Subtraktions-Rechner

Spalte k: roh = Ziffer_k(Minuend) − Entlehnung hinein − Ziffer_k(Subtrahend) Entlehnung hinaus = 1, wenn roh < 0, sonst 0 hingeschriebene Ziffer = roh + 10 × Entlehnung hinaus

minuend

Der Minuend: die Zahl, von der abgezogen wird, eine ganze Zahl von höchstens einer Billion. Sie steht in der oberen Zeile der Rechnung, und jede Spalte wird an ihren Ziffern gemessen — auch die Spalten, in denen sie keine Ziffer mehr hat, die als Null zählen.

subtrahend

Der Subtrahend: die Zahl, die abgezogen wird, darunter geschrieben und an der Einerstelle ausgerichtet. Sie darf die größere der beiden sein; dann wird die Rechnung andersherum geführt und die Differenz bekommt ein Minuszeichen.

column k

Die k-te Stelle von rechts, wobei die Einerstelle als null zählt. Eine Spalte lässt sich erst festlegen, wenn die rechts von ihr feststeht, weil die Entlehnung nach links wandert — deshalb entscheidet die Einerstelle über alles, was darüber liegt.

borrow

Die 1, die aus der nächsten Spalte links genommen wird, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere. In der Spalte, die sie aufnimmt, ist sie zehn wert, aus 4 − 7 wird also 14 − 7, und die Spalte, aus der sie stammt, verliert eins.

difference

Die Differenz, also die Antwort, und zugleich die Zahl, an der die Entlehnungskette gemessen wird: Die Kette hat einen Eintrag je Spalte der größeren Zahl, ihr letzter Eintrag ist deshalb immer 0. Führende Nullen werden nie geschrieben, 099 ist also die Antwort 99.

Nehmen Sie diese Seite, um eine ganze Zahl von einer anderen abzuziehen, wenn der Weg gezeigt und nicht nur das Ergebnis genannt werden soll: das Entlehnen an der Stelle zu vermitteln, an der eine Spalte die Ziffer darunter nicht tragen kann, oder eine von Hand gerechnete Differenz zu prüfen. Die Kontrolle, die dazugehört, ist die Addition — zählen Sie die Differenz zum Subtrahend zurück, und der Minuend muss wieder herauskommen.

1. 1.234 − 567

   1. Einerstelle: 4 − 7 geht nicht, also 1 von der Zehnerstelle entlehnen und als 14 − 7 = 7 lesen
   2. Zehnerstelle: Die 3 hat durch diese Entlehnung schon eins verloren, 2 − 6 geht deshalb ebenfalls nicht — erneut entlehnen und 12 − 6 = 6 lesen
   3. Hunderterstelle: Die 2 hat ebenso eins verloren, 1 − 5 geht nicht — entlehnen und 11 − 5 = 6 lesen
   4. Tausenderstelle: Die 1 hat eins verloren, es bleibt 0 − 0 = 0
   5. Die hingeschriebenen Ziffern lauten, von der höchsten Stelle nach unten, 0, 6, 6, 7
   6. Die Differenz ist 667, und die Entlehnungskette lautet 1, 1, 1, 0

   Der Standardfall und der Fall, der zeigt, warum der Weg aufgeschrieben wird: Jede Spalte, die entlehnt, lässt die Spalte darüber um eins kleiner zurück, die Entlehnung kommt also an, bevor deren eigene Ziffern gelesen werden. Der letzte Eintrag ist 0, weil die oberste Spalte nichts mehr über sich hat, wo sie entlehnen könnte — diese Null ist das Ende der Entlehnungskette, kein fehlender Schritt.

2. 1.000 − 1, entlehnt über die Nullen hinweg

   1. Einerstelle: 0 − 1 geht nicht, also bei der Zehnerstelle entlehnen
   2. Die Zehnerstelle trägt eine 0 und kann nichts hergeben, sie entlehnt deshalb zuerst bei der Hunderterstelle
   3. Die Hunderterstelle trägt ebenfalls eine 0, sie entlehnt bei der Tausenderstelle, wodurch aus 1.000 eine 990 mit zehn Hundertern wird
   4. Gibt sie davon einen Zehner an die Zehnerstelle weiter, bleiben dort 9 stehen und an der Einerstelle zehn
   5. Einerstelle: 10 − 1 = 9. Zehnerstelle: 9 − 0 = 9. Hunderterstelle: 9 − 0 = 9
   6. Die Differenz ist 999, und die Entlehnungskette lautet 1, 1, 1, 0

   Die Kette hat dieselben vier Einträge wie im Standardfall, und genau das ist der Punkt: Die Entlehnung wandert über die ganze Breite der Zahl, und die Antwort ist das Neunerkomplement. Eine Null in der Mitte ist keine Stelle, die etwas hergeben kann — sie muss zuerst links entlehnen, und auf dem Papier ist das die durchgestrichene Kette, die über der Aufgabe steht.

