Wärmeausdehnung-Rechner

ΔL = α · L · ΔT und für einen isotropen Festkörper ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

Der Längenausdehnungskoeffizient, in Millionstel je Grad — eine Materialkonstante, die man misst, indem man einen Stab unter einer bekannten Temperaturänderung wachsen sieht. Es ist eine kleine Zahl, die man aussprechen muss: Die 23,1×10⁻⁶ des Aluminiums bedeuten, dass ein Meter Aluminium je Kelvin 23,1 Mikrometer gewinnt, und deshalb sieht im Alltag nichts nach Ausdehnung aus. Zwischen gewöhnlichen Materialien spannen die Koeffizienten über mehr als einen Faktor dreißig, von etwa 1,5×10⁻⁶ bei Invar — einer Legierung, die genau gegen diesen Effekt konstruiert wurde und für Pendelstangen und Präzisionsinstrumente verwendet wird — bis zu 55×10⁻⁶ und darüber bei PVC und anderen Kunststoffen. Die richtige Zeile zu treffen ist also der eigentliche Aufwand; die Arithmetik danach ist eine Multiplikation.

L

Die Länge bei der Ausgangstemperatur, in Millimetern, in der von Ihnen gewählten Einheit. Es ist die ursprüngliche Länge, nicht die endgültige und nicht der Mittelwert — ein Unterschied, der erst auffällt, wenn man umgekehrt aus einer bekannten Endlänge auf einen Koeffizienten schließen will, und genau dort geht eine überraschende Zahl von Handrechnungen still daneben. Die Basiseinheit ist hier das Millimeter, weil sie die Antwort lesbar hält: Ein Meter Aluminium wächst bei 40 K um 0,924 mm, und das als 0,000924 m auszugeben hilft niemandem. Null ist ein zulässiger Eingabewert — ein Stab ohne Länge dehnt sich nicht aus —, ein negativer nicht, und deshalb ist die untere Grenze des Felds bei null geschlossen und die Prüfung weiter innen weist alles darunter zurück.

ΔT

Die Temperaturänderung in Kelvin (oder in Grad Celsius — beide Einheiten sind gleich groß, und weil es hier eine Differenz und keine Temperatur ist, ist beides richtig). Negative Werte sind normal und bedeuten Abkühlung: Stahl, der um 40 K abkühlt, schrumpft, und die Ausdehnung kommt negativ heraus, was genau das ist, was die Arithmetik sagen soll. Die Grenzen von ±500 K decken den Bereich vom flüssigen Stickstoff bis zum Ofen ab und lassen das Feld für den Leser weit offen, der in Zehnergraden arbeitet — und dort liegen fast alle realen Fälle.

ΔL

Die Längenänderung in Millimetern, ausgegeben neben der neuen Länge, damit der Betrag und das Ergebnis seiner Addition gleichzeitig sichtbar sind. Die Zahl ist absolut klein, und genau darin liegt die Falle: 0,9 mm klingt harmlos, bis der Stab nirgends hin kann. Ein festgehaltener Stab kann nicht einfach nicht wachsen — die Ausdehnung wird stattdessen zu Spannung, und weil der Elastizitätsmodul groß ist, ist die Kraft keineswegs klein. Deshalb werden Eisenbahnschienen mit Fugen verlegt, und deshalb hat eine lange Brücke an einem Ende ein Gelenk statt einer durchgehenden Fahrbahn. Diese Seite gibt die freie Längenänderung; die Spannung, die entsteht, wenn die Ausdehnung verhindert wird, ist eine zweite Rechnung, und in ihr sitzt der eigentliche Schaden.

3 · α · ΔT

Der Volumenanteil, als Dehnung in Prozent ausgegeben statt als Volumen, weil dieselbe Messung ihn nebenbei liefert: Jede der drei Dimensionen wächst um α · ΔT, also wächst das Volumen eines massiven Würfels um etwa 3 · α · ΔT. Zwei Einschränkungen gehören zum Faktor drei. Er gilt für isotrope Materialien — Metalle, Gläser und Kunststoffe, als gleichförmig betrachtet —, nicht aber für Holz, das sich längs der Faser anders ausdehnt als quer dazu, ebenso wenig für geschichtete Verbundwerkstoffe oder für Einkristalle. Und er ist eine Kleindehnungsnäherung: Exakt ist der Faktor (1 + α·ΔT)³ − 1, was bei diesen Größenordnungen auf viele Nachkommastellen mit 3αΔT übereinstimmt und bei einer Temperaturänderung, die groß genug wäre, um ins Gewicht zu fallen, nicht mehr.

