减法计算器
结果
差
- 借位
- 1, 1, 1, 0
竖式减法计算器把两个整数按数位对齐相减，一位一位地算，并把每一步往左边借的那一位印出来。它是有过程的那种减法：给出的除了差，还有每一位上写下来的数字，以及一条一位一项的借位链。默认的算式是 1234 减去 567 得 667，凡是上面那一位不够减下面那一位的列都要借一次。这一页只收整数——小数要先按小数点对齐再补零，那是另一段写法；被减数小于减数时也照收，中间过程仍然按「大数减小数」走，变的只是差的符号。
1234 − 567 逐列的推导
| 列 | 这一列的数字 | 借进来的数 | 原始差 | 写下的数字 | 借出去的数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4 - 7 | 0 | -3 | 7 | 1 |
| 1 | 3 - 6 | 1 | -4 | 6 | 1 |
| 2 | 2 - 5 | 1 | -4 | 6 | 1 |
| 3 | 1 - 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
一列一行，从个位往上读，也就是实际算的方向。「这一列的数字」印的是实际相减的那一对：中间过程永远走「大数减小数」，所以 3 − 5 在这一格里出现的是 5 − 3。原始差是这一列自己减出来的结果、还没算上从左边借来的十，所以它可以为负；原始差为负就借 1，写下的数字是它加上十之后的值。最上面一行的「借进来的数」是 0，因为个位右边没有东西；最下面一行的「借出去的数」是 0，因为左边没有东西了。列号都是整数，数字那一串是记号，所以这张表在全部十个语言里长得一样。
公式
第 k 列：原始差 ＝ 被减数的第 k 位 − 上一位借走的 1 − 减数的第 k 位 不够减（原始差小于 0）就往高位借 1，写下的数字 ＝ 原始差 ＋ 10 够减就不借，写下的数字就是原始差
- 被减数
- 被减数：被减掉的那一个数，是不超过一万亿的整数。它写在竖式上面那一行，每一列都拿它的数字来减——包括它已经没有数字的那些高位，那里按 0 算。
- 减数
- 减数：减掉的那一个数，写在下面，个位对齐。它允许比被减数大，那时中间过程按反过来的那一边算，只在差的前面加一个负号。
- 第 k 列
- 从右往左数第 k 位，个位算第零列。一列必须在它右边那一列定下来之后才能算，因为借位是往左走的——这也是「从个位开始」的由来。
- 借位（退位）
- 上面那一位不够减下面那一位时，从左边那一列拿过来的 1。它到了这一列就值十，所以 4 − 7 变成 14 − 7，而被拿走的那一列少掉 1。教材里这一步也叫退位、退一。
- 差
- 算出来的结果，同时也是借位链的对照物：链上一位对应大数的一列，所以最后一项恒为 0。前导的零一律不写，099 就是 99。
需要把减法讲出来、而不只是要一个答案时用这一页：讲「哪一位不够减、要退位」这一步，或者核对一个手算出来的差。这一页还给出了配套的验算：把差加回减数，看是否回到被减数——加得回来，减法就没错。
算例
1234 − 567
- 个位：4 − 7 不够减，向十位借 1 当十，读作 14 − 7 ＝ 7
- 十位：3 已经被上面那次借走 1，剩下 2，2 − 6 还是不够，再借一次读作 12 − 6 ＝ 6
- 百位：2 同样被借走 1，1 − 5 不够，借了读作 11 − 5 ＝ 6
- 千位：1 被借走 1 剩 0，0 − 0 ＝ 0
- 从高位往低位数下来，写下的数字是 0、6、6、7
- 差是 667，借位链是 1, 1, 1, 0
默认算例，也是「为什么要把过程写下来」最直白的一格：每一列借走 1，上面那一列就少 1，所以轮到它的时候它的数字已经变了。最后一项是 0，因为最高位上面没有东西可借——那个 0 是借位到此为止，不是漏了一步。
