Würfel-Generator

Möglichkeiten(Augensumme) = Koeffizient von x^Augensumme in der Entwicklung von (x + x² + … + x^Seiten)^Anzahl der Würfel → Wahrscheinlichkeit = Möglichkeiten(Augensumme) / Seiten^Anzahl der Würfel

Anzahl der Würfel

wie viele Würfel geworfen werden, höchstens 20. Ein einzelner Würfel ist gleichverteilt, jede Seite ist gleich wahrscheinlich; ab zwei Würfeln häufen sich die mittleren Summen, und genau deshalb lohnt es sich, die Wahrscheinlichkeit der Augensumme gesondert auszugeben

Seiten

wie viele Seiten jeder Würfel hat, von 2 bis 100. Der geläufige W6 steht hier ebenso wie der Zwanzigseiter und der Hundertseiter

Möglichkeiten(Augensumme)

auf wie viele Arten dieser Wurf diese Augensumme ergeben kann. Die Zahl der Möglichkeiten ist die ehrlichste Einheit beim Würfeln – die Summe 7 lässt sich mit zwei sechsseitigen Würfeln auf 6 Arten werfen, und diese 6 von 36 sind ihre Wahrscheinlichkeit

Zufallsstartwert

der Ausgangspunkt dieses Wurfs, eine beliebige ganze Zahl zwischen 0 und 4294967295. Derselbe Startwert ergibt mit derselben Würfelgruppe dieselben Augen, der Wurf lässt sich also wiederholen und nachprüfen

Augensumme

die Summe der Augen aller Würfel. Sie reicht von der Anzahl der Würfel (lauter Einsen) bis zur Anzahl der Würfel mal Seitenzahl (überall die höchste Seite), eine Würfelgruppe kann also Anzahl der Würfel × Seiten − Anzahl der Würfel + 1 verschiedene Summen ergeben

Geeignet ist der Generator, wenn die Summe im Mittelpunkt steht und die einzelnen Würfel nur Beiwerk sind: ob 3W6 einen Zielwert überschreiten können, wie die Augensummen von 2W6 vor einer Partie verteilt sind, oder wenn ein reproduzierbarer Wurf mit festem Zufallsstartwert gebraucht wird. Der feste Startwert ist die Hälfte, die über bloßen Zeitvertreib hinausgeht – ein Level zu erzeugen, eine Partie gemeinsam nachzuvollziehen und eine Regel zu prüfen brauchen alle einen Wurf, der sich wiederholen lässt, und der Startwert macht aus „diesem Wurf“ einen Wurf, den jeder wiederholen kann. Ein physikalisch fairer Würfel ist das nicht: Die Augen stammen aus einer deterministischen Folge, in jedem Zusammenhang, in dem Beteiligte die Augen nicht vorhersagen können dürfen, gehört der Generator deshalb nicht hin.

1. Zwei sechsseitige Würfel, Startwert 1: Augen 4 und 1, Summe 5

   1. Zwei sechsseitige Würfel ergeben insgesamt 6 × 6 = 36 gleich wahrscheinliche Augenpaare
   2. Der Startwert 1 legt diesen Wurf auf 4 und 1 fest, die Summe ist 4 + 1 = 5
   3. Die Summe 5 lässt sich auf vier Arten werfen: 1+4, 2+3, 3+2 und 4+1, das sind 4 von 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, die Wahrscheinlichkeit beträgt also 11,11 %

   Wurf und Wahrscheinlichkeit stehen hier bewusst nebeneinander, und sehenswert sind die 11,11 %: Die Summe 5 wirkt unscheinbar und ist tatsächlich die dritt häufigste, aber nur etwa jeder neunte Wurf ergibt sie. Die Summen 2 und 12 haben je eine einzige Möglichkeit und sind mit 2,78 % die seltensten; die Summe 7 hat sechs Möglichkeiten und damit 16,67 %. Ein einzelner Würfel kennt diese Struktur überhaupt nicht – dort ist jede Seite eine Seitenzahl-tel –, deshalb ist die Zahl der Würfel das Erste, was bei einem überraschenden Ergebnis zu prüfen ist.

2. Drei sechsseitige Würfel, Startwert 5: Augen 5, 5 und 2, Summe 12

   1. Drei sechsseitige Würfel ergeben insgesamt 6 × 6 × 6 = 216 gleich wahrscheinliche Augentripel
   2. Der Startwert 5 ergibt die Augen 5, 5 und 2, zusammengezählt also 12
   3. Diese Würfelgruppe kann 3 × 6 − 3 + 1 = 16 verschiedene Summen ergeben, von 3 bis 18
   4. Die Summe 12 lässt sich auf 25 Arten werfen, das sind 25 von 216, die Wahrscheinlichkeit beträgt 11,57 %

   Drei Würfel drängen die Mitte stärker zusammen als zwei: Am häufigsten sind 10 und 11 mit je 12,5 %, dicht dahinter folgt die 12 mit 11,57 %. Dieselbe Summe 12 ist mit zwei Würfeln dagegen das seltenste Ergebnis überhaupt und liegt bei 2,78 % – eine Augensumme ohne die zugehörige Würfelgruppe zu betrachten ist deshalb sinnlos. Die 16 möglichen Summen zeigen zugleich, dass die Zahl der Würfel nicht die Zahl der Seiten ist: Drei sechsseitige Würfel ergeben Summen von 3 bis 18, also 16 verschiedene, weder 18 noch 6.

