IQ 百分位计算器

百分位 ＝ Φ((IQ − 100) ÷ 15) × 100% · z ＝ (IQ − 100) ÷ 15 · N 人里有一个 ＝ 1 ÷ min(Φ, 1 − Φ)

IQ

要定位的那个分数。量表在编制时就把平均分定在 100、把一个标准差定在 15 分，所以这是你唯一需要填的数

z

这个分数离 100 有几个标准差——低于平均分是负的，高于平均分是正的。在这把尺上它就是 (IQ − 100) ÷ 15，正负号表示方向，大小表示这个分数有多不常见

Φ

正态曲线在 z 以下的那块面积占多少。把距离变成百分位的就是这一步，它也是整条式子里唯一一个必须查表、不能靠心算得到的量

百分位

把上面那块面积写成百分比——多数人打开这一页要的就是它。IQ 115 落在 84 附近，意思是大约 84% 的人分数在 115 或它以下

N 人里有一个

离 100 这么远或更远的人是多少分之一，只算分数所在的那一侧。留这一行是因为百分位在量表两端会先撑不住：IQ 145 的百分位是 99.87，再往上已经没有多少余地，而稀有程度那一格还是 741 这么一个能读出声的数

手上有一个 IQ 分数、想知道它在人群里的排名，就用这一页——绝大多数人查分数时想问的就是这件事。它不适合你手上的分布：100 和 15 是写死在量表里的，班级平均分、一批测量值、或者标准差不一样的另一个量表，套不进来，那些该去 z 分数那一页或正态分布那一页，它们收平均分和标准差两个输入。它也不是两个测验之间的换算器：两套智力测验报的都是平均分 100、标准差 15 的量表分，但它们的常模来自不同年代、不同样本，所以一个分数不能靠算术变成另一个。两个读法并排看：百分位是能写进一句话里的那个，稀有程度是在两端还说得清话的那个——到了量表两端，百分位已经没小数位可以给了。

1. IQ 130：比平均分高两个标准差

   1. 离平均分多远：130 − 100 ＝ 30 分
   2. 折成标准差：30 ÷ 15 ＝ 2，所以 z ＝ 2
   3. 查正态曲线在 z ＝ 2 处的面积：0.97725 的人在这个分数或它以下，这就是百分位，97.72%
   4. 在这之上的人是 1 − 0.97725 ＝ 0.02275，而 1 ÷ 0.02275 ＝ 43.96——大约 44 人里有一个

   130 是大多数人会拿来问的那个数，因为它正好是平均分往外两个标准差。让它变得具体的还是稀有程度那一格：大约 44 人里有一个。分数往上走的时候，两个读法会分开——百分位已经在 97.72，只剩 2.28 个点的余地，而稀有程度还是个能想象的数。拿教科书对一遍同一个区间：68% 的人落在 85 与 115 之间，于是 115 以上大约 16%、130 以上大约 2.3%，正好是这一页给出的 44。

2. IQ 145：往外三个标准差

   1. 离平均分多远：145 − 100 ＝ 45 分
   2. 折成标准差：45 ÷ 15 ＝ 3，所以 z ＝ 3
   3. 查正态曲线在 z ＝ 3 处的面积：0.99865 的人在这个分数或它以下，也就是 99.87%
   4. 在这之上：1 − 0.99865 ＝ 0.00135，而 1 ÷ 0.00135 ＝ 740.7——大约 741 人里有一个

   这是这把尺的尽头，也是百分位开始说不出话的地方。再往外一个标准差，百分位是 99.997，两位小数根本印不出来，而稀有程度大约读到 32000。留第二个读法就是为了这一段：一千个人里你未必碰得到一个这个分数，而「几乎所有人都在它下面」是对的，却和「大约 741 人里有一个」不是同一句话。

3. IQ 85：比平均分低一个标准差

   1. 离平均分多远：85 − 100 ＝ −15 分
   2. 折成标准差：−15 ÷ 15 ＝ −1，所以 z ＝ −1——正负号只表示方向
   3. 查正态曲线在 z ＝ −1 处的面积：0.15866 的人在这个分数或它以下，也就是 15.87%
   4. 离 100 这么远或更远的人，就是落在这 0.15866 以下的那一群，1 ÷ 0.15866 ＝ 6.30——大约 6 人里有一个

   拿它和 115 对着看。两个百分位 15.87 与 84.13 看起来正好相对，但稀有程度两边都是 6：离平均分同样的距离就是同样的稀有，差别的只是方向。这也是为什么稀有程度取的是离 100 更近的那一侧，而不是只看上尾——只看上尾的话，IQ 85 会被读成 1 ÷ 0.8413 ＝ 1.19 人里有一个，那读起来像是几乎没人跟你在同一个距离上，实际上六个人里就有一个。再拿教科书对一遍：68% 的人落在 85 与 115 之间，于是 85 以下还剩 16%，正是这一页给出的 15.87%。

