Münzwurf-Generator

Kopf = Anzahl der H in der Wurffolge · Zahl = Würfe − Kopf · Längste Serie = längster Abschnitt gleicher Ergebnisse · Aufteilungswahrscheinlichkeit = C(n, Kopf) / 2ⁿ

Würfe

wie oft geworfen wird. Jeder Wurf entspricht in der Wurffolge einem H oder einem T, und jede andere Ausgabe wird über genau diese Anzahl ausgezählt

Zufallsstartwert

welche Folge von Ergebnissen aus dem Generator entnommen wird. Derselbe Zufallsstartwert liefert immer dieselbe Zahl an Köpfen und an Zahlen, ein Wurf lässt sich also vollständig wiederholen; an der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Seiten ändert er nichts

H

Kopf, eine der beiden gleichberechtigten Seiten. Die Wurffolge druckt H und T statt deutscher Wörter, weil das eine mathematische Schreibweise ist: Derselbe Zufallsstartwert muss auf der deutschen und der englischen Seite Zeichen für Zeichen dieselbe Folge ergeben, und mit ausgeschriebenen Wörtern wäre das nicht mehr möglich

T

Zahl, die andere Seite. Eine faire Münze erinnert sich nicht an den vorigen Wurf, eine Serie gleicher Ergebnisse in dieser Wurffolge ist also ein Zufall und kein Zeichen dafür, dass die Münze in eine Richtung zieht

Aufteilungswahrscheinlichkeit

die Wahrscheinlichkeit, mit der eine faire Münze bei so vielen Würfen genau so viele Köpfe zeigt – gefragt ist also, wie wahrscheinlich diese Aufteilung ist, und das ist etwas anderes als der in diesem Durchgang tatsächlich gemessene Anteil

Sinnvoll ist die Seite, wenn gerade keine Münze zur Hand ist, man aber sehen möchte, wie eine Reihe von Würfen aussieht – oder wenn bereits eine Reihe von Kopf und Zahl vorliegt und ausgezählt statt geschätzt werden soll. Die längste Serie ist der einzige Wert auf dieser Seite, der zwingend berechnet werden muss, und zugleich der am häufigsten fehlgedeutete: Eine Serie von sieben gleichen Seiten unter zweihundert Würfen ist alltäglich und kein Beleg für eine ungefähre, sondern für eine faire Münze. Die Aufteilungswahrscheinlichkeit beantwortet die danebenliegende Frage – nicht, welchen Anteil Kopf in diesem Durchgang hatte, sondern wie leicht eine faire Münze eine solche Aufteilung erzeugt. Diese Seite prüft nicht, ob eine Münze fair ist; ob eine Folge zufällig aussieht, ist eine Frage der Randomisierungstests.

1. Zehn Würfe: siebenmal Kopf, längste Serie drei

   1. Aus dem Generator werden zehn Ergebnisse entnommen: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. H werden gezählt: insgesamt 7, die Zahl ist also 10 − 7 = 3
   3. Der Anteil ist 7 / 10 = 70 %
   4. Die Wurffolge wird einmal durchlaufen und der längste Abschnitt gleicher Ergebnisse gesucht: Position 3 bis 5 ist HHH, die längste Serie beträgt also 3
   5. Die Wahrscheinlichkeit, bei zehn fairen Würfen genau 7-mal Kopf zu erhalten, ist C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11,72 %

   Die letzten beiden Zahlen gehören nebeneinander betrachtet, denn dieses Paar wird auf dieser Seite am häufigsten verlesen. 70 % ist der in diesem Durchgang gemessene Anteil; 11,72 % ist die Wahrscheinlichkeit, mit der eine faire Münze eine Aufteilung von sieben zu drei erzeugt. Die beiden widersprechen sich nicht, und die 70 % sind auch keine andere Schreibweise für die 11,72 % – die eine Zahl beschreibt diese eine Wurffolge, die andere die ganze Klasse der Ergebnisse mit sieben Köpfen unter zehn Würfen. Ein einzelner Durchgang kann zugleich einen Anteil von 70 % haben und etwas sein, das nur mit 11,72 % Wahrscheinlichkeit eintritt; das ist kein Widerspruch, sondern der Unterschied zwischen „diesmal“ und „dieser Art“.

