Bruch-in-Prozent-Rechner
Ergebnis
Als Prozentsatz (%)
- Bruch in gekürzter Form
- 3/8
- Periodenlänge (0 = endlich)
- 0
Ein Bruchrechner für Prozentwerte tut zwei Dinge auf einmal, und das zweite übersieht man leicht: Er verwandelt den Bruch in eine Prozentangabe, und er sagt Ihnen, ob die gedruckte Prozentzahl der genaue Wert ist oder ein gerundeter. Die Umrechnung selbst ist die Division, für die der Bruch ohnehin steht, gefolgt von einer Multiplikation. Drei Achtel heißt drei geteilt durch acht, das ist 0,375, und mit hundert multipliziert ergibt das 37,5 Prozent. Die Anzeige erledigt außerdem den Schritt, den man sonst auf dem Papier machen würde: Sie kürzt den Bruch auf seine kleinste Form und druckt ihn neben das Ergebnis, ein als 2/4 eingegebener Bruch kommt also als 1/2 zurück — dieselbe Zahl, so geschrieben, wie man sie von Hand schreiben würde, und zugleich die Form, aus der die beiden anderen Lesarten berechnet werden. Die dritte Lesart ist die Stelle, an der sich diese Seite von einer schlichten Division trennt. Sie zählt die periodischen Stellen der Dezimalentwicklung des Bruchs, und eine Null dort heißt, dass die Dezimalzahl abbricht. Das ist nicht dieselbe Aussage wie die, dass der Prozentwert exakt ist, und die Lücke zwischen den beiden gehört deutlich ausgesprochen, weil sie das ist, was am ehesten falsch gelesen wird. Ein Prozentwert ist der Bruch mal hundert, er passt also nur dann in vier Nachkommastellen, wenn der gekürzte Nenner eine Million teilt — das heißt, wenn er aus höchstens sechs Zweien und sechs Fünfen gebaut ist. Ein Hundertachtundzwanzigstel ist der Fall, der die Naht zeigt. Sein Nenner ist zwei hoch sieben, seine Dezimalzahl ist also 0,0078125 und bricht ab, während sein Prozentwert 0,78125 ist und eine fünfte Stelle bräuchte, die Anzeige druckt also 0,7813. Die periodischen Stellen sind null und der gedruckte Prozentwert ist trotzdem gerundet, beides zugleich, und keines von beiden ist ein Fehler. Wenn das geschieht, ist der genaue Prozentwert von Hand weiterhin zu haben: Lesen Sie den Bruch als die Dezimalzahl, für die er steht, und schieben Sie das Komma zwei Stellen nach rechts, oder teilen Sie den Nenner in den Zähler, nachdem Sie mit hundert multipliziert haben. Drei weitere Dinge lohnt es sich zu wissen, bevor Sie die Anzeige lesen. Negative Brüche werden angenommen, und das Vorzeichen sitzt am Zähler, minus drei Achtel sind also minus 37,5 Prozent; die periodischen Stellen werden am Betrag des Nenners gezählt, das Vorzeichen ändert sie also nie. Werte über hundert Prozent werden ebenfalls angenommen und heißen schlicht, dass der Bruch über eins liegt, was immer dann vorkommt, wenn der Zähler größer ist als der Nenner. Und der Nenner ist auf hunderttausend begrenzt, nicht aus einem mathematischen Grund, sondern weil die periodischen Stellen gefunden werden, indem man die Reste einen nach dem anderen durchgeht, und ein Nenner nahe einer siebenstelligen Primzahl ginge eine Milliarde Schritte. Wer einen Bruch in Prozent umrechnen möchte, hat damit alles, was diese Seite tut: eine Division und eine Multiplikation, dazu die Angabe, ob das Ergebnis exakt ist.
