Spezifische-Wärmekapazität-Rechner

Q = m · c · ΔT (gleichwertig c = Q / (m · ΔT), m = Q / (c · ΔT), ΔT = Q / (m · c))

Q

Die dem Material zugeführte Wärmeenergie in Kilojoule. Sie darf negativ sein, und ein negatives Vorzeichen ist kein Fehler: Es bedeutet, dass Wärme das Material verlassen hat, und genau das passiert bei jedem Abkühlvorgang. Der Rechner hält diese Bedeutung durch — ein Kühlfall ergibt ein negatives Q, eine negative Temperaturänderung und eine positive Masse, so wie es die Physik sagt. Kilojoule statt Joule, weil die Alltagsfälle in die Hunderter laufen: Zwei Liter Wasser um 50 Grad zu erwärmen kostet etwa 419 kJ, und das als 418.600 J auszugeben hilft niemandem.

m

Die Masse des Materials in Kilogramm. Sie darf weder null noch negativ sein, und das ist eine Eigenschaft der Gleichung und keine erfundene Regel: Sobald m die Unbekannte ist, steht es im Nenner, eine Masse von null verlangte also eine Division durch null. Der physikalische Sinn ist derselbe — ein Körper ohne Masse hat keine Wärmekapazität, es gibt also nichts zu lösen. Die Masse ist von den vier Größen die unspektakulärste und die, an der die meiste Anschauung scheitert, denn die Wärmekapazität wächst linear mit ihr: Doppelt so viel Wasser braucht für dieselbe Erwärmung doppelt so viel Energie, und deshalb dauert ein voller Wasserkocher so viel länger als ein halbvoller.

c

Die spezifische Wärmekapazität: die Energie, die nötig ist, um ein Kilogramm des Materials um ein Kelvin zu erwärmen, in kJ/(kg·K). Sie ist die Zahl, die ein Material zu einem Material macht, und der Grund, warum ein Metalllöffel in kochendem Wasser unbenutzbar wird, während das Wasser selbst nur heiß ist. Der Wert des Wassers, 4,186, ist berühmt hoch — etwa das Zehnfache von Eisen und das Fünffache von Glas —, weshalb Wasser zum Wärmetransport benutzt wird und weshalb eine Küste das Klima des Landes hinter ihr dämpft. Fachtabellen drucken diese Werte meist in J/(kg·K), dort steht Wasser als 4.186; die Tabelle unten verwendet kJ/(kg·K), um zum Eingabefeld zu passen.

ΔT

Die Temperaturänderung in Grad Celsius — und weil sie eine Differenz und keine Temperatur ist, sind ein Grad Celsius und ein Kelvin hier gleich groß, die beiden Skalen lassen sich an dieser Stelle also austauschen. Sie darf negativ sein: Etwas um 30 Grad abzukühlen ist ΔT = −30, und die Energie kommt dann negativ heraus, was die korrekte Aussage ist, dass Wärme abgegeben wurde. In diesem Feld sitzt zugleich der häufigste Fehler — die Endtemperatur einzutragen statt der Differenz. Von 20 °C auf 80 °C ist ΔT = 60, nicht 80 und nicht 20.

drei von vier

Die Seite fragt nicht, welche Größe Sie haben möchten; sie erkennt, welche Sie leer gelassen haben, und löst nach ihr. Alle vier auszufüllen ist ebenfalls erlaubt, und dann tut sie etwas Nützlicheres als Lösen: Sie prüft die vier gegeneinander, sodass eine aus einem Datenblatt falsch abgeschriebene Zahl als Widerspruch auffällt, statt still verschluckt zu werden. Bleiben zwei Felder leer, sagt die Seite das, statt zu raten — es gibt keine Konvention, die festlegt, welche der beiden fehlenden Größen gemeint war.

Greifen Sie zu, sobald Energie und Temperatur aufeinandertreffen: um einen Warmwasserspeicher oder eine Wärmepumpe auszulegen, um abzuschätzen, wie lange ein Topf bis zum Sieden braucht, um zu prüfen, ob eine angegebene Heizleistung für die Masse plausibel ist, die sie erwärmen soll, oder um eine unbeschriftete Metallprobe zu bestimmen, indem Sie messen, wie viel Wärme sie aufzunehmen vermag. Kochen ist die Küchenfassung derselben Rechnung — deshalb hält ein gusseiserner Topf seine Wärme und ein dünner Aluminiumtopf nicht. Das richtige Werkzeug ist der Rechner, wenn es um das Ändern einer Temperatur geht. Für einen Phasenübergang ist er das falsche: Das Schmelzen von Eis und das Verdampfen von Wasser kosten Energie bei konstanter Temperatur, was diese Gleichung überhaupt nicht ausdrücken kann, und das ist der häufigste Weg, aus Q = m · c · ΔT eine selbstsicher falsche Antwort zu bekommen.

