Schriftliche-Addition-Rechner

Spalte k: Summe = Ziffer_k(a₁) + … + Ziffer_k(aₙ) + Übertrag hinein hingeschriebene Ziffer = Summe mod 10 Übertrag hinaus = Abrunden(Summe ÷ 10)

a₁ … aₙ

Die Summanden: zwischen zwei und zehn ganze Zahlen, jede höchstens eine Billion groß. Die erste Spalte ist die Einerstelle aller Zahlen zugleich — deshalb müssen die Zahlen mit ausgerichteten Ziffern untereinandergeschrieben werden, bevor dieses Verfahren überhaupt etwas bedeutet.

column k

Die k-te Stelle von rechts, wobei die Einerstelle als null zählt. Jede Spalte hält eine Ziffer aus jedem Summanden, und eine Zahl, die zu kurz ist, um so weit zu reichen, steuert eine Null bei statt übersprungen zu werden — der Stellenwert einer Ziffer wird von der Spalte bestimmt, in der sie steht, nicht von der Zahl, aus der sie kommt.

carry

Der Übertrag in die nächste Spalte links. Er ist das, was übrig bleibt, nachdem die hingeschriebene Ziffer herausgenommen wurde — der Zehnerteil der Summe. Eine Spalte kann höchstens 9 hinausreichen, und die höchste Spalte kann trotzdem eine Stelle über die Breite des längsten Summanden hinausgehen; genau das macht aus 9 + 9 eine zweistellige Summe.

sum

Die Summe, und zugleich die Zahl, an der die Übertragskette gemessen wird: Die Kette hat einen Eintrag je Spalte, ihre Länge entspricht also der Stellenzahl der Summe. Führende Nullen werden nie geschrieben, 007 ist also die Antwort 7.

Nehmen Sie diese Seite, wenn die Addition gezeigt und nicht nur beantwortet werden soll: den Übertragsschritt zu vermitteln, eine von Hand gerechnete Summe zu prüfen, oder mehrere Zahlen schriftlich addieren will, wo die Zwischenüberträge die Stelle sind, an der es schiefgeht. Aus einer Summe den Mittelwert zu bilden ist die nächste Frage nach einem Gesamtergebnis, und die Mittelwert-Seite nimmt dieselbe Liste entgegen.

1. 1.234 + 567 + 89

   1. Einerstelle: 4 + 7 + 9 = 20, also 0 hinschreiben und 2 übertragen
   2. Zehnerstelle: 3 + 6 + 8 + 2 = 19, also 9 hinschreiben und 1 übertragen
   3. Hunderterstelle: 2 + 5 + 0 + 1 = 8, also 8 hinschreiben und 0 übertragen
   4. Tausenderstelle: 1 + 0 + 0 + 0 = 1, also 1 hinschreiben und 0 übertragen
   5. Von der höchsten Stelle nach unten gelesen lauten die hingeschriebenen Ziffern 1, 8, 9, 0
   6. Die Summe ist 1.890, und die Übertragskette, die das Panel ausgibt, lautet 2, 1, 0, 0

   Der Standardfall: drei Summanden mit vier, drei und zwei Stellen, die beiden kürzeren tragen auf den hohen Stellen also je eine 0 bei. Die Übertragskette hat vier Einträge, die Summe hat vier Stellen — diese Seite ist um diesen Zusammenhang herum gebaut, und er hält bei jeder Eingabe, auch wenn gar nichts übertragen wird.

2. 9 + 9: eine Spalte kommt dazu

   1. Einerstelle: 9 + 9 = 18, also 8 hinschreiben und 1 übertragen
   2. Weiter links gibt es keine Spalte mehr, deshalb eröffnet dieser Übertrag eine neue: 1 hinschreiben und 0 übertragen
   3. Die hingeschriebenen Ziffern sind 1 und 8
   4. Die Summe ist 18, und die Übertragskette lautet 1, 0

   Zwei einstellige Zahlen mit zweistelliger Summe. Die Kette führt einen Eintrag auch für die Spalte, die der Summand gar nicht hatte — deshalb kann sie ein Glied länger sein als die breiteste Zahl. 1, 0 als Rücknahme aus dem Ergebnis zu lesen wäre falsch: Die Kette läuft von der Einerstelle nach oben, der erste Eintrag ist also der Übertrag an der Einerstelle.

