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CalcMax

P 值计算器

最小值：1

最小值：1

结果

4.9996%

P 值

P 值计算器把一个检验统计量换算成 P 值：在原假设成立的前提下，出现至少这么极端的值的概率。z、t、卡方与 F 四种统计量都支持，需要的只是统计量本身、它的自由度，以及单双侧的选择。四项里最容易弄错的是尾部：双侧检验两个方向都算，单侧检验只算事先说好的那一个方向。输出只有一个数，单位是百分数。这一页故意不替你下判断，因为显著性水平该由你带来——判成显著还是不显著，取决于你事先定的是 0.05 还是别的什么。

公式

上侧: p = P(T ≥ t) 下侧: p = P(T ≤ t) 双侧: p = 2 · min( 上侧, 下侧 ) ——仅适用于对称分布

t
你已经算出来的那个检验统计量——大样本的 z、小样本的 t、数分类计数的卡方，或者两个方差之比的 F。这一页不算它，只做换算
T
原假设成立时这个统计量会服从的分布。是哪一个由四选一的下拉框决定，而这个选择不是偏好问题：t 该用的地方用了正态分布，每一个 P 值都会偏小
df
自由度——它是统计量怎么算出来的的属性，不是数据的属性，t、卡方与 F 三个都要。F 要两个：分子自由度是参与比较的组数或项数，分母自由度来自残差的样本量
α
显著性水平，也就是 P 值将要拿去比的那个门槛。它不作为输入出现在这一页，因为它不属于计算过程：它属于你接下来要做的那个判断，而按 0.05 这个默认值印一句结论，等于替你选了这个门槛
p
尾部概率，按百分数而不是小数报出。P 值 0.05 显示成 5.0000，于是屏幕上这个数可以直接和一个引用的显著性水平相比，不必先挪小数点

手上有统计量、想要它对应的概率时用它——课本习题直接给了统计量，软件只印了统计量没印 P 值，或者你自己手算完想核对一下。最要紧的那个选择是单侧还是双侧，而这条规则在看到数据之前就该定下来：只要两个方向都算「偏离原假设」就用双侧，这是绝大多数情形；只有反方向的结论你完全不关心、而且事先说清楚了，才用单侧。第二个选择是分布。按统计量怎么造出来的去配，别按你希望拿到哪个 P 值去配：比例或已知方差的均值配 z，散布与均值来自同一份小样本的配 t，数分类计数的配卡方，比较两个方差的配 F。这一处配错，是把一次正确的算术变成一个没有意义的数字最常见的方式。

算例

  1. z = 1.96，那条经典的双侧门槛

    1. 上侧尾部：P(Z ≥ 1.96) = 0.025002，由标准正态分布算出
    2. 正态曲线对称，所以下侧尾部一样：P(Z ≤ −1.96) = 0.025002
    3. 双侧：2 × 0.025002 = 0.050004
    4. 换成百分数就是 5.0000%，正是大家挂在嘴边的那个 5%

    1.96 这个值被选中，恰恰是为了让它正好落在 5% 上；看到的是 4.9996 而不是齐整的 5.0000，不是算错了——真正的分位点是 1.959964，1.96 自己就是一个四舍五入。三个自由度字段这里全都填着数，而实际只读了统计量和尾部设置，因为 z 一个自由度都不要：用不上的那两个框永远在屏幕上，里面填什么都不会改变结果。

  2. t = 2.2281，自由度 10

    1. 自由度为 10 的 t 分布，尾部比正态曲线重
    2. 上侧尾部：P(T ≥ 2.2281) = 0.0250015
    3. 双侧：2 × 0.0250015 = 0.050003，也就是 5.0003%

    和上面那一格的 z 一比，t 分布存在的意义就看得见了：同样 5% 的尾部面积，门槛落在 2.2281 而不是 1.96，因为小样本得走得更远，证据才算同样罕见。那段差距正是样本量在管的事——自由度到 1000 时 t 的临界值是 1.962，两个分布实际上就是同一条曲线了。

  3. χ² = 20，自由度 3，只算上侧

    1. 卡方分布没有负的一半，所以这里只有上侧尾部可算
    2. 自由度为 3 时 P(χ² ≥ 20) = 0.00016975
    3. 换成百分数：0.017%

    这个统计量就是卡方那一页用观测频数 30、10、20、40 配均匀期望算出来的那一个，P 值小到 0.017%，说明这四个类别并不等可能。注意这里缺了什么、得另外去问：这一页说的是这个统计量有多罕见，而最小的期望频数是多少一个字都没提——而那才是判断卡方近似在这份数据上站不站得住的依据。