Eins geteilt durch zwei bis zwölf
| Nenner | Prozent | Periodische Stellen |
|---|---|---|
| 2 | 50 | 0 |
| 3 | 33.3333 | 1 |
| 4 | 25 | 0 |
| 5 | 20 | 0 |
| 6 | 16.6667 | 1 |
| 7 | 14.2857 | 6 |
| 8 | 12.5 | 0 |
| 9 | 11.1111 | 1 |
| 10 | 10 | 0 |
| 11 | 9.0909 | 2 |
| 12 | 8.3333 | 1 |
Jede Zeile ist eins geteilt durch den Nenner der ersten Spalte, der Zähler ist also durchweg eins, und die Zeile zeigt, was der Nenner allein mit der Antwort macht. Die Zeilen laufen in der Reihenfolge der Nenner und nicht der Größe, weil das, was die Seite lehrt, eine Eigenschaft des Nenners ist: Eine abbrechende Dezimalzahl braucht einen Nenner, der nur aus Zweien und Fünfen gebaut ist, und die Zeilen, in denen die periodischen Stellen null lesen, sind genau die Nenner, die es sind. Nur eine dieser Zeilen braucht eine Nachkommastelle in ihrem Prozentwert: Ein Achtel ist 12,5 Prozent, während ein Halb, ein Viertel, ein Fünftel und ein Zehntel als ganze Zahlen herauskommen. Liest man die mittlere Spalte von oben nach unten, sind die periodischen Zeilen die, die über vier Stellen hinausgehen, weshalb ihre gedruckten Prozentwerte gerundet sind und die anderen nicht. Der Nenner, der die Naht zwischen den beiden Antworten zeigt, steht nicht hier, weil er hundertachtundzwanzig ist und diese Tabelle bei zwölf endet. Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (33.3333 statt 33,3333), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).
Formel
Prozent = Zähler ÷ Nenner × 100
- Zähler
- Die obere Zahl, und diejenige, die das Vorzeichen trägt. Er darf größer sein als der Nenner, was einen Prozentwert über hundert ergibt, und er darf null sein, was null ergibt.
- Nenner
- Die untere Zahl, eine positive ganze Zahl bis hunderttausend. Er darf nicht null sein und darf keine Dezimalzahl sein: Ein Bruch aus Dezimalzahlen ist ein anderes Problem, das man löst, indem man ihn zuerst als Bruch aus ganzen Zahlen schreibt.
- Prozent
- Der Bruch mal hundert, auf vier Nachkommastellen gedruckt. Ob diese vier Stellen den genauen Wert tragen, hängt vom Nenner ab, und die periodischen Stellen weiter unten sind die erste Hälfte dieser Antwort und nicht die ganze.
- Gekürzt
- Derselbe Bruch, nachdem die gemeinsamen Faktoren gekürzt wurden, und das ist die Form, aus der die beiden anderen Lesarten stammen. Die periodischen Stellen einer Dezimalzahl ändern sich nicht, wenn man einen Bruch kürzt, ob der Prozentwert exakt ist, hängt aber von dieser Form ab.
- Periodische Stellen
- Wie viele Stellen der Dezimalzahl sich endlos wiederholen, wobei null heißt, dass die Dezimalzahl abbricht. Es ist eine Anzahl von Stellen und nicht die Stellen selbst: Ein Sechstel wiederholt eine einzige Stelle und liest sich als eins, während ein Elftel zwei wiederholt und sich als zwei liest.
Drei Verwendungen sind zu trennen. Die erste ist ein Ergebnis oder ein Anteil, der als Bruch ankommt und mit etwas verglichen werden muss, das als Prozentwert gegeben ist: siebenundzwanzig von vierzig sind 67,5 Prozent, und zu wissen, dass die gedruckte Zahl exakt ist, zählt, wenn sie in einen Bericht geht. Die zweite ist ein Bruch, der zugleich gekürzt werden soll, und dafür ist die zweite Lesart da. Die dritte ist ein Bruch, dessen Prozentwert nicht exakt ist, wo die Frage lautet, wie weit die gedruckte Zahl danebenliegt: Ein Drittel druckt als 33,3333 Prozent, und das ist ein Drittel eines Tausendstels eines Prozents zu wenig, was man wissen sollte, bevor man es auf zwei Nachkommastellen zitiert.
