杨辉三角计算器

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)；C(n, 0) = C(n, n) = 1；行和 = 2^n

n

要印多少行，最上面那个孤零零的 1 算第 0 行。所以填 n 得到的是第 0 到第 n − 1 行，最后印出来的那一行有 n 个数。输入范围是 1 到 53，而上界与屏幕放不放得下无关——真正先撑不住的是下面那条行和

k

一行里的位置，最左边算第 0 位。第 n 行有 k 从 0 到 n 共 n + 1 个数。两端是特殊的：C(n, 0) 与 C(n, n) 都是 1，这就是三角形两条边上那一列 1 的来源；严格夹在两端之间的每一个数，都等于上一行的两个数之和

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

铺出整张表的规则，也是页面实际在跑的那条。第 n 行第 k 个数等于它上方左右两个数之和——正因为如此，两条边只会看到一个数，于是永远停在 1。这里用加法而不是阶乘公式，所以每一个中间值都是精确的，屏幕上那块三角逐字就是页面做过的那串加法

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

同一个数的另一张脸：二项式系数，也就是从 n 个里取 k 个、不计顺序的取法数。它与加法规则给出同样的值，也是这些数在用来计数而不是用来展开时的含义。页面不用它来算，因为那样一来页面就同时存在两套算术，而两套是会漂移的

2^n

第 n 行的行和，也是输入停在那里的原因。把任意一行加起来总是 2 的幂：第 0 行是 1，第 1 行是 2，第 2 行是 4，第 6 行是 64。每行翻一倍，所以它比单个系数更早冲出「能精确表示」的范围——第 52 行的和是 4503599627370496，第 53 行是 9007199254740992，比双精度能精确表示的最后一个整数大一

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

第 6 行写出来的样子，也是默认七行里最后印出的那一行。把它对着上一行读，每个数都是两个邻居之和：6 来自 1 + 5，15 来自 5 + 10，20 来自 10 + 10，然后左右对称。每一行都关于中间对称，永远如此，因为「留下 k 个」与「丢掉 n − k 个」是同一个选择数了两遍

手算二项式展开是它最直接的用处。要把 (x + y) 的六次方乘开，直接把第 6 行照抄下来，写成 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶，一次多项式乘法都不用做。只要其中一个系数的话，组合数计算器直接从 n 与 k 算出来，不必把中间那些行铺开。两个结果的概率题用的是同一批数：抛十次硬币恰好出现四次正面的概率是 C(10, 4) 除以 2 的十次方，而分母那个 1024 正是第 10 行的行和。三角形还回答一些看起来不相干的技术问题——网格上从一角走到对角、只能向右或向下时的路径条数，以及「给定大小的子集有多少个」。当问题要的是「这些数是什么」，留在这一页；当问题要的是「有多少种可能」，组合数那一页更短；而当你想追的是藏在斜对角线里的那串数，斐波那契计算器直接讲那个数列。

1. 七行，末行是 1、6、15、20、15、6、1

   1. 第 0 行是 1，第 1 行是 1、1——每一行的两端永远是 1
   2. 第 2 行：中间那个 1 + 1 = 2，得到 1、2、1
   3. 第 3 行：两次 1 + 2 = 3，得到 1、3、3、1；第 4 行：1 + 3 = 4、3 + 3 = 6，得到 1、4、6、4、1
   4. 第 5、6 行照同样的做法往下铺，末行是 1、6、15、20、15、6、1
   5. 把第 6 行加起来：1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64，正是 2 的六次方

   默认输入。有两处值得对着屏幕核一遍。第一，每个数都是上面两个数之和：15 来自 5 + 10，20 来自 10 + 10，而这一行左右对称，因为七个数的正中间是 20，它两边成对。第二，行和每一次都翻倍——1、2、4、8、16、32、64——所以记得上一行是 32 的人不用加就能报出这一行。翻倍与两条边上的 1 是同一件事：上一行的总和被数了两次，一次从左半边进、一次从右半边进。

2. 四行，最短的完整三角

   1. 第 0 行是 1；第 1 行是 1、1
   2. 第 2 行是 1、2、1，那个 2 来自 1 + 1
   3. 第 3 行是 1、3、3、1，两个 3 都来自 1 + 2
   4. 把末行加起来：1 + 3 + 3 + 1 = 8，是 2 的三次方

   这里的末行是第 3 行，也正是三角形开始有意思的地方：1、3、3、1 就是 (x + y)³ 的系数，所以 x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 可以直接照抄这一行写出来，一次乘法都不用做。它也是短到能在几秒内手工核对完的最后一行，长的那几行之前先看它一眼是值得的。注意填 4 得到的是第 0 到第 3 行——你填的是行数，不是最大那一行的行号。

3. 一行，最短的情形

   1. 第 0 行只有一个 1，它上面没有可加的东西
   2. 要一行就印一行
   3. 行和是 1，也就是 2 的零次方

   页面接受的最小输入，而它是被当成一个正常的三角形接受的，不是「空」。只有一行的三角形并不退化，它是后面每一行的出发点。看这一格还顺带确认了行号的起算方式：填 1 得到的是第 0 行而不是第 1 行，这一点等你把三角形对着二项式展开核的时候就会要紧。行和是 1 而不是 0，与「顶上那个数是 1」说的是同一件事。