Greifen Sie zu, bevor Sie zwei Enden von etwas an einem starren Rahmen befestigen: eine Schiene verlegen, eine Rohrleitung zwischen Festpunkten aufhängen, eine knapp passende Scheibe einglasen, ein Aluminiumteil an Stahl schrauben oder die Fuge in einer Brückenplatte bemessen. Ebenso für die Alltagsfassung derselben Frage — ein Metalldeckel, der nach dem heißen Abspülen abgeht, oder ein Glas, das sich erst geöffnet erwärmen lässt, weil der Deckel sich zuerst ausdehnt, da sein Koeffizient größer oder seine Masse kleiner ist. Beantwortet wird hier ausschließlich die freie, unbehinderte Ausdehnung. Ist das Bauteil an beiden Enden festgehalten, sagt Ihnen diese Seite, welche Länge es werden möchte, und die weit nützlichere Zahl — die Spannung, die stattdessen entsteht — kommt aus dem Elastizitätsmodul und nicht von hier.

1. Erster Bildschirm: ein Meter Aluminium, 40 K wärmer

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1.000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1.000 = 0,0231 mm je Kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Neue Länge: 1.000 + 0,924 = 1.000,924 mm
   5. Volumendehnung: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772 %

   Knapp ein Millimeter auf einen Meter, für eine Temperaturänderung, die ein sonniger Nachmittag zustande bringt — deshalb gibt es diese Seite, und deshalb steht das Ergebnis mit drei Nachkommastellen da. Die Dehnungszeile ist dasselbe Ergebnis von der anderen Seite gesehen: 0,28 % Volumen sind wenig, aber nicht nichts, und ein in alle drei Richtungen eingespannter Körper kann das nicht aufnehmen. Beachten Sie außerdem, dass die Anzeige Ihnen den Koeffizienten zurückgibt: Diese Zeile ist das gewählte Material, und sie steht dort, damit Sie die Auswahlliste prüfen können, bevor Sie dem Rest trauen.

2. Der klassische Fall: eine 25 m lange Stahlschiene, 60 K Sonne

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25.000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25.000 = 0,3 mm je Kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Neue Länge: 25.000 + 18 = 25.018 mm

   Achtzehn Millimeter auf ein einzelnes Schienenstück, von einer Winternacht bis zu einem Sommernachmittag. Das ist die Zahl, die bestimmt, wie weit eine Schienenfuge sein muss, und der Grund, warum Gleise mit den Fugen verlegt werden, die sie haben, statt als ein durchgehendes geschweißtes Band — und warum moderne durchgehend geschweißte Gleise stattdessen unter kontrollierter Spannung gereckt und verankert werden, damit dieselben 18 mm zu einer beherrschbaren, über die ganze Schiene verteilten Spannung werden statt zu 18 mm Verwerfung an einer Fuge. Die Frage ist nicht, ob Stahl sich ausdehnt; er tut es immer.

3. Abkühlung und ein negatives Ergebnis: Edelstahl, 40 K kälter

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm je Kelvin
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 mm
   4. Neue Länge: 500 − 0,346 = 499,654 mm

   Es ändert sich nichts außer dem Vorzeichen der Temperaturänderung, und der Rechner meldet die Schrumpfung als negative Ausdehnung und eine kürzere Endlänge. Das ist die ehrliche Konvention und die, die man beim Fügen beibehalten sollte: Eine in flüssigem Stickstoff geschrumpfte Edelstahlhülse gleitet auf eine Welle, auf die sie bei Raumtemperatur nicht passen würde, und ihre neue Länge ist die 499,654 mm von oben und nicht die 500 mm, auf die sie gefertigt wurde. Beide Zeilen werden ausgegeben, weil beide gebraucht werden — der Betrag der Schrumpfung für die Passung, die Endlänge für die Zusammenbauzeichnung.