Rechenbeispiele
Drei Achtel als Prozentwert
- Teilen: 3 ÷ 8 = 0,375
- Mit hundert multiplizieren: 0,375 × 100 = 37,5
- Die Dezimalzahl prüfen: 8 ist zwei hoch drei, sie bricht also ab, und die periodischen Stellen lesen sich als 0
Der Standardfall, und einer, in dem alle drei Lesarten übereinstimmen: Der Bruch ist bereits gekürzt, die Dezimalzahl bricht ab, und der Prozentwert passt in zwei seiner vier Stellen.
Ein Drittel, wo der Prozentwert nicht exakt sein kann
- Teilen: 1 ÷ 3 = 0,333333…
- Mit hundert multiplizieren: 33,33333… Prozent
- Auf vier Stellen runden: 33,3333, und die periodischen Stellen lesen sich als 1
Die periodischen Stellen sagen, dass sich eine Stelle wiederholt, und das ist der ganze Grund dafür, dass der gedruckte Prozentwert unter dem wahren Wert liegt: 33,3333 ist ein Drittel eines Tausendstels eines Prozents weniger als ein Drittel von hundert.
Zwei Viertel, die die Anzeige kürzt
- Zuerst kürzen: 2/4 = 1/2
- Teilen: 1 ÷ 2 = 0,5
- Mit hundert multiplizieren: 50 Prozent, und die periodischen Stellen lesen sich als 0
Der Bruch auf der Anzeige ist nicht der Bruch, der hineingegangen ist. Zwei Viertel und ein Halb sind dieselbe Zahl, und die Lesarten werden aus der gekürzten Form berechnet, und gegen die muss man die Nennerregel lesen.
Ein Hundertachtundzwanzigstel, wo die beiden Antworten auseinandergehen
- Teilen: 1 ÷ 128 = 0,0078125, das bricht ab, die periodischen Stellen lesen sich also als 0
- Mit hundert multiplizieren: 0,78125 Prozent
- Das sind fünf Nachkommastellen und die Anzeige hält vier, sie druckt also 0,7813
Das ist der Fall, vor dem diese Seite warnen soll. Eine Null bei den periodischen Stellen heißt, dass die Dezimalzahl abbricht, und nicht, dass der gedruckte Prozentwert exakt ist. Hier ist er gerundet, um genau die Hälfte der letzten gezeigten Stelle.
Einschränkungen
Der Prozentwert wird auf vier Nachkommastellen gedruckt, ein Bruch, dessen Prozentwert mehr Stellen braucht, wird also gerundet statt abgelehnt, und die Anzeige setzt kein Kennzeichen dafür. Die periodischen Stellen beantworten eine andere Frage: null heißt, dass die Dezimalzahl abbricht, und ein Nenner mit mehr als sechs Zweien oder mehr als sechs Fünfen kann abbrechen und als Prozentwert trotzdem mehr als vier Stellen brauchen. Ein Hundertachtundzwanzigstel ist das kleinste Beispiel, und ein Zweihundertsechsundfünfzigstel, ein Fünfhundertzwölftel und ein Sechshundertfünfundzwanzigstel verhalten sich genauso. Der Nenner ist auf hunderttausend begrenzt, und das ist eine Grenze dafür, wie lange die Suche nach den periodischen Stellen dauern darf, und keine Grenze dafür, was ein Bruch bedeutet; ein Bruch mit größerem Nenner wird abgelehnt statt langsam beantwortet. Der Bruch muss aus ganzen Zahlen bestehen, ein mit Dezimalzahlen geschriebener Bruch muss also zu einem mit ganzen Zahlen gemacht werden, bevor er hier ankommt. Und die Seite fügt die beiden Lesarten nicht zu einem Urteil zusammen: Sie druckt einen gerundeten Prozentwert, ohne Ihnen die Größe der Rundung zu nennen, die bei einem Drittel ein Drittel eines Tausendstels eines Prozents beträgt und bei einem Hundertachtundzwanzigstel die Hälfte der letzten gezeigten Stelle.