行数必须是 1 到 53 之间的整数。上界在那里是因为印出去的每个数都得是机器还能精确表示的整数，越过那条线之后相邻两个整数会塌成同一个值——印出来的数字看起来毫无异常，只是它已经不代表原来那个数了。先撑不住的是行和：第 52 行的和是 4503599627370496，第 53 行是 9007199254740992，比双精度能精确表示的最大整数大一。单个系数其实能撑到第 56 行——第一个越界的是第 57 行的 C(57, 28)——但三角是一行一行印的，所以由行和说了算。0 行会被拒绝：空三角什么都印不出来，没有答案可给。小数行数一律拒绝而不是四舍五入，因为没有「两行半」。每一行印成用逗号隔开的一串数，行与行之间用分号，数字之间不插千位分隔符，所以一个大的系数印成 184756 而不是 184,756；行数一多就是一长条需要横向滚动的数字。下面那张参考表固定印前 7 行，不跟着你的输入走，而且页面只能从顶上往下铺——没法只要求某一行。

杨辉三角有什么用？

最主要的用处是展开二项式。第 n 行的数就是把 (x + y) 乘开 n 次之后各项的系数，所以第 6 行让你可以直接写出 (x + y)⁶ 的七项，中间一次多项式乘法都不用做。同一批数还用来数组合：C(n, k) 就是第 n 行第 k 个数，于是它们回答「从 10 个人里选 4 个有多少种选法」这类问题。概率里也常见，抛十次硬币恰好四次正面的概率是 C(10, 4) 除以 2¹⁰，而那个 1024 正是第 10 行的和。数网格路径也用它：从一个角走到对角、只能向右或向下时，路线条数就是三角里的某个数。

为什么行数最多只能填 53？

因为行和会先冲出「机器能精确表示的整数」这个范围。第 52 行的和是 4503599627370496，第 53 行是 9007199254740992，而后者比双精度能精确表示的最大整数大一。越过这条线之后相邻两个整数会变成同一个值，于是印出来的数字看着正常，却已经不代表它声称的那个数了。单个系数其实更耐用——第一个越界的是第 57 行里的 C(57, 28)——但三角是一行一行印的，所以由行和说了算。印出一行「总和是错的、单个数是对的」的数字，是没法发布的东西。

最后一行为什么要印两遍？

因为在大的三角上，绝大多数人只要最后那一行，而在一长串数字里把它找出来是件费劲的事。填 40 行，三角那一格就是一面数字墙，你要的那一行在最右边；末行那一格把同一行单独放在一处，大小读得下去。两格来自同一次计算，所以不可能对不上。行和印第三遍也是同一个理由——它是一个数，一眼就能回答那串数字一眼答不上来的问题。

行号是从 0 开始还是从 1 开始？

从 0 开始，这是二项式系数惯用的编号方式。C(n, k) 指的是第 n 行第 k 个数，所以最上面那个单独的 1 是第 0 行，填 7 得到的是第 0 到第 6 行，末行是 1、6、15、20、15、6、1——七个数，因为第 n 行永远有 n + 1 个数。这一点在你把三角形对着二项式展开核的时候很要紧：(x + y)⁶ 的系数那一行是第 6 行，不是第 7 行。你填的是行数，不是最大那一行的行号。

一行的和为什么永远是 2 的幂？

把任意一行加起来都等于 2 的行号次方：第 0 行是 1，第 6 行是 64，第 10 行是 1024。原因就在铺行的规则里。每一行都是上一行错开一位加到自己身上得到的，于是上一行的每一个数在这一行里都被数了两次——左边一次、右边一次。总和每次都翻倍，得到的自然就是 2 的幂。同一件事换一种读法：第 n 行的和数的是一个 n 元集合的全部子集，而 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。抛十次硬币那个 1024 就是从第 10 行直接出来的。

斐波那契数列跟这个三角形有什么关系？

藏在对角线里。沿着一条向左上斜的线把数加起来——比如 1、再 4、再 3——累加的结果是 1、1、2、3、5、8、13，也就是斐波那契数列，每一项是前两项之和。原因在于斜线上的每个数本身也是上面两个数之和，而那两个数里有一个落在同一条斜线上、另一个落在旁边一条上，于是斜线直接继承了斐波那契的递推。想接着往下看那个数列，斐波那契计算器那一页专门讲它。

• 杨辉三角——这张表在中文文献里的来历、杨辉《详解九章算法》中的记载，以及它与二项式系数的关系 — 维基百科（中文）
• Pascal's Triangle —— 二项式系数排成的阵列、它的加法规则，以及从它掉出来的那些恒等式 — Wolfram MathWorld（美国）
• Binomial Coefficient —— C(n, k) 数的是什么、阶乘公式，以及为什么加法规则给出同一批数 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——附件清单第 5 项为《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；杨辉三角与二项式系数在课程标准里属于数与代数领域，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部