1. Erster Bildschirm: 2 kg Wasser, 50 Grad herauf

   1. Q = m · c · ΔT = 2 · 4,186 · 50
   2. 2 · 4,186 = 8,372 kJ je Kelvin
   3. 8,372 · 50 = 418,6 kJ

   418,6 kJ sind etwa 116 Wh, also eine Zehntel-Kilowattstunde — eine Form, die man sich merken sollte, denn sie sagt, dass das Erwärmen von Wasser mit Strom dauert und keine Konstruktion daran etwas ändert. Zwei Liter Wasser (2 kg), die um 50 Grad steigen, sind eine wasserkochergroße Aufgabe und kosten rund 419 kJ; dieselbe Energie würde etwa 9 kg Aluminium um dieselben 50 Grad heben, weil die spezifische Wärmekapazität des Aluminiums unter einem Viertel der des Wassers liegt. Die Ergebnisliste zeigt alle vier Zeilen, obwohl nur eine gefehlt hat — so lässt sich prüfen, ob die drei eingetragenen Werte so gelesen wurden, wie sie gemeint waren.

2. Nach der Masse gelöst: 900 kJ in Eisen

   1. m = Q / (c · ΔT)
   2. c · ΔT = 0,45 · 20 = 9 kJ je Kilogramm
   3. 900 / 9 = 100 kg

   Ein Eisenblock von der Masse eines Menschen, um 20 Grad erwärmt, für 900 kJ. Halten Sie das neben das Beispiel darüber: Dieselben 900 kJ hätten 2 kg Wasser um mehr als 100 Grad bewegt und verschieben 100 kg Eisen kaum. Dieser Kontrast ist der ganze Grund dafür, dass die spezifische Wärmekapazität eine eigene Größe ist — Materialien nach ihrer Temperaturantwort auf dieselbe Energie zu vergleichen, ist genau das, was diese Gleichung tut, wenn Masse und ΔT bekannt sind.

3. Abkühlen, wo die Vorzeichen negativ werden: Kupfer fällt um 30 Grad

   1. Q = 0,5 · 0,385 · (−30)
   2. 0,5 · 0,385 = 0,1925 kJ je Kelvin
   3. 0,1925 · (−30) = −5,78 kJ

   Ein halbes Kilogramm Kupfer gibt beim Abkühlen um 30 Grad 5,78 kJ ab. Das Minuszeichen ist der Punkt dieses Beispiels: Wärme geht hinaus, und der Rechner sagt das, statt still den Betrag zurückzugeben — was passieren würde, wenn das Vorzeichen als Fehler behandelt würde. Die beiden negativen Werte, das eingetragene ΔT und das zurückgegebene Q, sind zugleich eine brauchbare Kontrolle der Richtung: Wenn Sie eine Erwärmung beschreiben wollten und die Energie negativ herauskommt, hat einer Ihrer Eingabewerte das falsche Vorzeichen.

4. Nach c gelöst: Welches Metall ist das?

   1. c = Q / (m · ΔT)
   2. m · ΔT = 2 · 100 = 200 kg·K
   3. 179,4 / 200 = 0,897 kJ/(kg·K)

   Das ist die Messrichtung derselben Gleichung, und so wird eine spezifische Wärmekapazität überhaupt erst bestimmt: eine bekannte Energiemenge in eine bekannte Masse geben, den Temperaturanstieg messen und teilen. Die Antwort ist hier 0,897 kJ/(kg·K), das ist Aluminium — die Tabelle unten führt den Wert, und ein Ergebnis, das zwischen zwei Zeilen liegt, verrät eine Legierung statt einer reinen Probe. In der Praxis ist die Messung schwieriger als die Division, weil laufend Wärme an den Raum entweicht; deshalb gibt es Tabellenwerke, und deshalb ist Nachschlagen hier vernünftiger als Messen.

Die Gleichung setzt voraus, dass kein Phasenübergang stattfindet, und diese Annahme scheitert in der Küche hörbar: Ein Kilogramm Eis zu schmelzen kostet 334 kJ und ein Kilogramm Wasser zu verdampfen 2.257 kJ, beide bei konstanter Temperatur, und keine dieser beiden Zahlen kommt in Q = m · c · ΔT vor. Überschreitet Ihr Problem 0 °C oder 100 °C, brauchen Sie zusätzlich die Verdampfungs- beziehungsweise Schmelzwärme; eine Seite wie diese liefert Ihnen sonst ohne Warnung eine falsche Antwort. Sie behandelt außerdem c als Konstante, was es nicht ist — die spezifische Wärmekapazität eines Materials ändert sich mit der Temperatur (die des Wassers steigt von etwa 4,18 bei 20 °C auf 4,22 nahe dem Sieden), der Handbuchwert ist also ein Mittel über den Bereich, für den er angegeben ist, und ihn über eine Spanne von 500 Grad zu verwenden ist eine Extrapolation. Die tabellierten Werte hängen zudem vom Druck ab, und bei Gasen ist der Unterschied zwischen cp und cv erheblich: Bei Luft liegt er bei einem Faktor von etwa 1,4, die 1,005 dieser Seite sind cp, also der Wert bei konstantem Druck, und ihn für ein Gas in einem geschlossenen starren Behälter zu verwenden wäre falsch. Dazu kommt das Modell selbst: Q = m · c · ΔT beschreibt einen Körper mit einer einzigen Temperatur, und reale Gegenstände haben innen Gradienten und geben währenddessen laufend Wärme an die Umgebung ab. Der ausgegebene Wert ist die Energie, die im Material gelandet ist, und nicht die Energie, die Sie bezahlt haben — Dämmung, Aufheizzeit und Wirkungsgrad stehen alle außerhalb der Gleichung.