你填进来的那个分数，在这一页是被当成精确值用的，而它不是。任何一个 IQ 分数都只是同一个人可能得到的一串分数里的一个样本：你手上那份报告会给出一个置信区间，那个区间通常是往两边各几个点宽。重测研究从另一头说的是同一件事。有一项跟踪把 344 名学生平均隔了 2.84 年重测一次，全量表智商的重测信度是 .82，而其中 25% 的人两次相差 10 分以上。10 分在量表中间那一段，就是从大约第 37 百分位到大约第 63 百分位的距离。后来一项对 225 名儿童、用更新版本做的研究也发现，全量表分稳定到足以做人与人的比较，但那些「同一个人身上」的指标没有一个稳定到能拿来做决定。还有两件事会让这个答案带上日期。第一，这个数背后的常模来自某一个地方、某一个年份采的样本，而分数会随代际抬高——这就是 Flynn 效应——所以常模要定期重取；拿今年的常模算出的百分位，和拿二十年前的常模算出来的，不是同一个说法。第二，一个分数的含义取决于它出自哪一套测验、按哪个年龄段取的常模，这两样都不是一个光秃秃的数字能带上的。所以这一页说的是「一个数在一把尺上落在哪」。它没有说同一个人重测一次会是多少、换一套测验会是多少、拿另一年的常模算又会是多少，也不是诊断工具，不能替代随分数一起来的那份报告，更不该被拿来对一个人下任何结论。

IQ 的百分位是什么意思？

它是在这个分数或它以下的人占多少比例。IQ 115 落在第 84 百分位，意思是大致 84% 的人分数在 115 或它以下。这句话有两处值得留意。一是「或它以下」这四个字不能省——它说的不是「正好考了 115 的人有多少」，那个数会小得多。二是百分位说的是一个群体，不是一个人：它只交代这个分数在这批分数里排在哪，没有说这个分数由什么构成、也没说它能预测什么。

IQ 多少能进前 1%？

大约 135。第 99 百分位在平均分往上 2.33 个标准差处，100 ＋ 2.33 × 15 ＝ 134.9。几个整数门槛也一并给你：前 5% 大约从 125 起，前 2% 大约从 131 起，前 0.1% 大约从 146 起。这几个数也可以直接去下面那张对照表里读，不必自己算；而表里挨着百分位的那一列往往更快——「前 1%」和「100 人里有一个」本来就是同一句话。

为什么不能自己填平均分和标准差？

因为在 IQ 这把尺上，那两个数是尺子的定义，不是输入。一套测验之所以要标准化，就是为了让它取常模的那个样本给出平均分 100、标准差 15；把 15 改成 16，你读到的就不再是这个分数被报出来时所在的那把尺了。所以这一页只问分数，另外两个钉死。如果你手上真的是一批自己的测量值，有它自己的平均分和自己的标准差——一个班、一批读数、另一个标准差不同的量表——那要用 z 分数那一页或者正态分布那一页，那两页收这两个输入。

为什么这一页不告诉我分数算高还是算低？

因为能回答这个问题的那些分级线是测验出版方画的，不是这一页画的。像「平常」「优秀」「超常」这类说法随测验一起印出来，而且绑在它取常模的那个样本、那个年份上；一个只收到一个数的网页，不知道它出自哪一套测验、该用哪一版的常模。还有第二个理由，与贴不贴标签无关。一个分数是一次测量，它周围有一圈误差，而且它会动：有一项研究把 344 名学生隔了将近三年重测，其中四分之一的人相差 10 分以上。给一次读数发一个徽章，等于报告一个这次读数撑不住的结论。这一页能做的是说清楚这个数在人群里落在哪，它做了这件事。

单独一个 IQ 分数准吗？

没有它看起来那么准。测验手册会给每个分数配一个置信区间，通常是两边各几个点宽；重复施测也指向同一件事：相隔一两年的全量表智商重测信度大约 .82，而有四分之一左右的人两次相差 10 分以上。这些差异里有一部分是真的变化，有一部分是测量误差，而从一个分数上是分不出这两者的。用来对照的那群人也一直在变旧：常模是某个时间点采的样本，要定期换新，因为分数会随代际抬高。所以请把百分位理解成「一次读数、相对某一套测验的某一版常模」的位置，它本来就只是这个。

「N 人里有一个」是什么意思？

它是稀有程度那一格：N 是「离 100 这么远或更远」的人里多少个中有一个，只算分数所在的那一侧。IQ 130 算出来是 44，也就是大约 44 人里有一个考到 130 或更高；IQ 85 算出来也是 6，也就是大约 6 人里有一个在 85 或更低。留着它和百分位并排，是因为百分位在量表两端会先没地方写——145 是 99.87，160 直接就是 100.00，两个都对，可两个都没告诉你这个分数有多稀有。稀有程度在那一段还照常工作，而有意思的分数恰好都在那一段。

• Measures of Intelligence — OpenStax《Psychology 2e》第 7.5 节——偏离智商的均值 100 与标准差 15、常模化（norming）与 Flynn 效应的出处；「68% 落在 85 与 115 之间」「2.2% 低于 70」也印在这一节
• Long-term stability of the Wechsler Intelligence Scale for Children—Fourth Edition — Watkins MW、Smith LG——《Psychological Assessment》2013 年第 25 卷第 2 期 477–483 页（344 名学生、平均间隔 2.84 年、全量表信度 .82、25% 的学生两次相差 10 分以上；doi 10.1037/a0031653）
• Long-term stability of Wechsler Intelligence Scale for Children—fifth edition scores in a clinical sample — Watkins MW 等——《Applied Neuropsychology: Child》2022 年第 11 卷第 3 期 422–428 页（225 名儿童、平均间隔 2.6 年；全量表分稳定，个体内指标不稳定；doi 10.1080/21622965.2021.1875827）