se usa cuando los datos ya están en la mano. La página del teorema central del límite toma la desviación estándar de la población y un tamaño de muestra, los valores que existen antes de recoger nada, y es la que hay que usar al planificar un estudio o al averiguar cómo responde el error estándar a n. Las dos se diferencian exactamente en el paso de estimación intermedio, y por eso sus resultados coinciden siempre que la desviación estándar de la muestra sea igual al valor de la población.

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the sample standard deviation and the n − 1 denominator the standard error is built from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the sampling distribution of a statistic, whose spread is what the standard error measures) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (the sample mean printed alongside the spread, and why the two are reported together) — National Institute of Standards and Technology (NIST)