2. Zehn Würfe, anderer Zufallsstartwert: fünf zu fünf

   1. Mit dem Zufallsstartwert 7 kommt eine andere Folge: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Fünfmal Kopf und fünfmal Zahl, der Anteil ist 50 %
   3. Die längste Serie ist wieder 3 – Position 6 bis 8 ist TTT, Position 3 bis 5 ist HHH
   4. Die Wahrscheinlichkeit einer Aufteilung von fünf zu fünf ist C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24,61 %

   Beide Male beträgt die längste Serie 3, und unter zehn Würfen ist das der Normalfall und keine Zufälligkeit, über die man nachdenken müsste. Bewegt hat sich die Aufteilungswahrscheinlichkeit: fünf zu fünf ist mehr als doppelt so wahrscheinlich wie sieben zu drei, weil sich fünf Köpfe auf zehn Plätzen auf weit mehr Arten verteilen lassen als sieben. Das ist auch der Grund, warum der Zufallsstartwert ein eigenes Feld ist und nicht im Inneren versteckt liegt – eine Seite, die bei jedem Aufruf stillschweigend eine andere Antwort gäbe, ließe sich nicht nachprüfen, und ein Ergebnis, über das man reden will, muss wiederholbar sein. Ein anderer Startwert tauscht nur die Folge aus, nicht die Wahrscheinlichkeit der Seiten.

3. Ein einziger Wurf: die untere Grenze

   1. Es wird ein Ergebnis entnommen: H
   2. Einmal Kopf und keinmal Zahl, der Anteil ist 1 / 1 = 100 %
   3. Der längste Abschnitt gleicher Ergebnisse ist dieser eine Wurf selbst, also 1
   4. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem fairen Wurf genau einmal Kopf zu erhalten, ist C(1,1) / 2¹ = 1/2, also 50 %

   Ein Wurf ist die kleinste Eingabe, die diese Seite annimmt, und er macht deutlich, warum „Anteil“ und „Wahrscheinlichkeit“ zwei getrennte Zeilen sein müssen. Ein Wurf landet zwangsläufig auf einer der beiden Seiten, der Anteil ist also 100 % – und diese Zahl sagt über die Münze nichts. Die Aufteilungswahrscheinlichkeit von 50 % ist die Zahl, die etwas sagt. Bei einem Wurf sehen die beiden Zeilen fast widersprüchlich aus, bei zweihundert rücken sie zusammen, und genau in diesem Abstand zwischen ihnen steckt bei kleiner Stichprobe die ganze Stichprobenziehung.

4. Zweihundert Würfe mit einer Serie von neun

   1. Aus dem Generator werden zweihundert Ergebnisse entnommen – die Zeile mit der Wurffolge druckt sie alle ab
   2. Kopf wird gezählt: 95, die Zahl ist also 200 − 95 = 105
   3. Der Anteil ist 95 / 200 = 47,5 %, also 2,5 Prozentpunkte von einer hälftigen Aufteilung entfernt
   4. Die längste Serie beträgt 9 – neunmal dieselbe Seite hintereinander
   5. Die Wahrscheinlichkeit, bei zweihundert fairen Würfen genau 95-mal Kopf zu erhalten, liegt bei etwa 4,39 %

   Der Wert, bei dem man innehalten sollte, ist die 9. Die meisten lesen neun gleiche Seiten hintereinander als Beleg für eine manipulierte Münze, und unter zweihundert fairen Würfen ist sie alles andere als selten – die längste Serie wächst mit der Zahl der Würfe, langsam, aber ohne Obergrenze. Ebenso wichtig ist, in welche Richtung die beiden anderen Zeilen ziehen: Der Anteil von 47,5 % liegt nahe an der Hälfte und wirkt völlig unauffällig, während die Aufteilungswahrscheinlichkeit nur 4,39 % beträgt, weil genau die 95 ein sehr schmales Ziel ist, auch wenn die Umgebung dieses Ziels groß ist.

