Ideales-Gasgesetz-Rechner

pV = nRT, umgestellt nach derjenigen der vier Größen, die Sie leer lassen

p

Der absolute Druck, standardmäßig in Kilopascal, mit Pascal, bar, Millibar, Hektopascal, Atmosphären, psi, Millimeter Quecksilbersäule, Torr und Zoll Quecksilbersäule im selben Feld. Es ist der absolute Druck und nicht der Überdruck: Ein Reifendruckmesser zeigt die Differenz zur umgebenden Luft, die 200 kPa, die er an einem Autoreifen anzeigt, sind also rund 300 kPa der Größe, die diese Gleichung will. Kilopascal sind die Basiseinheit aus einem Grund, den man kennen sollte — ein Liter-Kilopascal ist genau ein Joule, die Gaskonstante ist also in J/(mol·K) und in L·kPa/(mol·K) dieselbe 8,314, und Liter und Kilopascal sind das Paar, das die Konstante in einer einzigen Multiplikation auf die vertrauten 8,314 bringt

V

Das Volumen, das das Gas einnimmt, in Litern, mit Millilitern, Kubikmetern, Kubikzentimetern, Kubikfuß, Kubikzoll und US-Gallonen im selben Feld. Der Liter ist die Basiseinheit, weil er sich, wie oben beschrieben, mit dem Kilopascal paart. Null wird angenommen und ist eine echte Antwort und kein Fehler: Ohne Volumen hat die Gleichung kein Gas zu beschreiben, und die Seite meldet den Druck als nicht definiert, statt eine Zahl dafür zu erfinden. Negative Volumina werden abgelehnt, denn ein Gas kann nicht weniger als nichts einnehmen

n

Die Stoffmenge in Mol, mit Millimol und Kilomol im selben Feld wählbar. Ein Mol ist eine Anzahl und keine Masse: 6,02214076 × 10²³ Teilchen, ein Mol Stickstoff wiegt also etwa 28 Gramm, während ein Mol Helium etwa 4 Gramm wiegt, und beide nehmen unter denselben Bedingungen dieselben 22,414 Liter ein. Das ist der ganze Sinn davon, Teilchen zu zählen statt sie zu wiegen, und deshalb ist dieses Feld das, was die Gleichung mit der Chemie verbindet. Haben Sie eine Masse in Gramm statt einer Stoffmenge, teilen Sie zuerst durch die molare Masse

T

Die absolute Temperatur, in Grad Celsius, Grad Fahrenheit oder Kelvin. In der Rechnung funktioniert nur Kelvin, und der Grund ist physikalisch und nicht konventionell: Die Gleichung handelt davon, wie hart die Teilchen gegen die Wände stoßen, und die Null der Kelvinskala ist der Punkt, an dem diese Bewegung aufhört. 20 °C auf 40 °C zu verdoppeln verdoppelt den Druck also nicht — es geht von 293 K auf 313 K, und der Druck steigt um etwa 6,8 %. Das Feld rechnet um, was Sie eintippen, und es lehnt den absoluten Nullpunkt selbst ab, denn bei −273,15 °C sagt die Gleichung ein Volumen von null voraus, und damit teilt sie mit, dass sie aufgehört hat, etwas Reales zu beschreiben

R

Die allgemeine Gaskonstante, 8,314462618 J/(mol·K), die zugleich 8,314 L·kPa/(mol·K) ist — dieselbe Zahl, weil ein Liter-Kilopascal ein Joule ist. Unter anderen Druckeinheiten ist sie nicht mehr 8,314, und die erste Tabelle unten nennt sechs dieser Werte, darunter die 0,08206, die ältere Lehrbücher für Liter und Atmosphären drucken. R ist gemessen und nicht definiert: Sie ist die Boltzmann-Konstante mal die Avogadro-Konstante, was eine andere Art ist zu sagen, dass der Druck eines Gases ein Effekt je Teilchen ist, in großer Zahl gezählt