局限

P 值只回答一个很窄的问题，却经常被读成在回答另外几个它回答不了的问题。它不是原假设为真的概率，不是「这个结果出于偶然」的概率，也不衡量效应有多大——样本足够大时一个微不足道的差别会变得极显著，而在 12 个样本里一个重要差别可以停在 P = 0.20。它也只和统计量背后的模型一样可靠：这四种分布都假定观测独立，而从整群抽样或重复测量里算出来的统计量，独立观测数比它的算式以为的少，于是为它报出的每个 P 值都偏小。有两处守卫是硬挡的，不交给读者：卡方与 F 拒绝负的统计量，因为这两个分布只活在正半轴，出现负值说明统计量算错了；卡方与 F 也拒绝双侧，因为这两个分布不对称，它们没有公认的单一双侧口径。

常见问题

P 值是什么？
在原假设成立、统计量背后的模型也成立的前提下，拿到一个至少和你手上这个一样极端的检验统计量的概率。它描述的是数据，不是假设：P 值小，说的是如果什么都没发生，眼前这个结果会很罕见，这与「确实有事情发生」并不是一回事。从这一步走到结论，中间要过两道：一道是你事先定好的显著性水平，另一道是你对这个题目知道而数字里没有的一切。
该用单侧还是双侧？
用双侧，除非你在看到数据之前就定了单侧、并且说得出自己预测的是哪个方向。双侧检验把任一方向的结果都算作反对原假设的证据，这与大多数问题的提法相符：一种药让情况变糟，同样是一个发现。单侧检验本身是正当的，但它会把 P 值砍掉一半，而看完数据再挑尾部，是把一个不显著的结果凭空做成显著的最常见方式。拿不准就用双侧——它是保守的那个选择，也是审稿人期待看到的那个。
P 值该拿去和多大的显著性水平比？
和你收数据之前定下的那个比——按惯例是 0.05，但这个惯例是习惯而不是结论。它故意不作为输入出现在这一页，页面也不印结论，因为同一个 P 值 0.04 在一种场合是发现、在另一种场合是噪声：从一万个基因里筛信号，和检验一个已有十年研究支撑的假设，该用的门槛完全不同。真正值得保留的惯例是：水平事先选定、并与 P 值一起报出来，而不是等数字出现在屏幕上之后再调整。
为什么卡方和 F 不能选双侧？
因为这两个分布不对称，把它们做成双侧没有公认的做法。通常那个配方——把较小的尾部乘二——恰好在最要紧的地方失灵：χ² 正好等于 0 时，观测与期望完全吻合，这是可能最不显著的结果，配方却会返回 0% 的 P 值。一个完美拟合被报成最高显著，不是舍入瑕疵而是一个错误答案，而它会以完全正常的样子出现在屏幕上。对称分布的两个尾部没有歧义，把其中一个乘二就是精确的；非对称分布则单看上侧，而它回答的正是实际被问的那个问题：统计量大到这个样子，有多出人意料？
为什么页面拒绝负的卡方或 F 统计量？
因为这两个统计量都不可能是负数，出现负值说明这个数不是从它被归属的那个检验里来的。两个都由平方量搭成——卡方来自计数之间差值的平方，F 来自两个方差之比——平方量不会小于零。页面当然可以返回 100%，算术上也自洽，但那样它就等于收下了一个算错的输入，还把它包装成一个真实结果。这里的拒答不花任何代价，因为不存在一个正当的负卡方会被它挡在门外。
为什么这一页没有临界值表？
因为一张 P 值表只能按检验统计量来索引，而统计量可以是任何数，那样的表需要无穷多行。教材附录里的那些表是反着排的：几行写常见的显著性水平，几列写你可能要用的自由度——它能塞进一页，只是因为显著性水平既少又事先约定好了。这一页在你实际填进去的那个统计量上精确求值，而这是表做不到的那件事：表只能告诉你，你的统计量落在它恰好列出的那几个数的哪一边。本组页面里最近的一张表在临界值那一页，那里行是显著性水平、列给出对应的 z。两页是同一个事实的两头读法，所以各自的相关工具里第一个都指向对方。

参考资料

相关计算器

临界值计算器算 z、t、卡方与 F 检验的临界值。t 检验计算器计算单样本或双样本的 t 统计量与 p 值。卡方计算器按观测频数算卡方统计量与 P 值。Z 分数计算器按数值、均值与标准差算 Z 分数。