3. 3 − 5, wo die Antwort negativ wird

   1. Die obere Zahl ist kleiner als die untere, also wird die Subtraktion andersherum gerechnet: 5 − 3
   2. Einerstelle: 5 − 3 = 2, nichts zu entlehnen
   3. Die hingeschriebenen Ziffern sind nur die 2
   4. Weil die beiden Zahlen getauscht wurden, trägt die Antwort ein Minuszeichen
   5. Die Differenz ist −2, und die Entlehnungskette lautet 0

   Gerechnet wird immer die größere minus der kleineren Zahl, die Spalte mit den Ziffern in der Tabelle unten zeigt deshalb nie eine negative Zeile — das Minuszeichen lebt an der Antwort und sonst nirgends. Das ist auch der Grund, warum die Entlehnungskette überhaupt lesbar ist: Sie hat einen Eintrag je Spalte der größeren Zahl, und das wäre keine feste Länge, wenn die Spalten auch andersherum laufen könnten.

Angenommen werden nur ganze Zahlen. Dezimalzahlen ließen sich ebenfalls spaltenweise subtrahieren, aber erst nach dem Ausrichten am Komma und dem Auffüllen mit Nullen, und das ändert die Bedeutung einer Spalte — deshalb werden sie abgewiesen, statt stillschweigend als ganze Zahlen behandelt zu werden. Negative Eingaben sind aus demselben Grund nicht zugelassen: Ein Vorzeichen ist keine Ziffer und bräuchte eine eigene Spalte und eine eigene Regel. Es werden genau zwei Zahlen angenommen; eine Kette von Subtraktionen sind mehrere solcher Rechnungen nacheinander. Jede Zahl ist auf eine Billion begrenzt, weil die Ziffern Stelle für Stelle gelesen werden und die hingeschriebenen Ziffern darüber hinaus nicht mehr zur Differenz passen. Ist die zweite Zahl die größere, wird die Antwort negativ, die im Weg gezeigten Ziffern sind aber die der größeren minus der kleineren — die Tabelle wird also nicht an den Zahlen abgelesen, so wie sie eingetippt wurden.

Was ist die schriftliche Subtraktion?

Subtrahieren in der Schreibweise untereinander: Die Ziffern werden nach Stellen ausgerichtet, von der Einerstelle nach links abgearbeitet, und ist die obere Ziffer zu klein, wird ein Zehner aus der nächsten Spalte entlehnt. Es kommt dieselbe Differenz heraus wie beim Taschenrechner, nur bleiben die Zwischenschritte erhalten.

Was bedeutet Entlehnung?

Man nimmt eins aus der Spalte links und gibt es hier als zehn aus. 4 − 7 geht nicht, also wird ein Zehner herübergeholt und die Spalte liest sich als 14 − 7 = 7. Die Spalte, aus der er stammt, ist danach um eins kleiner — deshalb betrifft jede Entlehnung zwei Spalten und nicht eine.

Wie viele Zahlen nimmt die Seite an?

Genau zwei, einen Minuend und einen Subtrahend. Eine Kette wie 100 − 20 − 5 sind zwei Subtraktionen hintereinander, und die gehören einzeln gerechnet; eine Liste von Zahlen abzuziehen ist ein anderes Verfahren als das Aufschreiben zweier Zahlen untereinander.

Warum endet die Entlehnungskette mit einer Null?

Weil die oberste Spalte nie entlehnt. Entlehnt wird nur, wenn eine Spalte die Ziffer darunter nicht tragen kann, und die höchste Spalte der größeren Zahl ist immer größer als die kleinere Zahl insgesamt, dort endet die Kette also. Die abschließende Null ist dieses Ende, und die Kette ist damit ein Glied länger als die Entlehnungen, die man tatsächlich sieht.

Wie prüfe ich die Antwort?

Indem Sie die Differenz zum Subtrahend addieren und sehen, ob der Minuend herauskommt. 1.234 − 567 = 667, und 667 + 567 = 1.234. Diese Kontrolle ist exakt und kostet eine schriftliche Addition — deshalb werden Subtraktion und Addition als ein Verfahren mit vertauschten Vorzeichen gelehrt.

Kann ich eine größere Zahl von einer kleineren abziehen?

Ja, und die Antwort kommt negativ zurück. Gerechnet wird trotzdem die größere minus der kleineren, weil ein Spaltenverfahren irgendwo die größeren Ziffern oben braucht; nur das Vorzeichen der Differenz ändert sich. 3 − 5 wird als 5 − 3 = 2 gerechnet und als −2 gemeldet.

• Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
• Schriftliche Subtraktion — das Spaltenverfahren mit Entlehnen, wie es in der Schule gelehrt wird, samt Proberechnung — Mathebibel (Deutschland)