pV / nT

Die vier Größen bewegen sich nicht unabhängig voneinander, und die nützliche Lesart der Gleichung ist die als Aussage über das Paar der Verhältnisse: pV geteilt durch nT ist dieselbe Zahl für jedes Gas unter beliebigen Bedingungen, solange das Gas ideal ist. Halten Sie dieses Verhältnis fest, folgt alles Übrige. Verdoppeln Sie die Stoffmenge bei fester Temperatur und festem Druck, verdoppelt sich das Volumen; verdoppeln Sie die Kelvin bei festem Volumen, verdoppelt sich der Druck; und ein geschlossenes Gefäß von 20 °C auf 40 °C zu erhitzen hebt den Druck um 6,8 % und nicht um 100 %, weil die Skala am absoluten Nullpunkt beginnt und nicht am Gefrierpunkt des Wassers

Nutzen Sie diese Seite für jede Gasaufgabe, bei der drei der vier Größen bekannt oder gesucht sind und das Gas weit genug von der Kondensation entfernt ist, dass die ideale Gasgleichung trägt — das umfasst Luft, Stickstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid und Verbrennungsprodukte bei gewöhnlichen Raum- und Prozesstemperaturen und bei Drücken von einem groben Vakuum bis zu einigen Atmosphären. Es ist dieselbe Gleichung wie das kombinierte Gasgesetz mit einem Unterschied: Das kombinierte Gasgesetz hält die Stoffmenge fest und vergleicht zwei Zustände, während diese Seite die Stoffmenge als eine Größe behandelt, nach der man auflösen kann, sie beantwortet also auch Fragen wie die, wie viele Mol noch in einer Flasche sind. Die erste Tabelle steht aus einem Grund da: Die Gaskonstante ist die einzige Zahl in der Gleichung, die Menschen falsch einsetzen, und der Grund dafür ist, dass sie in manchen Einheiten 8,314 und in anderen 0,08206 ist. Bei 0 °C und einer Atmosphäre beträgt das Molvolumen eines Gases 22,414 Liter, und diese Zahl fällt direkt aus der Gleichung heraus, wenn man n auf eins setzt; deshalb steht sie in der zweiten Tabelle und in den Rechenbeispielen unten.

1. Die Voreinstellung: ein Mol bei 0 °C in 22,414 Litern

   1. Volumen 22,414 L, Temperatur 0 °C, Stoffmenge 1 mol — der Druck bleibt leer
   2. Temperatur in Kelvin umrechnen: 0 °C + 273,15 = 273,15 K
   3. Nach der leeren Größe umstellen: p = nRT / V
   4. p = (1 × 8,314 × 273,15) / 22,414 = 101,325 kPa
   5. Die Anzeige gibt 101,325 kPa aus, und das ist eine Standardatmosphäre

   Das ist der Zustand, um den herum die ganze Gleichung kalibriert ist, und es lohnt sich zu sehen, warum dabei genau eine Atmosphäre herauskommt. Die Gaskonstante wurde nicht gewählt, damit das aufgeht — sie wurde gemessen —, aber das Mol war den größten Teil des zwanzigsten Jahrhunderts als die Stoffmenge in 12 Gramm Kohlenstoff-12 definiert, und die Atmosphäre als ein fester Druck von 101.325 Pascal. Die ideale Gasgleichung sitzt zwischen diesen beiden Definitionen, und die Zahl 22,414 Liter je Mol bei 0 °C ist die beobachtbare Folge: das Molvolumen eines Gases, das für jedes Gas dasselbe ist, das ideal genug ist. Deshalb steht es in der zweiten Tabelle unten, und deshalb ist 22,4 die Zahl, an die sich die meisten aus der Schule halb erinnern.