1000 − 1：连续退位
- 个位：0 − 1 不够减，向十位借
- 十位是 0，没有东西可借，它得先向百位借
- 百位也是 0，于是向千位借：千位的 1 变成 0，百位拿到十
- 百位留一个十给自己，剩下的借给十位；十位再留一个十，剩下的借给个位
- 个位：10 − 1 ＝ 9；十位：9 − 0 ＝ 9；百位：9 − 0 ＝ 9
- 差是 999，借位链是 1, 1, 1, 0
借位链与上一个算例一模一样，四项——这正是这一格要说的：借位会横穿整个数的宽度，而结果是各位的补九。中间那一列是 0 不等于「没有可借的」：0 自己也得先向左边借，纸上就是老师写在算式上方那串划掉的数。
3 − 5：差变成负数
- 上面那个数比下面那个小，于是反过来算：5 − 3
- 个位：5 − 3 ＝ 2，一次都不用借
- 写下的数字就是 2
- 因为两个数换过位置，答案前面加一个负号
- 差是 −2，借位链是 0
中间过程永远是「大数减小数」，所以参考表里那一列永远不会出现负数行，负号只出现在差上面。借位链能读也是因为这个：链的项数由大数的位数决定，如果允许按输入的顺序排，长度就不固定了。
局限
只收整数。小数也能竖式相减，但要先按小数点对齐、再用零补到一样长，而那会改变「一列」的含义——所以小数在这里被拒收，而不是被当成整数悄悄算下去。负数同样拒收：正负号不是数字，它需要自己的一列和自己的一条规则。一次只收两个数，连减（100 − 20 − 5）是连着做两次减法。每个数不超过一万亿，因为数字是一位一位取出来的，越过去之后写下来的数字就对不上答案了。被减数小于减数时差是负数，但过程里印的是「大数减小数」的那一份，所以参考表不能照着输入的顺序读。
常见问题
- 竖式减法是什么？
- 按照数写下来的样子来减：把相同数位对齐，从个位往左一列一列地算，上面那一位不够减下面那一位时，就向左边借十过来。算出来的差与计算器给的是同一个，区别在于中间那几步是留下的。
- 退位和借位是一回事吗？
- 是一回事，只是叫法不同：退位、借位、退一，说的都是同一个动作——从左边那一列拿 1 过来，到这一列当十用。教材里两种说法都有，所以这一页两个词都印出来。
- 借位链最后为什么一定是 0？
- 因为最高的一位不用借。只有上面那一位不够减下面那一位时才借，而大数的最高位一定比减数的全部还大，所以到那里就停住了。最后那个 0 就是这个「停住」，链的项数因此比实际看到的借位次数多一项。
- 怎么验算减法？
- 把差加回减数，看是不是回到被减数。1234 − 567 ＝ 667，而 667 ＋ 567 ＝ 1234，这一步加法就是验算。加得回来就说明减法没错，所以教材把加减法放在一起教。
- 小数能算吗？
- 这一页不行。小数也能竖式相减，但要先按小数点对齐、再用零补到一样长，而那会改变「一列」的含义——从数位变成小数点后的第几位。这一页会拒收这种输入，而不是把 1.5 当成 15 去减。
- 大数减小数与小数减大数，过程一样吗？
- 过程一样，差差一个符号。3 − 5 是按 5 − 3 ＝ 2 算的，最后写成 −2。中间过程一律走「大数减小数」，否则借位链的长度就不固定了，而这一页的整张参考表都是围着那条链建的。
参考资料
- Subtraction — 减法本身，以及「把差加回去就能核对」这条性质 — Wolfram MathWorld (United States)
- Base — 一个数字值多少由它所在的列决定，这正是「借来的 1 值十」的原因 — Wolfram MathWorld (United States)
- Subtraction with regrouping — 教材里那一列一列的退位过程，以及它在英文里的几种叫法 — SplashLearn (United States)