临界值计算器

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

显著性水平——边界画在哪个尾部面积上，它与上面那个下拉里的置信水平是同一个量的两种说法。两套词汇只差一次减法：置信水平 95% 就是 α = 0.05，99% 就是 α = 0.01。这个换算之所以重要，是因为页面必须知道那 5% 是落在单侧还是分给两侧，而只有写成 α 才看得出来

Φ⁻¹

标准正态累积函数的反函数——就是 z 表所依据的那条曲线，反过来读。表给的是「给定 z 求面积」，临界值要的是「给定面积求 z」，这正是它必须靠近似而不是靠四则运算得来的原因

df

自由度——t 分布与卡方分布的形状参数。同一个置信水平在不同自由度的页面上给出不同的答案，原因就在这里：95% 双侧的边界在自由度为 1 时是 12.7062，为 10 时是 2.2281，样本大到 t 与正态分不出来时才是 1.9600

df₁, df₂

F 分布的两个自由度——分子的与分母的。F 检验比较两个方差，或者一次比较若干组的均值，所以两个都要；面板上第二个自由度字段只有在这个模式下才会被读到。把两个填反是常见的笔误，而且会给出不同的答案

tails

边界落在分布的哪一侧。双侧把 α 一分为二、两头各放 α/2，所以 95% 双侧的 z 是 1.9600，而 95% 单侧的 z 是 1.6449——同样的把握、更低的一道杠，因为整个 5% 都压在了一侧。卡方与 F 根本没有双侧这种读法：这两个分布是偏的，下侧边界是一个完全独立的数，不是上侧那个取负

手上有一个置信水平或显著性水平、需要一个数与检验统计量作比较时用它——把手算做完、核对某个软件用的是什么、或者看看样本量一变这道杠会挪多远。它同时也是这一块最容易含混的地方的裁决者：1.96 与 1.645 不是同一个检验的两种惯例，而是 5% 水平下的双侧边界与单侧边界，用哪一个取决于假设是不是在看到数据之前就指明了方向。反过来读，页面也回答反方向的问题——报告里一个 2.3 的统计量，摆在 2.2281 旁边就是 5% 双侧显著，摆在自由度为 5 的 2.5706 旁边就不显著。页面不替你决定的是「你本该用哪个分布」。那是关于研究设计的问题：标准差是已知常数时用 z，是从同一批数据估出来时用 t，数频数与方差时用卡方，比较两个方差之比时用 F。下拉是用户自己的判断，下面几条常见问答解释了其中容易弄错的部分。

1. 默认情形：95% 双侧的 z 边界

   1. 置信水平 95% 就是 α = 0.05
   2. 双侧意味着每侧 0.025，所以上侧边界就是标准正态曲线下方留下 0.975 的那一点
   3. Φ⁻¹(0.975) = 1.9600
   4. 下侧边界是它的镜像 −1.9600，所以双侧检验拿 |z| 与这一个数比就够了

   这是统计学里被引用最多的一个数，也是最适合起步的位置——在相信页面上的任何东西之前，它先能和记忆对上。注意双侧这个读法对问题做了什么：它要的是上方只留 5% 里的一半的那个 z，而不是全部，这一半就是 1.9600 与 1.6449 之间的全部差别。两个自由度字段在屏幕上，这个模式下用不到——z 检验没有自由度，页面用「不读它们」而不是「把它们置灰」来说这件事。

2. 同样 95%，但标准差是从样本里估出来的

   1. 置信水平与尾数都没变，所以 α/2 还是 0.025
   2. 分布从正态换成自由度为 10 的 t 分布，它的尾部更重
   3. T⁻¹(0.975, 10) = 2.2281
   4. 同样这条边界在自由度为 5 时是 2.5706，为 50 时是 2.0086——随着样本变大一步步走向 1.9600

   1.9600 与 2.2281 之间的这道缝，就是「不知道总体标准差」的代价，也是两个分布必须分开、不能当成可互换的原因。它不是一个小修正：一个 2.1 的统计量过了 z 这道杠，却在自由度为 10 的 t 上过不去。这里引的三个 t 值——2.5706、2.2281、2.0086——是同一个计算在三个自由度上的结果，顺着读下来是看清「t 不是另一条规则，而是同一条规则外带一个会消退的惩罚」最直接的方式。

3. 卡方边界没有双侧版本

   1. 卡方是平方和，所以它不会取负，曲线向右偏
   2. 检验问的是观测到的偏离是不是太大，所以边界取上侧：曲线下方留下 0.95 的那一点
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0.05 给出 x = 7.8147
   4. 在这里选双侧会被直接拒绝，而不是被近似处理

   「要一个双侧卡方」是页面唯一拒答的输入，而这次拒答本身就是信息量最大的部分：在对称分布上，两条边界互为相反数，一个数就能管两头；在偏态分布上它们是两个不相干的值，自由度为 3 的卡方上侧 5% 分位点是 7.8147，下侧 5% 分位点是 0.3518。把其中任何一个当作「双侧临界值」印出来都是静默的错误，所以页面在这里停住。下侧边界按需可算，它是拟合优度检验在「波动过小」那一侧所用的那个。