Wie lautet die Formel für die spezifische Wärmekapazität?

Q = m · c · ΔT: Die Wärmemenge ist gleich der Masse mal der spezifischen Wärmekapazität mal der Temperaturänderung. Umgestellt ergibt das c = Q / (m · ΔT) für die spezifische Wärmekapazität, m = Q / (c · ΔT) für die Masse und ΔT = Q / (m · c) für die Temperaturänderung. Alle vier Formen sind dieselbe Aussage über dieselben vier Größen, und deshalb nimmt dieser Rechner die drei, die Sie haben, und gibt die vierte zurück. Die Einheit von c folgt aus der umgestellten Form: Kilojoule geteilt durch Kilogramm mal Kelvin.

Warum ist die spezifische Wärmekapazität von Wasser so hoch, und was ändert das?

Der Wert des Wassers, 4,186 kJ/(kg·K), liegt bei etwa dem Zehnfachen von Eisen und dem Fünffachen von Glas, weil ein Wassermolekül Energie auf mehreren Wegen zugleich speichern kann — die Bindungen zwischen den Molekülen ordnen sich um, zusätzlich zur Bewegung der Moleküle selbst. Praktische Folgen: Wasser braucht lange, um heiß zu werden, und lange, um wieder abzukühlen, weshalb es in Gebäuden die Wärme transportiert und weshalb ein Topf Wasser das Letzte ist, was zu sieden beginnt; große Wassermengen dämpfen das Klima des angrenzenden Landes; und ein Mensch besteht überwiegend aus Wasser, was mit dazu beiträgt, dass Fieber Stunden braucht, um zu kommen und Stunden, um wieder zu gehen.

Warum kommt ein negatives Ergebnis heraus?

Weil Wärme abgegeben wird, und die Arithmetik hat keine andere Möglichkeit, das zu sagen. Eine negative Temperaturänderung (Abkühlung), durch die Gleichung multipliziert, ergibt eine negative Wärmeenergie, und das ist eine richtige Antwort und kein Fehler. Beide Vorzeichen sind bei der Eingabe genau deshalb erlaubt — die Seite wäre für die Hälfte ihrer Verwendungen unbrauchbar, wenn man Abkühlung als positive Zahl eintragen müsste. Nur Masse und spezifische Wärmekapazität dürfen nicht null und nicht negativ sein, weil die Gleichung durch sie teilt.

Darf ich zwei Felder leer lassen?

Nein. Drei der vier Größen müssen bekannt sein — die Gleichung hat vier Unbekannte und eine Beziehung, mehr als eine Unbekannte kann sie also nicht festlegen. Zwei Felder leer zu lassen ist auch nicht so eindeutig, wie es aussieht: Es gibt keine Regel, die sagt, welche der beiden Sie weglassen wollten, und mehrere Antworten wären mit den zwei Zahlen verträglich, die Sie angegeben haben. Die Seite meldet stattdessen, dass die Eingaben unvollständig sind, und wählt nicht für Sie.

Was passiert, wenn ich alle vier Felder ausfülle?

Dann prüft der Rechner, statt zu lösen. Was Sie leer lassen, wird berechnet; wenn nichts leer bleibt, werden alle vier gegeneinander geprüft und ein Widerspruch gemeldet, falls sie nicht zusammenpassen. Diese Prüfung ist keine Zierde — eine spezifische Wärmekapazität aus der falschen Zeile eines Datenblatts abzuschreiben oder eine Endtemperatur dort einzutragen, wo eine Temperaturdifferenz hingehört, ergibt vier Zahlen, die unauffällig aussehen und einander widersprechen, und hier wird dieser Widerspruch sichtbar.

Ist die spezifische Wärmekapazität eines Materials konstant?

Nein, und die Tabellen geben Ihnen trotzdem nur einen Wert je Material. Die spezifische Wärmekapazität ändert sich mit der Temperatur — die des Wassers steigt zwischen Raumtemperatur und Sieden um etwa ein Prozent — und mit dem Druck, und bei Gasen hängt sie davon ab, ob der Druck oder das Volumen konstant gehalten wird (bei Luft sind cp 1,005 und cv 0,718, ein Verhältnis von 1,4). Die eine Zahl im Tabellenwerk ist ein Richtwert unter gewöhnlichen Bedingungen. Über einen mäßigen Temperaturbereich ist sie auf wenige Prozent genau; über eine Spanne wie in einem Ofen ist sie eine Extrapolation, und das Ergebnis bleibt eine bessere Schätzung als es aussieht, aber keine Messung.

• 14.2 Temperature change and heat capacity — the equation with its definition, a table of representative specific heats, and worked examples — OpenStax (Rice University)
• Specific heat of common materials — the reference values this page's table is drawn against (water, air, aluminium, copper, iron and more) — The Engineering ToolBox