乘法计算器
结果
积
- 部分积
- 115, 920
- 积的小数位数
- 0
竖式乘法把两个数一位一位地乘开，并把每一个部分积都留在眼前，连同它该往左挪几格、以及小数点最后落在哪儿。这一页说的乘法，是把一个数的每一位分别去乘另一个数、各写一行、再把各行相加——加起来那一步正是竖式加法在做的事。默认的 23 × 45 ＝ 1035 写成两行：115 与 920，第二个往左错了一位。小数不会改变任何取数的工作：2.3 × 4.5 用的还是 115 与 920 这两个部分积，动的只有小数点——两个因数各有一位小数，所以积从右边数进来两位。负因数也照收，而部分积一律印不带符号的那一份，与手写时把负号留在式子外面是同一种写法。
23 × 45：乘数的每一位各一行
| 错位 | 乘数的这一位 | 部分积 | 错位之后的值 |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 115 | 115 |
| 1 | 4 | 92 | 920 |
乘数的每一位一行，从个位开始。有「错位」这一列正是这张表存在的理由：手写时错位靠那一行开头空几格来表达，而写进表格的行没有格子可空，对齐就得变成一个数字。最后一列从上往下读，就是接下来要相加的那两行，而把它们加起来是一次普通的竖式加法——错位 1 就是 920 末尾的那个 0。每一格都是整数，所以这张表在全部十个语言里长得一样。
公式
a × b：把 b 的各位写成 b₀ ＋ 10·b₁ ＋ …，每一行取 a × b_k，往左错 k 位，再把各行相加 积 ＝（a × b 的整数形式）的小数点从右往左数「小数位数之和」位
- a
- 被乘数，也就是被反复去乘的那个数。另一个数的每一位都拿它整份去乘，所以它在整个过程中保持完整，被拆开的是另一个数。
- b
- 乘数，把它从个位起一位一位地取出来用。它的每一位各出一行，包括等于 0 的那一位——因为那一行记录的是这一位占了哪个位置，而一个什么也没有的位置也是信息。
- 错位
- 这一行往左挪了几格，等于乘数上那一位所在的位置。这正是数位在起作用：45 里的 4 值四十，所以它乘出来的部分积是 5 乘出来的十倍。手写时靠把这一行往左挪一格来表示，写成表格就必须把它变成一个数字。
- 小数位数
- 小数点后面有几位，是两个因数各自的位数相加，而不是从其中某一个上数出来的。2.3 有一位、4.5 有一位，所以积有两位，1035 就成了 10.35。取数那一段完全不依赖这个数：整场乘法都在整数上跑，小数点最后才放上去。
要把乘法讲出来而不只是要一个答案时用这一页：核对一个手算出来的积、讲清错位那一步，或者算小数乘法而容易出错的正是小数点该落在哪儿。一个数反复乘自己多少次要多少次方，那是幂那一页；分数的乘法另有一套规则，分子乘分子、分母乘分母。
算例
23 × 45
- 先用个位去乘：23 × 5 ＝ 115，不错位
- 再用十位去乘：23 × 4 ＝ 92
- 十位那一位值的是十倍，所以这一行往左错一格，读作 920
- 把两行相加：115 ＋ 920 ＝ 1035
- 两个因数都没有小数位，所以积也没有
- 积是 1035
默认这一格。920 末尾那个 0 就是错位留下的痕迹——手写时那一行只是往左挪了一格，读成数字就必须把这个 0 写出来。两行相加就是一次普通的竖式加法，也就是隔壁那一页。
同样的数字加上小数点
- 先把小数点放到一边，按整数乘：23 × 45 就是上一格
- 两个部分积是 115 与 920，一格没变
- 数小数位：2.3 一位、4.5 一位，所以积共两位
- 在 1035 里从右往左数进来两位点上小数点
- 积是 10.35
这一格把小数乘法的道理说得最清楚：取数那一段与 23 乘 45 完全相同，全部差别只在小数点落在哪儿。这也是为什么要报出「两位」而不是从某一个因数上数——它是两个因数加起来的。
乘数里有一位是 0
- 先用个位去乘：23 × 0 ＝ 0，不错位
- 再用十位去乘：23 × 4 ＝ 92，往左错一格，读作 920
- 把两行相加：0 ＋ 920 ＝ 920
- 积是 920
0 那一行留着，不跳过。手写时通常不写它，但它占的位置正是要记录的东西——它说明 40 的个位什么也没贡献——而「各行相加等于积」这条验算也要求它在。这一处与 FOIL 那页的选择正好相反：那里算出来是零的项整段不印，因为那个零项根本不存在；这里的一行是真的被写下来了。
局限
两个因数的小数位数加起来最多六位，限制的是这个和，不是某一个因数的位数。这是显示上的界，不是算术上的界：面板按六位小数印积，需要八位的积会被印成 0.000000——一个披着正确答案外衣的错答案。每个因数的绝对值不超过一百万，整数形式的积不超过能被精确表示的那个整数上界，因为数字是一位一位取出来的，越过去之后部分积就加不出积来了。负因数照收，而部分积印不带符号的；符号只出现在最后的积上。0 是合法的因数，一个负数乘 0 印出来的是 0 而不是负零。这一页做乘法；除法是另一套过程，有它自己的竖式规则。
常见问题
- 竖式乘法是什么？
- 把一个因数的各位拆开来乘：乘数的每一位各出一行，各行按那一位所在的位置往左错几格，最后把各行相加。算出来的积与计算器给的一样，区别在于中间那几行是留下的。
- 部分积为什么要错位？
- 因为一个数字值多少取决于它站在哪儿。45 里的 4 值四十，所以它乘出来的东西必须比 5 乘出来的大十倍，而把那一行往左挪一格就是记下这件事的办法。加法里「相同数位对齐」用的是同一条规矩。
- 怎么知道小数点该点在哪儿？
- 把两个因数的小数位数相加。2.3 一位、4.5 一位，所以积有两位，1035 就成了 10.35。取数那一段从来见不到小数点——整场乘法都在整数上跑，点最后才放上去。
- 为什么 0 那一行也要留着？
- 因为那一行的位置就是信息本身。乘数的个位是 0 时，这一行说的是个位什么也没贡献，把它去掉就丢掉了「剩下那一行错了一位」这件事。留着它还保证各行相加永远等于积，而那正是这一页要支持的验算。
- 负因数怎么处理？
- 两个因数里恰好一个是负的，积就是负的；两个都是负的，积是正的。两种情形下部分积都印不带符号的那一份，与手写时把负号留在式子外面一致——也正是这样才能让它们加得出积。
- 为什么整数结果后面跟着一串零？
- 因为面板按固定的六位小数印积，所以 1035 印成 1035.000000。另一条路是把积做成文本输出，而那会让答案里的小数点变成 ASCII 句点——在拿逗号当小数点的国家里是错的，比多几个零严重得多。
参考资料
- Base — 部分积往左错一格为什么等于乘十，也就是「错位」那一列记录的事情 — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponentiation — 乘法用在一个数与它自己身上时的样子，也就是两个因数相同的那一格 — Wolfram MathWorld (United States)
- Division — 逆运算，也是它必须另起一套竖式、而不是在这一页上改一改的原因 — Wolfram MathWorld (United States)