4. 下侧边界不是上侧边界的相反数

   1. F 统计量是两个方差之比，所以和卡方一样不会取负，曲线也是偏的
   2. 自由度为 10 与 20 时的上侧 5% 边界是 2.3479
   3. 下侧 5% 边界是曲线下方留下 0.05 的那个值：0.3605
   4. 两者之间没有差一个负号的关系——它们是同一条偏态曲线上两个独立的点

   这一对正是页面在不对称分布上也要问「哪一侧」的原因。F 是一个比值，它的下侧尾部对应的是异常小的比值——当第二组反而更离散时，方差齐性检验看的就是这一头。恒等式 F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) 就是从前只印上侧的那种表上读下侧边界的办法，而那正是页面替你在做的算术。

页面给出一个边界就停下了。它不拿任何东西去和这个边界比，因为手上没有可比的东西——检验统计量来自页面看不见的数据。这个分界是有意的，也是页面要你指定分布、而不是自己推断的原因：只有知道了被度量的是哪个量，边界才有意义，而算术本身分不出 z 与 t。第二件它不做的事是替自由度把关。自由度为 1 的 t 给出 12.7062，这个答案完全正确，而落在一个五个人的研究上它也几乎没用——边界之所以宽，是因为对标准差的估计只靠一个自由度。输入流里没有任何东西能区分「有意做的极端测试」与「填错了」，所以两种情况下它都照算照印。最后，四个分布都假定观测之间相互独立，F 还额外假定底层总体是正态的；用一个正确的算法、从错误的分布上算出来的临界值，仍然是一道错误的杠。

临界值和 P 值有什么区别？

它们是同一件事从两头读。临界值从你选的显著性水平出发，给出边界；P 值从你观测到的统计量出发，给出它以外的尾部面积。正因为两者互为反函数，拿统计量与边界比、拿 P 值与 α 比，永远给出同一个判断——这也是软件报哪一个都行的原因。实际差别在于选择发生在什么时候：临界值在看到数据之前就定下了，同一个水平下每个研究都用同一个；而 P 值是这一份样本的性质，没法提前报出来。这一页是边界那一半，P 值那一页是另一半。

该用 1.96 还是 1.645？

这是关于单双侧的问题，不是关于惯例的问题。1.9600 是 5% 水平下的双侧边界，1.6449 是同一水平下的单侧边界——前者把 5% 分给两头，后者把它全压在上方。除非方向在收集数据之前就指定好了，否则用双侧那个值，因为单侧检验是用放弃「发现反方向差异」的能力换来一道更低的杠。上面的表把规律摆得很直接：每个 α 都有两种读法，而 α 那一列的单侧值就是 2α 那一列的双侧值。

我该选哪个分布？

取决于标准差是怎么来的、以及你在比较什么。标准差是已知常数而不是估出来的量时用 z，包括样本大到估计值足够稳定的情形。标准差与均值来自同一份样本时用 t——这是最常见的情况，也是 t 在实际中远比 z 常用的原因。数频数与方差时用卡方：拟合优度、列联表的独立性、方差的置信区间。统计量是两个方差之比、或者一次比较若干组的均值（方差分析）时用 F。页面没法从你填的数字里推断出这些，所以它是一个字段而不是一步自动判断。

为什么不能要双侧的卡方或 F 临界值？

因为这两个分布是偏的，两条尾部不是镜像。在正态或 t 曲线上，下侧边界恰好是上侧边界的相反数，一个数就能描述两头，「双侧」也才是一个定义明确的请求。卡方和 F 从 0 起、向右拖尾，上侧与下侧边界是两个不相干的值——自由度为 3 的卡方，上侧 5% 分位点是 7.8147，下侧 5% 分位点是 0.3518。把其中任何一个当作双侧的答案报出来都是一个悄悄错掉的数，所以页面拒绝这个组合，并问你指的是哪一侧。

为什么改自由度，临界值就变了？

因为自由度决定了 t、卡方与 F 分布的形态，而边界是这条形态上的一个位置。小样本给出更宽的 t：95% 双侧下，自由度为 1 时边界是 12.7062，为 10 时是 2.2281，为 50 时是 2.0086，随着自由度增大趋近 1.9600。这个收敛不是巧合——t 是正态除以一个估出来的散布所得到的，而样本一大，那个估计就不再额外增加不确定性。同一套机制也让卡方与 F 的边界随它们的自由度移动，这就是它们没法像正态那样被列成一张表的原因。

临界值和置信区间是一回事吗？

不是，但置信区间是拿它搭起来的。区间的宽度等于临界值乘一个标准误，所以边界是两个原料之一，数据的散布是另一个。这个分工正是这一页在完全没有数据的情况下也能作答的原因：边界只取决于置信水平与自由度，而区间还需要样本。它同时也解释了为什么两个置信水平相同的研究会有不同的区间——它们共享同一个临界值，差别全在标准误上。如果你要的是区间本身而不是那个乘数，有均值与散布作为输入的，是置信区间那一页。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；z 边界就是这条累积函数的反函数，也是平时查表看的那一张） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e（英文原版；在给定置信水平下怎么把曲线中部切出来，以及两个尾部面积加起来是多少） — OpenStax（莱斯大学）