Fehlerfunktion-Rechner

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x

Der gemessene Wert, eine reine Zahl ohne Einheit. Er darf negativ sein; dann ist die Fehlerfunktion ungerade und liefert den negativen Wert der positiven Antwort: erf(−1) ist −0,842701. Der praktische Bereich reicht von −6 bis 6; außerhalb ist die Kurve so vollständig abgeflacht, dass eine Gleitkommazahl doppelter Genauigkeit den Wert nicht mehr von 1 unterscheiden kann.

e^(−t²)

Die Gauß-Kurve, also das, was hier integriert wird. Ihre Form ist der Grund, warum die Fehlerfunktion zählt: Die Fläche unter ihr zwischen zwei Werten ist eine Wahrscheinlichkeit, weshalb dasselbe Integral in jeder Frage zur Normalverteilung auftaucht und weshalb die natürliche Nachbarseite dieser Seite die Normalverteilung ist.

√π

Der Normierungsfaktor vor dem Integral, etwa 1,772454. Ohne ihn ergäbe die ganze Kurve integriert √π statt 1, und die Fehlerfunktion liefe nicht von −1 bis 1. Er ist hier eine Konstante und keine Variable, was erwähnenswert ist, weil er wie eine aussieht.

erf x

Die Fehlerfunktion selbst, auf sechs Nachkommastellen ausgegeben. Sie läuft von −1 bis 1, kreuzt den Nullpunkt im Ursprung und erreicht 0,842701 bei x = 1. Der Wert ist eine echte Fläche und keine Wahrscheinlichkeit: Um eine daraus zu machen, addiert man eins und halbiert, und genau so wird die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung daraus gebaut.

erfc x

Die komplementäre Fehlerfunktion, eins minus erf; sie beginnt bei großen negativen Eingaben nahe 1 und fällt nach oben hin gegen null. Sie wird in wissenschaftlicher Schreibweise ausgegeben, weil sie einen enormen Bereich überstreicht. Sie ist weniger eine zweite Messung als derselbe Wert von der anderen Seite gelesen: erfc ist die Fläche im Schweif, und der Schweif ist genau das, was man will, wenn x weit von null entfernt liegt.

Nehmen Sie diese Seite, wenn die gesuchte Antwort die Fehlerfunktion oder ihre komplementäre Form ist. Wollen Sie eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Größe unter einem bestimmten Wert liegt, dann nimmt die Seite zur Normalverteilung einen Mittelwert und eine Standardabweichung entgegen und gibt diese Wahrscheinlichkeit direkt zurück — dieselbe Zahl auf einem kürzeren Weg. Die Fehlerfunktion ist das Stammintegral darunter, und diese Seite ist der Ort, an dem sich das Stammintegral selbst ablesen lässt.

1. Der Wert, dem alle zuerst begegnen: x = 1

   1. Die Reihe wird an der Stelle x = 1 ausgewertet, was in einigen Dutzend Gliedern konvergiert
   2. erf(1) ergibt 0,842701
   3. Das Komplement ist eins minus das: 1 − 0,842701 = 0,157299
   4. Die beiden Werte addiert ergeben 1,000000, und das ist die Kontrolle, die sich bei jeder Zeile dieser Seite lohnt

   Dass die beiden Werte eins ergeben, ist kein Rundungszufall, sondern die Definition des Wortes komplementär. Als Fläche gelesen heißt das: Alles unter der Glockenkurve liegt entweder innerhalb einer Einheit um die Mitte oder außerhalb. Das ist zugleich die Zeile, die sich am direktesten in die bekannte Angabe von rund 68 Prozent innerhalb einer Standardabweichung übersetzt.

2. Zwei, wo der Schweif dünn wird

   1. erf(2) ist 0,995322, die Kurve hat ihren Anstieg also fast beendet
   2. Das Komplement ist 1 − 0,995322 = 0,0046777 und damit unter ein halbes Prozent gefallen
   3. In wissenschaftlicher Schreibweise lautet dieser Schweif 4,677735 × 10⁻³
   4. Die beiden Werte addieren sich weiterhin zu eins, das Komplement ist aber auf vier gültige Stellen zusammengeschrumpft

   Zu beachten ist die Genauigkeit des Komplements und nicht die der Fehlerfunktion. Wer von einer Zahl sehr nahe bei eins eins abzieht, verliert die führenden Stellen, und in dieser Zeile hat das Komplement die meisten davon bereits eingebüßt — deshalb gibt die Seite es in wissenschaftlicher Schreibweise mit eigener Behandlung der gültigen Stellen aus und nicht mit einer festen Zahl von Nachkommastellen.

