Betrags-Rechner

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) Gegenzahl = −x

x

Die Zahl, die Sie eingeben. Jede reelle Zahl im Bereich der Seite wird angenommen: positive, negative, die Null, ganz oder gebrochen. An der Eingabe wird nichts eingeschränkt, weil der Betrag für jede reelle Zahl definiert ist — er ist die einzige Operation auf dieser Seite, für die es keinen Definitionsbereich zu nennen gibt.

|x|

Der Betrag, die Hauptangabe: der Abstand von der Null zu dieser Zahl auf der Zahlengeraden, der nie negativ ist. Er wird in zwei Regeln geschrieben und nicht in einer, weil die Regel bei der Null umschlägt — bei einer nicht negativen Zahl wird schlicht nichts entfernt, bei einer negativen wird ihr Negatives genommen, und genau das macht das Ergebnis positiv.

−x

Die Gegenzahl, die Zahl auf der anderen Seite der Null im selben Abstand. Sie ist keine andere Schreibweise für den Betrag: Die Gegenzahl von 7 ist −7, während der Betrag von 7 die 7 ist, und die beiden stimmen nur dann überein, wenn die Eingabe null oder negativ ist. Das Vorzeichen in der zweiten Spalte abzulesen ist kein Fehler des Rechners, sondern die Definition der Operation, angewandt auf eine negative Zahl.

1. Der Betrag einer positiven Zahl

   1. 7 ist nicht negativ, es gilt also die erste Regel: |7| = 7
   2. Der Betrag ist 7, unverändert
   3. Die Gegenzahl ist −7, derselbe Abstand auf der anderen Seite der Null
   4. Die beiden Angaben unterscheiden sich, und das ist der Normalfall bei einer positiven Eingabe

   Der Fall, mit dem die Seite öffnet, und der deutlichste Weg zu sehen, dass die beiden Spalten verschiedene Fragen beantworten. Ein Vorzeichen zu entfernen und ein Vorzeichen umzudrehen sieht auf dem Papier ähnlich aus, bei einer positiven Zahl kommen aber verschiedene Ergebnisse heraus, und wer diese Zeile einmal gesehen hat, verwechselt sie nicht wieder.

2. Der Betrag einer negativen Zahl

   1. −9 ist negativ, es gilt also die zweite Regel: |−9| = −(−9)
   2. Das ist 9, der Abstand von der Null bis −9
   3. Die Gegenzahl von −9 ist ebenfalls 9
   4. Beide Spalten drucken 9 — dieselbe Zahl zweimal, und das ist kein Fehler

   Die Zeile, die am häufigsten als Fehler gemeldet wird. Ist die Eingabe negativ, fallen die beiden Operationen zusammen, weil das Vorzeichen zu entfernen und das Vorzeichen umzudrehen an dieselbe Stelle führen: −x ist genau das, was der Betrag bei einem negativen x ist. Dass die Spalten übereinstimmen, ist eine Information und keine doppelt ausgeführte Rechnung — sie sagt, dass die Eingabe negativ war.

3. Der Betrag einer Zahl zwischen 1 und −1

   1. 0,125 ist positiv, der Betrag ist also 0,125
   2. Die Gegenzahl ist −0,125
   3. Beide Zahlen sind kleiner als 1, was an keiner der beiden Regeln etwas ändert
   4. Der Betrag ist weiterhin der Abstand von der Null

   Brüche verhalten sich hier genau wie ganze Zahlen — die Regeln handeln vom Vorzeichen und von nichts sonst, die Größe kommt darin nicht vor. Eine Zahl zwischen 0 und 1 hat einen kleinen Betrag und eine ebenso kleine Gegenzahl, und das Paar liegt weiterhin symmetrisch um die Null auf der Zahlengeraden.