3. Eine Summe ganz ohne Übertrag

   1. Einerstelle: 0 + 0 + 0 = 0, also 0 hinschreiben und 0 übertragen
   2. Zehnerstelle: 0 + 0 + 0 = 0, also 0 hinschreiben und 0 übertragen
   3. Hunderterstelle: 1 + 2 + 3 = 6, also 6 hinschreiben und 0 übertragen
   4. Die Summe ist 600, und die Übertragskette lautet 0, 0, 0

   Hier wird kein einziges Mal übertragen, und die Nullen stehen trotzdem da. Eine Kette, die beim ersten von null verschiedenen Wert abbricht, ließe sich nicht Spalte für Spalte lesen — und genau das ist an diesem Fall zu sehen: Eintrag und Stelle gehören zusammen. Die drei Summanden sind hier durch Leerzeichen getrennt und nicht durch ein Semikolon; beides wird angenommen, und das Leerzeichen weicht dem Komma aus, das im Deutschen als Dezimaltrennzeichen gelesen wird.

Angenommen werden nur ganze Zahlen. Dezimalzahlen ließen sich ebenfalls spaltenweise addieren, aber erst nach dem Ausrichten am Komma und dem Auffüllen mit Nullen, und das ändert die Bedeutung einer Spalte — deshalb werden sie abgewiesen, statt stillschweigend als ganze Zahlen behandelt zu werden. Negative Summanden sind aus demselben Grund nicht zugelassen: Ein Vorzeichen ist keine Ziffer und bräuchte eine eigene Spalte und eine eigene Regel. Es werden zwei bis zehn Summanden angenommen, und jeder darf höchstens eine Billion groß sein, weil die Ziffern Stelle für Stelle gelesen werden und die hingeschriebenen Ziffern darüber hinaus nicht mehr zur Summe passen. Die Summe selbst ist zusätzlich auf die größte exakt darstellbare ganze Zahl begrenzt; darüber rechnet die Gleitkommadarstellung nicht mehr genau, und die Kette ginge nicht mehr auf.

Was ist die schriftliche Addition?

Eine Addition, bei der man die Ziffern nach Stellen untereinanderschreibt und von der Einerstelle nach links arbeitet; ist eine Spalte zu klein, wird ein Zehner in die nächste Spalte übertragen. Das Ergebnis ist dasselbe wie beim Kopfrechnen, nur bleiben die Zwischenschritte erhalten.

Warum wird überhaupt übertragen?

Weil in eine Spalte nur eine Ziffer passt. Ergibt 4 + 7 + 9 den Wert 20, wird die 0 hingeschrieben und die 2 als Übertrag in die nächste Spalte mitgenommen, wo sie als zwanzig zählt. Jede Spalte kann höchstens 9 weiterreichen, weil höchstens neun Summanden zu einem Zehner beitragen können.

Wie viele Summanden sind erlaubt?

Zwischen zwei und zehn. Mit einem einzigen Summanden gäbe es keine Spalte zu rechnen, und ab elf ist es nicht mehr das Aufschreiben einer Spalte unter der anderen, sondern eine Summe über eine lange Liste.

Warum endet die Übertragskette nicht mit der letzten Stelle der Summanden?

Weil die höchste Spalte noch einen Übertrag hinausschicken kann. Bei 9 + 9 entsteht so eine neue Stelle links, und die Kette bekommt einen Eintrag mehr, als der breiteste Summand Stellen hat. Die Kette wird deshalb an der Summe gemessen, nicht an den Summanden.

Wie prüfe ich das Ergebnis?

Am billigsten mit der Gegenrechnung: Ziehen Sie einen Summanden nach dem anderen von der Summe ab, und es muss der jeweils nächste Summand herauskommen. 1.234 + 567 + 89 = 1.890, und 1.890 − 89 − 567 = 1.234. Das ist genau die Subtraktion, die die Nachbarseite Spalte für Spalte vorführt.

Warum sind negative Zahlen und Dezimalzahlen nicht erlaubt?

Weil beide eine andere Schreibweise verlangen. Ein Vorzeichen ist keine Ziffer und hätte im Spaltenbild keinen Platz, und eine Dezimalzahl muss erst am Komma ausgerichtet und mit Nullen aufgefüllt werden, wodurch die Spalten etwas anderes bedeuten. Was nicht in das Verfahren passt, wird abgewiesen statt stillschweigend umgedeutet.

• Base — why a digit's value depends on the column it sits in, which is what the carry moves between — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — why adding a negative number is subtraction, and therefore a rule of its own rather than a column on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Schriftliche Addition — das Spaltenverfahren mit Übertrag, wie es in der Schule gelehrt wird, samt Rechenbeispielen — Mathebibel (Deutschland)