2. Zwei Mol bei 25 °C und einer Atmosphäre: welches Volumen nehmen sie ein

   1. Druck 101,325 kPa, Temperatur 25 °C, Stoffmenge 2 mol — das Volumen bleibt leer
   2. Temperatur in Kelvin umrechnen: 25 + 273,15 = 298,15 K
   3. Nach dem Volumen umstellen: V = nRT / p
   4. V = (2 × 8,314 × 298,15) / 101,325 = 48,9308 L
   5. Die Anzeige gibt 48,9308 L aus; die Volumenzeile trägt vier Nachkommastellen, weil der Liter neben dem Mol eine große Einheit ist

   Hier geschieht zweierlei gleichzeitig, und es lohnt sich, es zu trennen. Von einem Mol auf zwei zu gehen verdoppelt das Volumen, weil Stoffmenge und Volumen bei fester Temperatur und festem Druck einander proportional sind — das ist das Avogadro-Gesetz, also dieselbe Gleichung mit den beiden anderen Variablen festgehalten. Von 0 °C auf 25 °C zu gehen bewirkt etwas Kleineres: 273,15 K auf 298,15 K ist der Faktor 1,092, das Volumen wächst also um 9,2 % und nicht um 25. Das ist die Kelvinskala bei der Arbeit, und genau diese Arithmetik geht schief, wenn jemand 25 in das Temperaturfeld tippt und es als 25 Grad Wärmeenergie behandelt. Das Ergebnis sind 48,93 Liter, was zugleich 2 × 24,4654 ist — das Molvolumen bei 25 °C aus der zweiten Tabelle.

3. Ein Mol bei 101,325 kPa in 22,414 Litern: welche Temperatur ist das

   1. Druck 101,325 kPa, Volumen 22,414 L, Stoffmenge 1 mol — die Temperatur bleibt leer
   2. Nach der Temperatur umstellen: T = pV / nR
   3. T = (101,325 × 22,414) / (1 × 8,314) = 273,15 K
   4. Zurück in die Einheit des Felds: 273,15 K − 273,15 = 0,00 °C
   5. Die Anzeige gibt 0,00 °C aus, und dies ist das erste Beispiel in der Gegenrichtung

   Dieselben drei Zahlen wie im ersten Beispiel, nur fehlt eine andere, und die Antwort kommt auf zwei Nachkommastellen als 0 °C zurück. Diese Rundreise zu rechnen ist die billigste Prüfung, ob Sie die Seite verstanden haben: Je zwei der vier Umstellungen müssen übereinstimmen, und die Umrechnungen hinein und heraus aus Kelvin müssen sich exakt aufheben, damit das passiert. Der Rest ist in der Rechnung nicht null — er beträgt 0,0004 °C — und erscheint als 0,00, weil die Temperaturzeile auf zwei Nachkommastellen gerundet ist. Das ist ein Rundungsartefakt der Anzeige und kein Fehler der Berechnung, und es ist der Grund, warum die Seite keine Temperatur von −0,00 ausgibt.

4. Alle vier ausgefüllt und in Übereinstimmung

   1. Alle vier Felder mit einem widerspruchsfreien Zustand gefüllt
   2. Die Seite hat nichts zu lösen und stellt die Gleichung stattdessen viermal um — je einmal nach jeder Größe — und vergleicht jedes Ergebnis mit der Zahl, die Sie eingetippt haben
   3. Alle vier stimmen innerhalb der Rundung der Anzeige überein, die Anzeige meldet also den Zustand und keinen Fehler
   4. Ändern Sie eine der vier, scheitert dieselbe Prüfung: 102 kPa statt 101,325 kPa weichen um 0,67 % ab, und die Seite sagt es

   Alle vier auszufüllen ist erlaubt und der schnellste Weg, eine Reihe von Messwerten zu prüfen, denn die Seite mittelt sie nicht und wählt keinen Sieger: Sie meldet den Widerspruch. Das ist wichtiger, als es klingt. Messen Sie Druck, Volumen und Temperatur in einem Behälter und rechnen die Stoffmenge aus einer angenommenen Gaskonstante aus, ist das interessante Ergebnis nicht die Zahl, sondern ob die vier überhaupt zusammenpassen — und eine Seite, die stillschweigend drei von ihnen bevorzugte, würde genau die kaputte Annahme verbergen, die Sie finden wollten. Nur zwei Felder auszufüllen ist dagegen gar nicht erlaubt, und das ist das Verhalten, das Leser überrascht: pV = nRT ist eine einzige Gleichung, zwei Größen lassen also zwei Unbekannte übrig, und es gibt keine eindeutige Antwort zu geben.