3. Ein einzelner Zwanzigseiter, Startwert 7

   1. Bei einem einzigen Würfel gibt es keine Augen zusammenzufassen, jede Seite ist gleich wahrscheinlich
   2. Der Startwert 7 ergibt eine 1
   3. 1 von 20 Seiten, also 1 / 20 = 5 %

   Hier fällt die Verteilung auf die Gleichverteilung zusammen: Es gibt keine Häufung in der Mitte, weil nur ein Würfel im Spiel ist, eine 1 ist also genauso wahrscheinlich wie eine 20. Deutlicher als hier lässt sich nicht zeigen, was die zusätzlichen Würfel tun – bei 2W6 sind die Ränder selten, bei 1W20 ist nichts selten, und der ganze Mechanismus liegt darin, auf wie viele Arten sich jede Summe werfen lässt. Der Zufallszahlengenerator daneben behandelt die andere Seite derselben Sache: eine einzelne gleichverteilte Ziehung ist nicht dasselbe wie die Summe einer Folge von Ziehungen.

4. Der Startwert an seiner Obergrenze

   1. Der Startwert darf höchstens 4294967295 betragen, also 2³² − 1, den größten Wert, den der Zustand des Generators fassen kann
   2. Dieselben zwei Würfel wie in der ersten Rechnung, aber ein anderer Startwert, also ein anderer Wurf
   3. 6 und 2 zusammengezählt ergeben 8, und die Summe 8 lässt sich auf fünf Arten werfen, das sind 5 von 36
   4. 5 / 36 = 13,89 %

   Den Startwert 4294967295 einmal auszuprobieren lohnt sich, denn dies ist der einzige Wert, bei dem ein Fehler in der Zustandsverwaltung unsichtbar bliebe: Der Zustand wird als 32-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen gehalten, und der größte Wert ist genau die Stelle, an der ein fehlendes Bit nicht mehr verschwindet. Sichtbar ist hier ein völlig gewöhnlicher Wurf aus 6 und 2 – der Ergebnisbereich soll ja auch nicht anders aussehen –, und genau deshalb gehört diese Grenze in einen Test und nicht in eine Funktion, die dem Nutzer etwas zeigt.

Diese Augen sind nicht unvorhersehbar. Sie stammen aus einer jener kleinen, schnellen Startwertfolgen, wie sie in gewöhnlicher Software stecken: Wer den Startwert kennt, kann den ganzen Wurf reproduzieren, und wer ein paar Würfe gesehen hat, kann den Startwert zurückrechnen. In jedem Zusammenhang, in dem Beteiligte diesen Wurf nicht vorhersagen oder rekonstruieren können dürfen, gehört der Generator deshalb nicht hin – bei Wetten um Geld, bei Schlüsseln, Token und Einmalkennwörtern ist eine kryptografische Zufallsquelle die einzig richtige Antwort; der Wurf mit festem Startwert ist für Nachvollziehen, Erzeugen und Testen gedacht, und dort ist die Reproduzierbarkeit der Zweck selbst. Zwei weitere Einschränkungen gehören ausdrücklich genannt: Die Referenztabelle unter dem Rechner beschreibt zwei sechsseitige Würfel und ändert sich nicht mit den Würfeln, die Sie eingeben – sie ist eine feste Referenz, nach Ihren Würfeln richtet sich allein die Wahrscheinlichkeit im Ergebnisbereich. Und gerechnet wird hier mit fairen Würfeln: Ein gezinkter physischer Würfel passt zu diesen Zahlen nicht, gleichgültig welche Würfelgruppe vorliegt.

Warum passt die Tabelle unter dem Rechner nicht zu meinen Würfeln?

Weil diese Referenztabelle auf zwei sechsseitige Würfel festgelegt ist. Sie wird aus Konstanten berechnet und nicht aus Ihrer Eingabe, bewegt sich also nicht mit, wenn Sie die Würfel ändern; nach Ihren Würfeln richtet sich die Wahrscheinlichkeit im Ergebnisbereich, und wenn beide voneinander abweichen, ist der Ergebnisbereich maßgeblich. Die Tabelle steht dort, weil 2W6 genau die Verteilung ist, an die man denkt, wenn man nach Würfelwahrscheinlichkeiten fragt: die 7 in der Mitte, die 2 und die 12 an den Rändern. Für eine andere Würfelgruppe gibt der Ergebnisbereich die Wahrscheinlichkeit der Augensumme an, die Sie gerade geworfen haben; für einen Vergleich lässt sich mit demselben Startwert erneut werfen.