4. Das äußerste Ende der Tabelle: Gusseisen, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100.000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100.000 = 1,08 mm je Kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Neue Länge: 100.000 + 540 = 100.540 mm
   5. Volumendehnung: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62 %

   Ein halber Meter auf hundert Meter, für den Weg von der Umgebungstemperatur in einen Ofen. Der niedrige Koeffizient des Gusseisens ist der Grund, warum es das Material für Motorblöcke und Maschinenbetten war — es bewegt sich von den gängigen Metallen am wenigsten —, und das Beispiel steht hier, um die Größenordnung zu zeigen, ab der der Effekt nicht mehr ignoriert werden kann: 540 mm sind keine Toleranz, sondern ein Konstruktionsmerkmal. Es zeigt zugleich, warum die Grenzen der Eingabefelder so weit gesteckt sind: Die Seite muss einen Leser aushalten, der wirklich eine 100 m lange Rohrstrecke von kalt nach heiß fährt, und sie beantwortet das lieber, als es abzulehnen.

Die Volumenzeile setzt voraus, dass das Material sich in jede Richtung gleich ausdehnt, was für Metalle und Gläser stimmt und für Holz, Einkristalle und geschichtete Verbundwerkstoffe nicht — dort braucht jede Achse ihren eigenen Koeffizienten, und der Faktor drei bedeutet nichts. Die Koeffizienten selbst sind bei einer Bezugstemperatur nahe 20 °C angegeben, und α steigt langsam mit der Temperatur, eine Antwort für 500 K Spanne ist also eine Extrapolation aus einer Raumtemperaturmessung und keine Messung bei dieser Temperatur. Auch die veröffentlichten Werte widersprechen sich: Aluminium ist in einer der unten angegebenen Quellen 23×10⁻⁶ und in der anderen 25×10⁻⁶, ein Unterschied von einigen Prozent — behandeln Sie die dritte Nachkommastelle jeder Antwort als Zierde und die erste Ziffer als die eigentliche Information. Diese Seite liefert die freie Längenänderung und sagt nichts darüber, was passiert, wenn das Bauteil an beiden Enden gehalten wird — dieselbe Ausdehnung wird, wenn sie Widerstand findet, zu einer Spannung in der Größenordnung E·α·ΔT, für Stahl über 60 K deutlich über hundert Megapascal, genug um eine Schiene zu verwerfen oder eine Schweißnaht zu reißen, und nichts davon steht in den Zahlen oben. Über die Zeit sagt sie ebenfalls nichts: Ein dickes Gussteil erwärmt sich ungleichmäßig, die Ausdehnung kommt also als Gradient und als Verzug an und nicht als gleichmäßige Längenänderung. Und sie setzt voraus, dass die Änderung unterhalb des Erweichungspunkts stattfindet — ein Kunststoff nahe seiner Glasübergangstemperatur oder irgendetwas nahe dem Schmelzpunkt liegt außerhalb dessen, was ein einzelner Koeffizient beschreiben kann.

Wie lautet die Formel für die Wärmeausdehnung?

ΔL = α · L · ΔT: Die Längenänderung ist gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten des Materials mal der Ausgangslänge mal der Temperaturänderung. Bei einem Festkörper, der sich in alle Richtungen gleich ausdehnt, wächst das Volumen anteilig dreimal so stark, die Volumenausdehnung beträgt also 3 · α · ΔT — dieselbe Beziehung mit einem Faktor, der aus den drei Dimensionen stammt und nicht aus zusätzlicher Physik. Beides steht auf dieser Seite, und das zweite wird als Dehnung in Prozent ausgegeben und nicht als Volumen, weil das die Form ist, die der Koeffizient direkt liefert.

Wie stark dehnt sich Stahl je Grad aus?