Die ideale Gasgleichung ist eine Näherung, und jedes reale Gas weicht von ihr ab. Die Moleküle eines realen Gases brauchen Platz, was zählt, wenn sie dicht gepackt sind, und sie ziehen einander an, was zählt, wenn sie sich langsam bewegen — die Gleichung ist also bei hohem Druck und tiefer Temperatur am schlechtesten, und genau dort werden Gase gelagert und immer dort verflüssigt. Die Van-der-Waals-Gleichung ergänzt für jeden dieser Effekte einen Term und ist der übliche nächste Schritt. Luft ist ein Gemisch und kein reines Gas, verhält sich als eines aber unterhalb einiger Atmosphären gut genug. Wasserdampf ist die sperrige Komponente: Er kondensiert, feuchte Luft folgt der Gleichung also nicht mehr, sobald das Wasser anfängt, aus ihr herauszugehen, und ein Druck, der hoch genug ist, um irgendeinen Teil eines Gemischs zu verflüssigen, ändert die Stoffmenge, die in der Gasphase übrig bleibt. Alles auf dieser Seite ist zudem ein einzelner Gleichgewichtszustand, ohne Berücksichtigung, wie schnell das Gas dorthin gelangt.

Wie lautet die Formel für das ideale Gasgesetz?

pV = nRT: Druck mal Volumen ist gleich der Stoffmenge in Mol mal der allgemeinen Gaskonstante mal der absoluten Temperatur. Jede andere Form der idealen Gasgleichung ist dieser eine Satz, umgestellt, und die Seite schreibt ihn noch dreimal um, weil die Umstellung, die Sie brauchen, davon abhängt, welches Feld Sie leer gelassen haben — p = nRT / V für den Druck, V = nRT / p für das Volumen, T = pV / nR für die Temperatur und n = pV / RT für die Stoffmenge. Als Satz gelesen hilft das: Der Druck, den ein Gas ausübt, steigt mit der Menge des Gases und mit der Temperatur und fällt, je größer das Volumen wird, in das es gezwängt wird. Konstant bleiben in der Gleichung eigentlich die beiden Verhältnisse, deshalb hat pV / nT für jedes Gas unter beliebigen Bedingungen denselben Wert.

Was ist die allgemeine Gaskonstante, und welchen Wert setze ich ein?

Die allgemeine Gaskonstante ist 8,314462618 J/(mol·K), und der Grund, warum sie keine runde Zahl ist, ist, dass sie eine gemessene Naturkonstante ist: die Boltzmann-Konstante mal die Avogadro-Konstante. Steht Ihr Druck in Kilopascal und Ihr Volumen in Litern, gilt dieselbe 8,314 unverändert, weil ein Liter-Kilopascal genau ein Joule ist. Wechseln Sie den Druck auf Atmosphären, wird daraus 0,08206; wechseln Sie das Volumen auf Kubikmeter und den Druck auf Pascal, bleibt es 8,314, denn diese Kombination ist wieder Joule. Die erste Tabelle auf der Seite nennt sechs solcher Paarungen, und ein Blick lohnt sich, bevor Sie einen Wert aus einem Lehrbuch übernehmen — 8,314 neben einem Druck in Atmosphären einzusetzen ist der häufigste Weg zu einem Ergebnis, das vernünftig aussieht und um den Faktor hundert falsch ist.

Was ist das Molvolumen eines Gases?

Es ist das Volumen, das ein Mol eines beliebigen idealen Gases unter genannten Bedingungen einnimmt, und die zweite Tabelle gibt es für vier davon an. Bei 0 °C und einer Atmosphäre sind es 22,414 Liter; bei 0 °C und 100 kPa sind es 22,711 Liter; bei 25 °C sind es 24,465 oder 24,790 Liter, je nachdem, welchen Druck Sie wählen. Der Unterschied von 1,3 % zwischen den beiden 0-°C-Zeilen ist kein Fehler und keine Rundung: Für den Standardzustand sind zwei Definitionen im Umlauf, die eine mit einer Atmosphäre, die ältere mit 100 kPa, und die beiden Molvolumina folgen daraus. Deshalb stehen in Lehrbüchern sowohl 22,4 als auch 22,7, und deshalb lohnt es sich zu wissen, welche eine Aufgabe verwendet. Der Wert fällt aus der Gleichung heraus, wenn man die Stoffmenge auf ein Mol setzt, es muss hier also nichts auswendig gelernt werden: Geben Sie die Bedingungen ein, und lesen Sie die Volumenzeile.

