置信区间计算器

均值: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n 比例: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

样本均值——你测出来的那个数，单位就是数据的单位。区间绕着它搭，它挪多少整个区间就挪多少

s

样本标准差，观测值在它们自己那个均值周围的散布。写小写 s 而不是 σ，是因为手上的只有样本；再除以样本量的平方根，它才变成标准误

n

样本里有多少个观测值，至少 2 个。它进算式两次：一次在标准误里，一次通过 t 分位数的自由度 n − 1

t(α/2, n − 1)

均值那一支的临界值：自由度为 n − 1 的 t 分布上，两侧各留 α/2 尾部面积的那个点。它总比正态临界值略大，小样本时大得多——那是 t 分布在为「s 是估出来的、不是已知的」这件事付代价

p̂

样本比例，按百分数填。整条比例算式都留在百分点上，所以上下界、误差范围与标准误跟你敲进去的那个数同一个量级

z(α/2)

比例那一支的临界值：95% 置信水平下是 1.9600，且在任何样本量下都是这个值，因为比例是按正态分布判的，不按 t。它在比例那一行里出现两次，一次在根号外，一次通过 p̂ 在根号里

手上有样本、要说清这个估计有多准时用它——几个测量值的均值，或者一次调查里的占比。它是老实报出一个数的办法：均值 50 来自 100 个观测和来自 5 个观测是两种不同的说法，而区间就是这个差别，因为样本量住在标准误的分母里。另外两个选择决定其余一切：量是长度、时长、分数这类测量值时走均值那一支，是「总共多少人里有多少人」时走比例那一支并按百分数填；置信水平 95% 是惯例，面板上给的三档能覆盖绝大多数公开数字。也要知道它不说什么：它不说真值在哪，也不说将来多少个观测会落进来——它是关于估计方法的一句话，不是关于数据的一句话。

1. 100 个测量值的均值

   1. 标准误：12 / √100 = 12 / 10 = 1.2
   2. 自由度 n − 1 = 99，95% 置信水平下查得临界值 1.9842
   3. 误差范围：1.9842 × 1.2 = 2.3811
   4. 上下界：50 − 2.3811 = 47.6189，50 + 2.3811 = 52.3811

   这一格最该注意的是临界值 1.9842，而不是大家熟悉的 1.96。那点差就是 t 分布为「散布也是从这 100 个观测里估出来的」收的费，样本越大它越小——到 n = 1000 时基本看不出来了。另外注意比例那个框里还留着 60，而它什么都没做：两组输入永远同时在屏幕上，用哪一组由最上面那个下拉框决定。

2. 1000 人调查里的比例

   1. 样本比例 50% 写成小数是 0.5，1 − p̂ 也是 0.5
   2. 标准误：√( 0.5 × 0.5 / 1000 ) = 0.015811，也就是 1.5811 个百分点
   3. 临界值：95% 置信水平下是 1.96，与样本量无关
   4. 误差范围：1.96 × 1.5811 = 3.099 个百分点，于是上下界是 46.901% 与 53.099%

   这一格里的每个数都是百分点，不是小数比例：标准误是 1.58 点而不是 0.0158。这是本页对比例的记法约定，也解释了为什么这里的标准误看着比第一格大——它量的是另一个东西，是占比而不是测量值。同一套算法就是「一千人左右的调查，误差在三个点上下」那句话的出处。

3. 同一批 100 个观测，改按 99% 置信水平报

   1. 标准误不变，仍是 12 / √100 = 1.2——样本本身什么都没变
   2. 只有临界值动了：2.6264 而不是 1.9842
   3. 误差范围：2.6264 × 1.2 = 3.1517
   4. 上下界：50 ± 3.1517，即 46.8483 到 53.1517

   与第一格并排看，置信水平买到的到底是什么就清楚了：同一批数据、同一个标准误，区间宽了 32%。提高置信水平并没有多知道什么——样本里的信息一点没变，变的只是对它下的那句话。所以 95% 是惯例，而报一个 99% 的区间却不说，是误导而不只是保守。

两条路都假定观测值之间互相独立。同一台仪器上连读 500 次，或者从 20 个班里抽 500 个学生，实际信息量都比算式以为的少，于是区间比它该有的窄。两条路也都假定估计量大致对称地落在真值附近：均值那一支依赖样本近似正态，或者 n 大到 t 分布不计较；比例那一支更脆——比例靠近 0% 或 100% 时，这个公式本身就不对，所以那两端的输入页面直接拒答，而不是照样给出一个自信而极窄的区间。有限总体这里不做校正：样本占了小总体很大一份时，样本量那一页会套用有限总体修正，并且会给出比这一页更少的人数。

置信区间到底是什么意思？

它是按一套在 95% 的样本里都能盖住真值的办法搭出来的区间，不是「这一个区间有 95% 的概率包含真值」。区别在于真值是固定的、未知的：它要么在你刚算出的这对上下界里，要么不在，这件事上挂不上概率；95% 说的是这个办法本身的可靠程度。实际读的时候大家用的是另一句话：靠近区间中间的值比靠近两端的更可信，落在区间外的值则与数据有些冲突——这正是通向 p 值那一页的桥。

为什么均值用 t、比例用 z？

因为算均值时你连散布也一起估，算比例时不用。均值的标准误是 s / √n，而 s 又是从同一份样本里算出来的，区间必须为这份额外的不确定性留出余量——这正是 t 分布在做的事，也是 n = 100 时它的临界值该是 1.9842 而不是 1.96 的原因。比例没有第二个估计量：估计量的散布由比例自己通过 p̂(1 − p̂) 决定，所以任何样本量下都按正态分布算。两组输入永远都显示在屏幕上，由最上面那个下拉框决定这次读哪一组。

误差范围和标准误有什么区别？

标准误是「一个单位的不确定性」，误差范围是区间往外伸了几个单位。误差范围等于标准误乘以临界值，所以 95% 置信水平、样本又大时它大约是标准误的两倍（1.96 倍），99% 时约是两倍半（2.5758 倍）。两行都印出来正是为了让这两步看得见：想要更窄的区间，该动的是标准误那一行，因为只有它会对「多收数据」有反应；临界值只在改置信水平时才动。

区间会跑到 0% 以下或 100% 以上吗？

会，而且页面照印不误，不会悄悄替你截断。50% 配 2 个样本时上下界是 −19.3% 与 119.3%，这不是 bug：两个观测对比例几乎不提供信息，一个如实说出这件事的区间，比一个硬掰回比例该有的范围的区间更诚实。读法就是「这份样本在这里估不出任何有用的东西」，去多收点数据。页面真正拒绝的是把比例填成正好 0% 或 100%，因为这两点上公式要除以一个宽度为零的散布，会返回一个宽度为零的区间——那是这个方法给不出的确定性。

临界值表在哪？

这一页没有，这是有意的。临界值表在这里的用途已经全部做完了：你选一个置信水平，那个水平对应的唯一一个值就印在单独一行里。而且任何表都得挑一个置信水平来造，于是切到 99% 的读者面对的就是一张与上面面板打架的表——页面自己和自己矛盾，比不给表糟得多。t 分布还多一层麻烦：它的临界值同时取决于自由度和置信水平，要列就得列一整张网格而不是一张表。专门查临界值的那个工具才是该去的地方。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；本页乘在标准误上的那些临界值的出处，以及它们留在两侧的尾部面积） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（英文原版；标准误赖以搭起来的标准差，以及「从样本估出来的散布本身也是一个估计量」这件事） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e（英文原版；把相对频数当作概率的估计，也就是样本比例能代表总体比例的那一步） — OpenStax（莱斯大学）