Wozu dient der Zufallsstartwert, und warum kommen immer dieselben Augen?

Der Startwert ist der Zustand, in dem dieser Wurf beginnt, derselbe Startwert ergibt mit derselben Würfelgruppe also immer dieselben Augen. Das ist sein Nutzen und keine Bequemlichkeit: Eine Partie nachzuvollziehen, ein erzeugtes Level unverändert zu halten und eine Regel mit festen Augen wiederholt zu prüfen, beruhen alle darauf. Ein anderer Startwert ergibt mit derselben Würfelgruppe einen anderen Wurf. Wer bei jedem Aufruf etwas anderes möchte, ändert den Startwert zwischen den Aufrufen – der Ergebnisbereich schiebt ihn nicht hinter Ihrem Rücken weiter.

Darf man diese Augen dort verwenden, wo niemand das Ergebnis vorher kennen darf?

Nein, und dieser Unterschied ist wichtig. Die Augen stammen aus einer kleinen, deterministischen Folge: Wer den Startwert kennt, kann den ganzen Wurf reproduzieren, und wer ein paar Würfe gesehen hat, kann den Startwert zurückrechnen. Überall dort, wo Beteiligte diesen Wurf nicht vorhersagen oder rekonstruieren können dürfen, gehört eine kryptografische Zufallsquelle hin. Für das Nachvollziehen einer Partie, das Erzeugen von Levels, das Testen von Regeln und reproduzierbare Stichproben ist der Generator dagegen genau richtig – dort ist die Wiederholbarkeit selbst der Grund.

Warum ist bei zwei Würfeln die 7 am häufigsten, bei drei Würfeln aber nicht?

Weil sich in der Mitte die Zahl der Möglichkeiten häuft und diese Zahl von der Würfelgruppe abhängt. Zwei sechsseitige Würfel haben insgesamt 36 Augenpaare, und die Augensumme 7 belegt davon 6 (von 1+6 bis 6+1), mehr als jede andere Summe. Bei drei Würfeln sind 10 und 11 mit je 12,5 % am häufigsten, und die 7 fällt zurück. Dieselbe Augensumme bedeutet bei unterschiedlichen Würfelgruppen also etwas anderes, und deshalb gibt der Ergebnisbereich stets die Augensumme zusammen mit der Wahrscheinlichkeit für die vorliegende Würfelgruppe aus.

Wie viele verschiedene Augensummen kann eine Würfelgruppe ergeben?

Von der kleinsten Summe (lauter Einsen) bis zur größten (überall die höchste Seite) sind es: Anzahl der Würfel mal Seitenzahl, minus Anzahl der Würfel, plus 1. Für 2W6 sind das 11 Summen von 2 bis 12, für 3W6 sind es 16 Summen von 3 bis 18 und für 20W100 sind es 1981. Es ist also nicht einfach die Zahl der Seiten; und die Summen an den beiden Rändern sind immer die seltensten, weil es für sie jeweils nur eine einzige Möglichkeit gibt.

Gilt die Wahrscheinlichkeit im Ergebnisbereich für die Augensumme oder für eine bestimmte Augenfolge?

Sie gilt für die Augensumme. Zwei Würfel mit 4 und 1 sowie mit 1 und 4 ergeben beide die Summe 5, und der Ergebnisbereich gibt die Wahrscheinlichkeit dieser Summe an und rechnet alle Kombinationen ein, die sich zu ihr addieren – für die Summe 5 sind das 4 von 36. Eine bestimmte geordnete Folge zu treffen ist eine andere, viel kleinere Wahrscheinlichkeit (ein beliebig vorgegebenes Paar liegt bei 1/36); der Ergebnisbereich gibt sie nicht an, weil für die Frage, ob ein Wurf einen Zielwert übertrifft, die Summe entscheidend ist.

• Würfel — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus und die deutsche Bezeichnung der beiden Würfelseiten, die diese Seite durchgehend benutzt — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Augensumme — DWDS: der deutsche Terminus für die Summe der geworfenen Augen, also die Kopfspalte der Referenztabelle auf dieser Seite — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Zufall — Duden: das Wort hinter dem Zufallsstartwert, der diesen Wurf reproduzierbar macht — Duden, Bibliographisches Institut
• Dice — MathWorld: dice sums written as a generating function, and the rule that the number of ways is the coefficient of the corresponding term, which is the common basis of the reference table and the totalChance output — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods: the frequency distribution and the general definition of reading a probability off a count of ways — National Institute of Standards and Technology (NIST)