Multiplikations-Rechner

a × b: die Ziffern von b als b₀ + 10·b₁ + … schreiben, a × b_k in eine eigene Zeile setzen, diese um k Stellen verschieben, dann die Zeilen addieren Produkt = (a × b) mit dem Dezimalkomma insgesamt so vielen Stellen von rechts

a

Der Multiplikand, die Zahl, die malgenommen wird. Sie wird als Ganzes nacheinander mit jeder Ziffer der anderen Zahl multipliziert, bleibt also in einem Stück, während die andere Zahl zerlegt wird.

b

Der Multiplikator, die Zahl, deren Ziffern von rechts einzeln abgearbeitet werden. Jede ihrer Ziffern ergibt eine Zeile, auch eine Null, denn diese Zeile hält fest, welche Stelle die Ziffer besetzt hat — eine Stelle, auf der nichts steht, ist trotzdem eine Information.

shift

Um wie viele Stellen nach links die Zeile geschrieben wird, gleich der Position der Multiplikatorziffer. Das ist der Stellenwert bei der Arbeit: Die 4 in 45 ist vierzig wert, ihr Teilprodukt ist also zehnmal so groß wie das der Einerziffer. Auf dem Papier zeigt man die Verschiebung, indem die Zeile weiter links beginnt; in einer Tabelle muss daraus eine Zahl werden.

decimal places

Die Anzahl der Ziffern nach dem Komma, zusammengezählt über beide Faktoren statt an einem von ihnen abgelesen. 2,3 hat eine und 4,5 hat eine, das Produkt trägt also zwei, und 1.035 wird zu 10,35. An der Ziffernarbeit hängt davon nichts: Die Multiplikation läuft vollständig über ganze Zahlen, und das Komma wird danach gesetzt.

Nehmen Sie diese Seite, um zwei Zahlen von Hand zu multiplizieren und den Weg zu behalten: ein auf Papier gerechnetes Produkt zu prüfen, den Verschiebungsschritt zu vermitteln, oder Dezimalzahlen zu behandeln, wo die Lage des Kommas der Teil ist, der schiefgeht. Das wiederholte Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst ist die Potenz-Seite; das Multiplizieren von Brüchen folgt einer eigenen Regel, Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

1. 23 × 45

   1. Mit der Einerstelle malnehmen: 23 × 5 = 115, ohne Verschiebung hingeschrieben
   2. Mit der Zehnerstelle malnehmen: 23 × 4 = 92
   3. Die Zehnerstelle ist zehnmal so viel wert, deshalb rückt diese Zeile um eine Stelle nach links und lautet 920
   4. Die Zeilen addieren: 115 + 920 = 1.035
   5. Keiner der beiden Faktoren hat eine Nachkommastelle, das Produkt hat also auch keine
   6. Das Produkt ist 1.035

   Der Standardfall. Die 0 am Ende von 920 ist die sichtbar gemachte Verschiebung — auf dem Papier beginnt die Zeile einfach eine Spalte weiter links, beim Lesen wird daraus eine Ziffer, die geschrieben werden muss. Die beiden addierten Zeilen sind eine gewöhnliche schriftliche Addition, also die Nachbarseite.

2. Dieselben Ziffern mit Dezimalkomma

   1. Die Kommas beiseitelassen und die Ziffern multiplizieren: 23 × 45, das ist das vorige Beispiel
   2. Die Teilprodukte sind 115 und 920, unverändert
   3. Die Nachkommastellen zählen: 2,3 hat eine und 4,5 hat eine, das Produkt hat also zwei
   4. Das Komma zwei Ziffern von rechts in 1.035 setzen
   5. Das Produkt ist 10,35

   Die klarste Aussage darüber, wie Dezimalzahlen hier funktionieren: Die Ziffernarbeit ist identisch mit der Multiplikation von 23 mit 45, und der ganze Unterschied ist, wo das Komma landet. Deshalb werden die Nachkommastellen als Summe ausgewiesen und nicht an einem der beiden Faktoren abgezählt.

3. Eine Nullziffer im Multiplikator

   1. Mit der Einerstelle malnehmen: 23 × 0 = 0, ohne Verschiebung hingeschrieben
   2. Mit der Zehnerstelle malnehmen: 23 × 4 = 92, um eine Stelle nach links verschoben, also 920
   3. Die Zeilen addieren: 0 + 920 = 920
   4. Das Produkt ist 920

   Die Nullzeile bleibt stehen, statt übersprungen zu werden. Von Hand lässt man sie meist weg, aber ihre Position ist die eigentliche Information — sie sagt, dass die Einerstelle von 40 nichts beigetragen hat —, und die Kontrolle, dass die Zeilen zusammen das Produkt ergeben, geht nur auf, wenn die Zeile da ist. Das ist die umgekehrte Wahl zur Seite zum Ausmultiplizieren von Klammern, wo ein Term, der null ergibt, weggelassen wird: Dort existiert der leere Term nicht, hier wird wirklich eine Zeile geschrieben.