Um etwa 12×10⁻⁶ je Kelvin, ein Meter Stahl wächst also je Grad um 0,012 mm — zwölf Mikrometer, rund ein Achtel der Dicke eines Blatts Papier, das etwa 0,1 mm stark ist. Über die 60 K zwischen einer Winternacht und einem Sommernachmittag wächst eine 25 m lange Schiene um 18 mm, und deshalb gibt es Schienenfugen und deshalb muss durchgehend geschweißtes Gleis unter Spannung gereckt und verankert werden, statt einfach verlegt zu werden. Aluminium reagiert mit 23×10⁻⁶ etwa doppelt so stark, und PVC liegt mit 55×10⁻⁶ bei mehr als dem Vierfachen von Stahl, weshalb Kunststoffleitungen bei gleicher Strecke mehr Auflagerabstände und großzügigere Dehnungsbögen brauchen als Metallleitungen.

Warum ist die Volumenänderung dreimal so groß wie die Längenänderung?

Weil ein Festkörper in drei Richtungen zugleich wächst. Jede Dimension wächst um den Anteil α·ΔT, das Volumen eines Würfels wächst also um (1 + α·ΔT)³ − 1, was bei den kleinen Zahlen, um die es geht, auf weit mehr Nachkommastellen als nötig 3·α·ΔT ergibt. Der Faktor drei folgt allerdings aus der Isotropie — er setzt voraus, dass das Material entlang jeder Achse identisch wächst. Holz tut das nicht (es arbeitet quer zur Faser deutlich stärker als längs), Einkristalle ebenso wenig und geschichtete Verbundwerkstoffe auch nicht, für diese ist die Volumenzeile dieser Seite also keine Näherung der richtigen Antwort, sondern die Antwort auf eine andere Frage.

Ist die Länge, die ich eintrage, die ursprüngliche oder die endgültige?

Die ursprüngliche — die Länge bei der Ausgangstemperatur, bevor irgendetwas warm wird. Das ist wichtiger, als es aussieht: Rückwärts von einer gemessenen Endlänge auf einen Koeffizienten zu schließen heißt, durch die ursprüngliche Länge zu teilen, und stattdessen die Endlänge zu verwenden erzeugt einen relativen Fehler von etwa α·ΔT, der bei Stahl vernachlässigbar und bei einem Kunststoff über eine große Temperaturänderung nicht mehr vernachlässigbar ist. Die Seite gibt die Änderung und die neue Länge getrennt aus, damit sichtbar bleibt, was was ist, und die Änderung bezieht sich immer auf das, was Sie eingetragen haben.

Wozu braucht man eine Ausdehnungsfuge?

Sie ist das, was man baut, wenn man die Ausdehnung nicht frei lassen kann. Ein an beiden Enden gehaltenes Bauteil bleibt nicht auf der Länge, die es haben möchte; die Ausdehnung wird behindert und verwandelt sich in Spannung, in der Größenordnung des Elastizitätsmoduls mal α·ΔT — für Stahl über 60 K deutlich über hundert Megapascal, genug um eine Schiene zu verwerfen, eine Rohrstrecke durchzubiegen oder eine Schweißnaht zu reißen. Ausdehnungsfugen, Dehnungsbögen, Langlöcher und Gleitlager sind alles Wege, dem Material einen Platz zum Ausweichen zu geben, und sie existieren, weil die Rechnung dieser Seite auf die eine oder andere Weise bezahlt werden muss.

Warum geben verschiedene Tabellen verschiedene Koeffizienten an?

Weil der Koeffizient nicht vollkommen konstant und nicht vollkommen unstrittig ist. α ändert sich mit der Temperatur, ein bei 20 °C angegebener Wert und ein über 0–100 °C gemittelter sind also verschiedene Zahlen für dasselbe Material, und verschiedene Tabellenwerke führen unter demselben Namen verschiedene Legierungen — Aluminium ist in einer der unten angegebenen Quellen 23×10⁻⁶ und in der anderen 25×10⁻⁶, und „Edelstahl“ umfasst eine Familie, deren Koeffizienten von etwa 10 bis 18×10⁻⁶ laufen. Für die meisten Zwecke liegt der Unterschied bei wenigen Prozent und ändert die Entscheidung nicht. Wo er zählt — Präzisionsinstrumente, lange Strecken, enge Passungen —, ist er ein Grund, die tatsächliche Charge zu messen, statt eine andere Tabelle zu wählen.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox