Calculadora de valor absoluto

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) opuesto = −x

x

El número que escribes. Se acepta cualquier número real dentro del rango de la página: positivo, negativo, cero, entero o decimal. La entrada no está restringida, porque el valor absoluto está definido para todo número real: es la única operación de este sitio que no tiene dominio que declarar.

|x|

El valor absoluto, la lectura principal: la distancia del número al cero medida sobre la recta numérica, que nunca es negativa. Se escribe con dos reglas y no con una, porque la regla cambia en el cero: si el número no es negativo se deja tal cual, y si es negativo se toma su negación, que es lo que hace positivo el resultado.

−x

El opuesto, el número que está al otro lado del cero a la misma distancia. No es la misma instrucción que el valor absoluto: el opuesto de 7 es −7 mientras que el valor absoluto de 7 es 7, y los dos solo coinciden cuando la entrada es cero o negativa. Que la segunda columna repita el signo no es un fallo de la calculadora, sino la definición aplicada a un número negativo. También se le llama inverso aditivo.

1. El valor absoluto de un número positivo

   1. 7 no es negativo, así que se aplica la primera regla: |7| = 7
   2. El valor absoluto es 7, sin cambios
   3. El opuesto es −7, la misma distancia al otro lado del cero
   4. Las dos lecturas difieren, que es lo habitual cuando la entrada es positiva

   El caso con el que abre la página, y la forma más clara de ver que las dos columnas responden a preguntas distintas. Eliminar un signo y cambiar un signo se parecen sobre el papel, pero sobre un número positivo dan respuestas diferentes, y quien haya leído esta fila no volverá a confundirlos.

2. El valor absoluto de un número negativo

   1. −9 es negativo, así que se aplica la segunda regla: |−9| = −(−9)
   2. Eso es 9, la distancia del cero al −9
   3. El opuesto de −9 también es 9
   4. Las dos columnas imprimen 9: el mismo número dos veces, y no es un error

   La fila que más veces se reporta como fallo. Cuando la entrada es negativa las dos operaciones coinciden, porque quitar el signo y cambiarlo llevan al mismo sitio: −x es exactamente lo que vale el valor absoluto cuando x es negativo. Que las columnas coincidan es información, no un cálculo duplicado: te dice que la entrada era negativa.

3. El valor absoluto de un número entre 1 y −1

   1. 0,125 es positivo, así que su valor absoluto es 0,125
   2. El opuesto es −0,125
   3. Los dos números son menores que 1, lo que no cambia ninguna de las dos reglas
   4. El valor absoluto sigue siendo la distancia al cero

   Los decimales se comportan igual que los enteros: las reglas hablan del signo y de nada más, así que el tamaño no interviene. Un número entre 0 y 1 tiene un valor absoluto pequeño y un opuesto igual de pequeño, y la pareja sigue colocada de forma simétrica alrededor del cero en la recta numérica.

La página recibe un número y devuelve su valor absoluto y su opuesto. No calcula la distancia entre dos puntos, aunque esa distancia se escriba con barras de valor absoluto: la longitud del hueco entre a y b es |a − b|, que necesita dos números de partida, y la calculadora de distancia enlazada más abajo toma las dos coordenadas. Cuando la entrada es negativa las dos columnas imprimen el mismo número, y eso es consecuencia de la definición y no un redondeo: para una x negativa el valor absoluto y el opuesto son la misma expresión, −x. El cero es el único número igual a su propio opuesto, y su valor absoluto también es cero. La entrada admite hasta quince cifras de magnitud; más allá la página tendría que pasar a notación científica en lugar de imprimir el número tal cual. El resultado se redondea a seis decimales para mostrarlo, mientras que la aritmética interna trabaja con precisión completa. No hay insignia de clasificación porque si la entrada era positiva, negativa o cero ya se ve en los dos números.

¿Qué es el valor absoluto de un número?

Es la distancia de ese número al cero medida sobre la recta numérica, y por eso nunca es negativa. El valor absoluto de −9 es 9 y el de 9 también es 9: los dos números están a nueve unidades del cero, cada uno a un lado. Las dos barras que rodean al número son la notación de esa distancia, no un paréntesis.

¿Por qué la calculadora imprime el mismo número dos veces cuando la entrada es negativa?

Porque en un número negativo el valor absoluto y el opuesto son la misma expresión. La definición dice que |x| = −x cuando x es negativo, y el opuesto es −x por definición, así que las dos columnas tienen que coincidir. −9 tiene por opuesto 9 y por valor absoluto 9. Lejos de ser un cálculo duplicado, esa coincidencia te dice algo: que la entrada era negativa o cero.

¿Cuál es la diferencia entre el valor absoluto y el opuesto?

El valor absoluto quita el signo; el opuesto lo cambia de lado. Sobre un número positivo son instrucciones distintas: el valor absoluto de 7 es 7 y su opuesto es −7. Sobre un número negativo llevan al mismo sitio, y sobre el cero los dos dan cero. La página muestra las dos columnas para que la distinción se vea en lugar de tener que creérsela.

¿Puede ser negativo un valor absoluto?

No. Es una distancia, y las distancias no son negativas. Vale para cualquier número real, también para los negativos muy grandes: el valor absoluto de −1000000 es 1000000. Si un cálculo te devuelve un valor absoluto negativo, algún paso ha aplicado mal la definición, casi siempre por negar un número que ya era positivo.

¿Tiene signo el valor absoluto de cero?

Vale cero, y el cero es el único número que es su propio opuesto. En aritmética de JavaScript, negar el cero puede producir un cero negativo, que se imprime como 0 pero no se compara igual que 0 en una comprobación estricta. La página normaliza las dos columnas para que una entrada de cero devuelva un cero limpio en cada una, sin ningún menos escondido dentro del valor.

¿Sirve esta página para hallar la distancia entre dos puntos?

No. Toma un solo número, y la distancia entre dos puntos necesita dos: el hueco entre a y b es |a − b|. La tabla de abajo muestra ese cálculo resuelto sobre la recta numérica, y la calculadora de distancia enlazada al final de la página lo resuelve en el plano, donde la respuesta lleva la raíz cuadrada de una suma de cuadrados en lugar de una resta.

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)