Die beiden Faktoren dürfen zusammen höchstens sechs Nachkommastellen haben, und begrenzt ist die Summe, nicht jeder Faktor für sich. Das ist eine Grenze der Anzeige und keine der Arithmetik: Das Panel gibt das Produkt mit sechs Nachkommastellen aus, ein Produkt mit acht Stellen erschiene also als 0,000000 — eine falsche Antwort im Gewand einer richtigen. Jeder Faktor ist auf einen Betrag von einer Million begrenzt, und die ganzzahlige Form des Produkts auf die größte exakt darstellbare ganze Zahl, weil die Ziffern Stelle für Stelle gelesen werden und jenseits dieser Grenze die Teilprodukte nicht mehr zum Ergebnis zusammengehen. Negative Faktoren sind zugelassen, und die Teilprodukte werden ohne Vorzeichen ausgegeben; das Vorzeichen erscheint nur am fertigen Produkt. Die Null ist ein zulässiger Faktor, und das Produkt aus einer negativen Zahl und einer Null wird als 0 ausgegeben, nicht als negative Null. Diese Seite multipliziert; das Dividieren ist ein eigenes Verfahren mit eigenen Spaltenregeln.

Was ist die schriftliche Multiplikation?

Eine Multiplikation, bei der man die Ziffern der einen Zahl nacheinander mit jeder Ziffer der anderen malnimmt: Jede Ziffer des Multiplikators ergibt eine Zeile, die Zeilen werden nach ihrer Stelle nach links verschoben und anschließend addiert. Es kommt dasselbe Produkt heraus wie beim Taschenrechner, nur bleiben die Zwischenzeilen erhalten.

Warum werden die Teilprodukte verschoben?

Weil der Wert einer Ziffer davon abhängt, wo sie steht. Die 4 in 45 ist vierzig wert, also muss alles, was sie multipliziert, zehnmal so groß ausfallen wie das, was die 5 ergeben hat; die Zeile eine Stelle weiter links zu beginnen hält das fest. Es ist dieselbe Regel, nach der die Spalten einer Addition untereinander ausgerichtet werden.

Wie finde ich die Stelle des Kommas?

Man zählt die Nachkommastellen beider Faktoren und addiert sie. 2,3 hat eine und 4,5 hat eine, das Produkt hat also zwei, und 1.035 wird zu 10,35. Die Ziffern selbst sehen das Komma nie — die ganze Multiplikation läuft über ganze Zahlen, und das Komma wird am Ende gesetzt.

Warum bleibt eine Zeile mit Nullen stehen?

Weil die Position der Zeile die Information ist. Ist die Einerziffer des Multiplikators eine Null, sagt diese Zeile, dass die Einerstelle nichts beigetragen hat, und ließe man sie weg, ginge verloren, dass die verbleibende Zeile verschoben ist. Bleibt sie stehen, ergeben die Zeilen außerdem immer genau das Produkt — das ist die Kontrolle, für die diese Seite gebaut ist.

Was passiert bei negativen Faktoren?

Das Produkt ist negativ, wenn genau einer der beiden Faktoren negativ ist, und positiv, wenn es beide sind. Die Teilprodukte werden in jedem Fall ohne Vorzeichen ausgegeben, so wie eine Handrechnung das Minuszeichen neben der Aufgabe stehen lässt — und nur so ergeben sie zusammengerechnet das Produkt.

Warum bekommt ein ganzzahliges Produkt eine Reihe von Nullen?

Weil das Panel das Produkt mit festen sechs Nachkommastellen ausgibt; 1.035 erscheint dort als 1.035,000000. Die Alternative wäre, das Produkt als Text auszugeben, und damit stünde im Ergebnis ein Punkt statt eines Kommas — falsch überall dort, wo das Komma das Dezimaltrennzeichen ist, und schlimmer als ein paar Nullen.

• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Schriftliche Multiplikation — das Verfahren mit den versetzten Teilprodukten und dem Nachkommazählen, wie es in der Schule gelehrt wird — Mathebibel (Deutschland)