Dies ist kein echter Münzwurf. Jedes Ergebnis wird aus einem Zufallsgenerator mit Startwert entnommen, diese Seite zeigt also eine Folge, die sich wie eine faire Münze verhält, und nicht die Aufzeichnung einer wirklichen Münze; dass derselbe Zufallsstartwert immer dieselbe Folge liefert, ist zugleich der Sinn dieses Feldes und seine Grenze. Drei weitere Einschränkungen sind ausdrücklich zu nennen. Erstens prüft die Seite nicht, ob eine Münze fair ist: Sie unterstellt, dass jeder Wurf mit der Wahrscheinlichkeit ein halb auf Kopf fällt, und berichtet, was daraus folgt – eine tatsächlich gezinkte Münze würde hier also ebenfalls als faire Münze beschrieben. Zweitens liegt die Obergrenze bei 200 Würfen; sie stammt aus dem gemeinsamen Zufallskern und wurde nicht für diese Seite gewählt, und die Folge wächst bei voller Ausnutzung auf mehrere Zeilen. Drittens liefert die Seite Ergebnisse, ohne sie zu bewerten: Eine längste Serie von 9 oder ein Kopfanteil von 70 % werden nur ausgegeben, und ob das als ungewöhnlich zu gelten hat, sagt die Seite nicht – dafür ist die danebenstehende Aufteilungswahrscheinlichkeit da.

Warum liefert derselbe Zufallsstartwert immer dieselbe Wurffolge?

Weil die Ergebnisse aus einem Zufallsgenerator mit Startwert stammen und nicht von einer echten Münze, und der Startwert bestimmt, welcher Abschnitt aus der Folge dieses Generators entnommen wird. Zweimal der Wert 1 ergibt dieselben zehn Seiten; mit 7 kommt eine gleich lange, aber andere Folge. Das ist Absicht: Eine Seite, die bei jedem Aufruf eine neue Antwort würfe, ließe sich nicht nachprüfen, ihr Ergebnis nicht zitieren, und die automatisierten Tests hinter dieser Seite hätten keinen vergleichbaren Gegenstand. Zugleich ist der Startwert damit die einzige Eingabe, die keine Menge ist – er wählt eine Wurffolge aus und gewichtet keine Seite, kein Startwert macht also Kopf wahrscheinlicher.

Worin unterscheiden sich Anteil Kopf und Aufteilungswahrscheinlichkeit?

Der Anteil beschreibt das, was gerade vor Ihnen liegt; die Aufteilungswahrscheinlichkeit beschreibt den Teil aller Würfe dieser Länge, der auf eine solche Aufteilung fällt. Zehn Würfe mit siebenmal Kopf ergeben einen Anteil von 70 %, während eine faire Münze bei zehn Würfen nur mit 11,72 % Wahrscheinlichkeit genau siebenmal Kopf zeigt. Beides sind keine zwei Formulierungen derselben Sache, und sie können in entgegengesetzte Richtungen laufen: Bei zweihundert Würfen kann der Anteil dicht an 50 % liegen und die Aufteilungswahrscheinlichkeit trotzdem unter 5 %, weil genau eine bestimmte Zahl zu treffen ein schmales Ziel ist, selbst wenn die Nachbarschaft dieses Ziels groß ist. Lesen Sie den Anteil als Ergebnis und die Aufteilungswahrscheinlichkeit als Antwort auf die Frage, wie selten dieses Ergebnis ist.

Ist eine Serie von neun gleichen Seiten ein Zeichen für eine manipulierte Münze?