Warum muss die Temperatur in Kelvin angegeben werden?

Weil die Gleichung von der Bewegungsenergie der Teilchen handelt, und die Kelvinskala ist die, deren Nullpunkt dort liegt, wo diese Bewegung aufhört. In Grad Celsius ergäbe die Rechnung für ein Gas bei −100 °C eine positive Antwort, was Unsinn ist, und außerdem würde eine Verdopplung der Temperatur den Druck nicht verdoppeln. Rechnen Sie es mit echten Zahlen durch: Ein geschlossenes Gefäß von 20 °C auf 40 °C zu erhitzen bringt es von 293 K auf 313 K, das ist ein Anstieg um 6,8 % und nicht um 100 %. Die Seite nimmt im Temperaturfeld Celsius, Fahrenheit oder Kelvin an und rechnet um, bevor sie irgendetwas anderes tut, das Feld ist also eine Erleichterung und keine Falle — aber der Kelvin-Wert ist der, den man im Kopf haben sollte, wenn man ein Ergebnis auf Plausibilität prüft.

Wie benutze ich diesen Rechner zum idealen Gasgesetz?

Füllen Sie genau drei der vier Felder aus und lassen Sie das vierte leer; das leere ist die Antwort. Zwei genügen nicht, und vier sind etwas anderes: Bei nur zwei bekannten Größen gibt es keine eindeutige Lösung, und bei allen vieren prüft die Seite sie gegeneinander, statt zu lösen. Gibt Ihnen die Aufgabe eine Masse Gas statt einer Stoffmenge, teilen Sie vor dem Eintippen durch die molare Masse, und gibt sie einen Überdruck statt eines absoluten Drucks, addieren Sie zuerst den Atmosphärendruck — ein Reifendruckmesser mit 200 kPa zeigt etwa 300 kPa der Größe, die dieser Gasdruck-Rechner will. Lassen Sie das Feld leer, statt eine Null einzutragen, denn die Null ist ein echter Wert und wird von der Seite auch so behandelt.

Wann funktioniert das ideale Gasgesetz nicht mehr?

Bei hohem Druck und tiefer Temperatur — also leider dort, wo Gase üblicherweise gelagert und immer dort, wo sie verflüssigt werden. Zwei Annahmen brechen zusammen: Reale Moleküle brauchen Platz, der zum Bewegen verfügbare Raum ist also kleiner als der Behälter, und sie ziehen einander an, der Druck, den sie ausüben, ist also niedriger, als die Gleichung vorhersagt. Bei Luft und Raumtemperatur ist der Effekt bis zu einigen Atmosphären klein und wird erheblich, sobald man sich den Bedingungen nähert, unter denen das Gas kondensieren würde. Wasserdampf ist ein Sonderfall, weil er bei gewöhnlichen Temperaturen kondensiert: Ist die Luft gesättigt, entzieht jede weitere Abkühlung Wasser, statt die Temperatur des Gases zu senken, und die Gleichung beschreibt nicht mehr, was im Behälter ist. Für solche Fälle ist die Van-der-Waals-Gleichung oder ein Realgasfaktor der übliche nächste Schritt.

• The Ideal Gas Law (College Physics 2e, §13.3) — the equation in both the pV = NkT and pV = nRT forms, the value of the gas constant in several unit systems, and the molar volume at standard temperature and pressure — OpenStax
• Ideal gas law — the derivation from the kinetic theory of gases, the statement of Avogadro's law as the constant-temperature and constant-pressure case, and the list of ways real gases deviate from it — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the pascal, the litre and the conversions between the pressure units this page's dropdown offers — NIST