Die Seite nimmt eine Zahl und gibt ihren Betrag und ihre Gegenzahl zurück. Sie berechnet nicht den Abstand zwischen zwei Punkten, obwohl dieser Abstand mit Betragsstrichen geschrieben wird — die Länge des Zwischenraums zwischen a und b ist |a − b|, wofür man zwei Zahlen braucht, und der allgemeine Abstandsrechner, auf den diese Seite verweist, nimmt beide Koordinaten entgegen. Ist die Eingabe negativ, drucken die beiden Spalten dieselbe Zahl, und das folgt aus der Definition und ist kein Rundungsartefakt: Bei einem negativen x sind Betrag und Gegenzahl derselbe Ausdruck, −x. Die Null ist die einzige Zahl, die ihrer eigenen Gegenzahl gleich ist, und ihr Betrag ist ebenfalls null. Die Eingabe ist auf fünfzehn Stellen Betrag begrenzt; darüber müsste die Seite auf die wissenschaftliche Schreibweise ausweichen, statt die Zahl schlicht zu drucken. Das Ergebnis wird zur Anzeige auf sechs Nachkommastellen gerundet, während die Rechnung dahinter mit voller Genauigkeit läuft. Ein Einstufungsabzeichen gibt es auf dieser Seite nicht, weil sich aus den beiden Zahlen selbst schon ablesen lässt, ob die Eingabe positiv, negativ oder null war.

Was ist der Betrag einer Zahl?

Er ist der Abstand von dieser Zahl zur Null. Die Zahlengerade ist die Achse, auf der jede reelle Zahl ihren Platz hat, und der Betrag misst, wie weit eine Zahl auf ihr von der Null entfernt sitzt; deshalb ist er nie negativ. Der Betrag von −9 ist 9 und der Betrag von 9 ist ebenfalls 9: Beide Zahlen sitzen neun Einheiten von der Null entfernt, nur auf verschiedenen Seiten. Die beiden senkrechten Striche um die Zahl sind die Schreibweise für diesen Abstand und keine Klammer.

Warum druckt der Rechner bei einer negativen Eingabe dieselbe Zahl zweimal?

Weil bei einer negativen Zahl der Betrag und die Gegenzahl derselbe Ausdruck sind. Die Definition sagt |x| = −x, wenn x negativ ist, und die Gegenzahl ist per Definition −x, die beiden Spalten müssen also übereinstimmen. −9 hat die Gegenzahl 9 und den Betrag 9. Weit davon entfernt, eine doppelt ausgeführte Rechnung zu sein, sagt diese Übereinstimmung etwas aus: Sie sagt, dass die Eingabe negativ oder null war.

Worin unterscheidet sich der Betrag von der Gegenzahl?

Der Betrag entfernt das Vorzeichen, die Gegenzahl dreht es um. Bei einer positiven Zahl sind das zwei verschiedene Anweisungen — der Betrag von 7 ist 7 und ihre Gegenzahl ist −7. Bei einer negativen Zahl führen beide an dieselbe Stelle, und bei der Null geben beide null. Die Seite zeigt beide Spalten, damit der Unterschied sichtbar ist und nicht geglaubt werden muss.

Kann der Betrag jemals negativ sein?

Nein. Er ist ein Abstand, und Abstände sind nicht negativ. Das gilt für jede reelle Zahl, auch für sehr große negative: Der Betrag von −1000000 ist 1000000. Kommt bei einer Rechnung ein negativer Betrag heraus, ist unterwegs die Definition falsch angewandt worden — am häufigsten dadurch, dass eine Zahl negiert wurde, die schon positiv war.

Hat der Betrag der Null ein Vorzeichen?

Er ist null, und die Null ist die einzige Zahl, die ihre eigene Gegenzahl ist. Beim Negieren der Null entsteht in der Gleitkommarechnung eine negative Null, die als 0 gedruckt wird, aber bei einer Identitätsprüfung von 0 verschieden ist. Die Seite normalisiert beide Spalten, sodass eine Eingabe von null in beiden eine schlichte Null ergibt, ohne verstecktes Minuszeichen im Wert.

Findet diese Seite den Abstand zwischen zwei Punkten?

Nein. Sie nimmt eine Zahl, und der Abstand zwischen zwei Punkten braucht zwei — der Zwischenraum zwischen a und b ist |a − b|. Die Referenztabelle unten zeigt diese Rechnung auf der Zahlengeraden durchgerechnet, und der Abstandsrechner, auf den am Ende der Seite verwiesen wird, erledigt sie in der Ebene, wo die Antwort die Wurzel aus der Summe zweier Quadrate braucht statt einer einzigen Subtraktion. Zwei Punkte lassen sich hier also nicht berechnen, der Abstand zur Null dagegen schon.

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)
• Betrag — Bedeutung und Verwendung des Wortes in der deutschen Fachsprache, einschließlich seiner Verwendung für den Abstand auf der Zahlengeraden — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Betrag — die Definition, das Ablesen als Abstand von der Null und der Umgang mit negativen Zahlen — Mathebibel