3. Vier, wo das Komplement zur Neige geht

   1. Der wahre Wert von erf(4) ist eins minus etwa 1,54 × 10⁻⁸
   2. Als Gleitkommazahl ist das von 1 nicht zu unterscheiden, die Spalte der Fehlerfunktion druckt deshalb genau 1
   3. Das Komplement wird dann als 1 − erf berechnet und liefert 1,541726 × 10⁻⁸
   4. Die Subtraktion ist die Stelle, an der die Genauigkeit verloren geht: Es bleiben nur noch eine Handvoll guter Stellen übrig

   Das ist die ehrliche Grenze dieser Seite und der Grund, warum der Eingabebereich bei 6 endet. Das Komplement ist hier die Differenz zweier Zahlen, die auf acht Nachkommastellen übereinstimmen, also der kleine Rest einer Auslöschung; der wahre Wert ist 1,5417 × 10⁻⁸, und davon sind einige führende Stellen verlässlich. Bei x = 6 sind die beiden Gleitkommazahlen gleich, und die Subtraktion liefert exakt null, wo die Wahrheit bei etwa 2 × 10⁻¹⁷ liegt.

Die Eingabe ist auf 6 in beide Richtungen begrenzt. Das ist eine Grenze der Genauigkeit und nicht eine der Rechenzeit: Darüber liegt die Fehlerfunktion so nahe bei 1, dass eine Gleitkommazahl doppelter Genauigkeit den Unterschied nicht darstellen kann, die Seite würde also Rauschen ausgeben. Auch innerhalb des Bereichs gibt es eine Grenze, die man kennen sollte — das Komplement wird durch Subtraktion berechnet, und sobald x etwa 4,5 überschreitet, löscht diese Subtraktion die meisten gültigen Stellen aus, die erfc-Werte tragen dort also nur noch wenige verlässliche Ziffern. Das wird hier nicht behoben, und eine Behebung wäre eine zweite Implementierung des Komplements statt einer Korrektur dieser einen. Die Fehlerfunktion selbst ist über den Bereich auf ein bis zwei Einheiten der letzten Stelle genau. Ausgegeben werden nur die beiden Werte: Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist nicht darunter, weil sie dieselbe Information auf einem anderen Weg ist und die Seite zur Normalverteilung sie als Wahrscheinlichkeit ausgibt, mit einem Mittelwert und einer Standardabweichung zur Hand. Einheiten kommen auf dieser Seite nirgends vor, die Eingabe ist eine reine Zahl. Die Werte werden aus einer für diese Seite geschriebenen Reihe berechnet und nicht aus einer Bibliothek der Plattform, weil die Sprache keine mitbringt.

Wofür wird die Fehlerfunktion gebraucht?

Um zu messen, wie viel Fläche einer Gauß-Kurve zwischen der Mitte und einem gegebenen Punkt liegt — und in einer Standardnormalverteilung ist das dasselbe wie eine Wahrscheinlichkeit. Der Wert bei x = 1 ist 0,842701, und eins addiert und halbiert ergibt 0,921351, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine standardnormalverteilte Größe innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert liegt.

Was ist erfc, und wie hängt es mit erf zusammen?

Es ist die komplementäre Fehlerfunktion, definiert als eins minus der Fehlerfunktion, weshalb die beiden Werte dieser Seite immer genau 1 ergeben. Sie steht als eigene Funktion da und nicht als Anhängsel, weil sie die ist, die man bei großen Eingaben will: Bei x = 4 ist die Fehlerfunktion auf 1 abgeflacht, und nur das Komplement trägt noch Information.

Warum kann ich keinen Wert größer als sechs eingeben?

Weil jenseits von sechs nichts mehr zu messen ist. Der wahre Wert bei x = 6 ist 1 minus etwa 2 × 10⁻¹⁷, und eine Gleitkommazahl doppelter Genauigkeit kann das nicht von 1 unterscheiden; die Spalte der Fehlerfunktion würde 1 drucken und das Komplement exakt null. Die Grenze sagt etwas darüber aus, was darstellbar ist, und nichts darüber, wie aufwendig die Rechnung ist — die Reihe konvergiert dort in etwa zweihundert Gliedern.

Warum wird das Komplement bei großen Eingaben ungenau?

Weil es durch Subtraktion gewonnen wird. Ist die Fehlerfunktion 0,99999999999846256, dann bleiben beim Abziehen von eins nur wenige gültige Stellen übrig, und alles davor ist Auslöschungsrauschen. Der wahre Wert des Komplements bei x = 5 ist 1,5374598 × 10⁻¹², und diese Seite gibt 1,5364 × 10⁻¹² zurück. Die Fehlerfunktion selbst leidet darunter nicht, und deshalb ist sie der Hauptwert.

Bekomme ich hier stattdessen die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung?

Nicht direkt, und die Seite bietet es bewusst nicht an. Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entsteht zwar aus der Fehlerfunktion durch Addieren von eins und Halbieren, aber die Seite zur Normalverteilung nimmt zusätzlich einen Mittelwert und eine Standardabweichung entgegen und gibt die Wahrscheinlichkeit direkt aus — für diese Frage ist das die bessere Antwort als eine standardisierte Zahl.

• Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
• DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
• Fehlerfunktion — der Eintrag im deutschen Wörterbuch, der die Schreibweise und die Herkunft des Wortes belegt — DWDS (Deutschland)