Nein, unter zweihundert Würfen ist sie nicht einmal ungewöhnlich. Der längste Abschnitt gleicher Ergebnisse wächst mit der Zahl der Würfe – langsam, aber ohne Obergrenze –, lange Serien sind also genau das, was eine faire Münze früher oder später liefert. Was eine faire Münze nicht tut, ist sich erinnern: Nach achtmal Kopf ist der neunte Wurf weiterhin ein halb zu ein halb, und eben deshalb treten in so langen Folgen Serien dieser Länge auf. Eine Serie als Beleg für eine gezinkte Münze zu lesen heißt, die einzige Größe dieser Folge, die mit ihrer Länge wächst, für eine Konstante zu halten; die längste Serie steht als eigene Zeile da, damit diese Intuition überprüft und nicht geglaubt wird.

Warum sind höchstens 200 Würfe möglich?

Weil 200 die Obergrenze des gemeinsamen Zufallskerns ist – diese Seite, die Würfelseite und die Seite für Zufallszahlen benutzen denselben Kern, die Grenze ist also geerbt und nicht hier gewählt, und der gemeinsame Kern erkauft, dass ein Zufallsstartwert auf allen drei Seiten dasselbe bedeutet. Die Folge ist sichtbar: Bei vollen 200 Würfen läuft die Wurffolge über mehrere Zeilen, und das ist eine unmittelbare Folge der Obergrenze und kein Darstellungsfehler. Wer wirklich längere Folgen braucht, ist auf dieser Seite an der falschen Stelle – gebraucht wird dann ein Programm und keine Folge, die mit dem Auge ausgezählt werden muss.

Warum steht unter dem Rechner keine Referenztabelle?

Weil die Tabelle, die hier etwas wert wäre, Ihre eigene Wurffolge ist, und der Code, der die Referenztabelle erzeugt, nicht sehen kann, was Sie eingegeben haben: Er läuft schon beim Bau der Seite und kennt nur den Aufbau des Werkzeugs, nicht die Eingaben. Eine allgemeine Tabelle mit Aufteilungswahrscheinlichkeiten unter dem Ergebnisbereich würde aussehen, als beantworte sie Ihre Frage, während sie eine andere beantwortet. Deshalb druckt diese Seite die Wurffolge selbst in die letzte Zeile und überlässt die Referenztabelle den Werkzeugen, deren Thema wirklich eine feste Wertetabelle ist und nicht ein einzelner Wurf.

Wofür stehen H und T, und warum werden sie nicht ausgeschrieben?

H steht für Kopf und T für Zahl, jeweils in der Reihenfolge der Entnahme. Sie bleiben in jeder Sprache Buchstaben, weil diese Folge eine Schreibweise ist und keine Prosa: Dieselbe Wurffolge muss auf der deutschen und der englischen Seite Zeichen für Zeichen gleich lauten, was mit ausgeschriebenen Wörtern nicht ginge, und eine übersetzte Folge ließe sich auch nicht mehr neben den Zahlen daneben mitlesen. Der Nutzen dieser Zeile ist, dass sich die Anzahl, der Anteil und vor allem die längste Serie von Hand nachprüfen lassen – die längste Serie ist genau der Wert, der sich aus der Wurffolge auf keinem anderen Weg ablesen lässt.

• Zufallszahlenerzeugung in Browsern — Analyse der Zufallszahlenerzeugung in Browsern: die Studie, aus der hervorgeht, was ein seedbasierter Generator im Browser leistet und wo seine Grenzen liegen — Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik (BSI)
• Münze — Duden: die beiden Seiten der Münze heißen im Deutschen Kopf und Zahl, und diese Seite benutzt durchgehend die deutschen Bezeichnungen — Duden, Bibliographisches Institut
• SP 800-22 Rev. 1, A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications — the standard answer to whether a sequence of heads and tails looks random: that question is settled by tests, not by eye, and the longest run is one of the statistics such tests look at — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Coin Tossing — MathWorld: the ideal coin as a two-sided die with equal probabilities, and the H / T notation that the sequence row on this page uses — Wolfram MathWorld