Häufige Fragen
- Wie rechne ich einen Bruch in einen Prozentwert um?
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und multiplizieren Sie mit hundert. Drei Achtel sind drei geteilt durch acht, das ist 0,375, und das sind 37,5 Prozent. Mit hundert zu multiplizieren ist dasselbe wie das Komma um zwei Stellen nach rechts zu schieben.
- Warum zeigt die Anzeige den Bruch gekürzt?
- Weil die beiden anderen Lesarten aus dieser Form berechnet werden und weil die Regel, ob eine Dezimalzahl periodisch ist, eine Aussage über den gekürzten Nenner ist und nicht über den eingetippten. Zwei Viertel kommen als ein Halb zurück, und vier Achtel ebenso; wer den Bruch kürzen möchte, findet das Ergebnis hier bereits vor.
- Was bedeutet die Zahl bei den periodischen Stellen?
- Sie gibt an, wie viele Stellen der Dezimalzahl des Bruchs sich endlos wiederholen, und null heißt, dass die Dezimalzahl aufhört. Eine periodische Dezimalzahl hat dort eine Zahl größer als null, eine abbrechende liest sich als null. Ein Halb liest sich als null, ein Drittel als eins, weil sich eine einzelne Stelle wiederholt, und ein Elftel als zwei, weil sich ein Paar wiederholt. Es ist eine Anzahl von Stellen und nicht die Stellen selbst.
- Kann der Prozentwert gerundet sein, obwohl die periodischen Stellen null sind?
- Ja, und das ist der Fall, den man kennen sollte. Eine Null heißt, dass die Dezimalzahl abbricht. Der Prozentwert ist die Dezimalzahl mal hundert, er braucht also zwei Stellen mehr als die Dezimalzahl, und ein Bruch wie ein Hundertachtundzwanzigstel bricht bei sieben Stellen ab und druckt als 0,7813 Prozent, weil nur vier gezeigt werden. Der genaue Wert ist 0,78125, also die halbe letzte Stelle aufgerundet.
- Warum wird der Prozentwert auf vier Nachkommastellen gezeigt?
- Damit Prozentwerte aus verschiedenen Rechnern dieser Seite unmittelbar verglichen werden können. Dieselben vier Stellen benutzt der Rechner für Dezimalzahl in Prozent und der Rechner für Basispunkte, eine von einer Seite abgeschriebene Zahl lässt sich also gegen eine andere prüfen, ohne erst zu fragen, wie viele Stellen jede für sich behält.
- Kann die Antwort über hundert Prozent liegen?
- Ja, immer wenn der Zähler größer ist als der Nenner. Sieben Eintel sind siebenhundert Prozent, und fünf Viertel sind hundertfünfundzwanzig Prozent. Nichts hier behandelt einen Bruch über eins als Fehler.
- Was ist, wenn der Bruch negativ ist?
- Das Vorzeichen sitzt am Zähler, minus drei Achtel sind also minus 37,5 Prozent und der Bruch wird als -3/8 gedruckt. Die periodischen Stellen werden aus dem Betrag des Nenners ermittelt, das Vorzeichen ändert sie also nie.
Quellen
- Reduced Fraction — a fraction written with the common factors of numerator and denominator cancelled, which is the form the denominator rule has to be applied to — Wolfram MathWorld (United States)
- Repeating Decimal — a decimal expansion in which a digit or block of digits repeats forever, together with the rule that a terminating decimal is one whose reduced denominator has no prime factor other than 2 or 5 — Wolfram MathWorld (United States)
- Percent — a ratio or fraction is converted to a percentage by multiplying by a hundred and appending the percentage sign, which is the second of the two steps this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
- Bruch in Prozent — die Umrechnung eines Bruchs in einen Prozentwert über die Division und die Multiplikation mit hundert, samt der Frage, wann das Ergebnis exakt ist — Mathebibel (Deutschland)