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CalcMax

中心极限定理计算器

最小值：0

最小值：1

结果

2.5000

标准误

样本均值的均值
100.0000
样本均值的方差
6.2500

中心极限定理计算器描述样本均值的抽样分布：它落在哪里、有多宽，以及这两者如何随样本量变化。中心在哪一半最出人意料——任何样本量下，所有样本均值的均值都等于总体均值，所以多收数据并不会把它挪动。变的是宽度：标准误等于总体标准差除以 √n，样本量翻四倍标准误才减半，而方差会掉到四分之一。定理本身说的那件事——样本量变大时形状趋近正态——讲的是形状而不是宽度，这一页的算术展示不出来。

样本变大时标准误如何下降

样本量 n√n标准误 ÷ σ
111
420.5
1640.25
2550.2
100100.1
400200.05
2500500.02
100001000.01

第三列是 σ 要乘的那个系数——总体标准差 15、样本量 100 时，标准误是 0.1 × 15 = 1.5。表里没有任何一处依赖你填的均值或标准差，所以它不可能与上面的面板矛盾：它就是 1/√n 这个函数，而面板只是在某一点上取了它的值。顺着往下读，平方根定律会呈现为一个规律而不是一句断言——样本量每翻四倍，标准误就减半，八行是按四倍一档挑的，好让这个规律重复出现而不是渐渐漂移。样本量取的也是开方之后是整数的那些，所以每一行都能手算核对。

公式

E[X̄] = μ Var(X̄) = σ² / n SE = σ / √n

μ
总体均值——样本所来自的那个分布的中心。它原封不动地变成抽样分布的均值，也就是三个结果里的第一个，而且是任何样本量下都成立的那一个
σ
总体标准差。它的单位就是数据的单位，标准误的单位也是，所以 σ 与 SE 可以直接比——标准误 2.5 摆在 σ = 15 旁边，说的是样本量的事，不是数据的事
n
一份样本里有多少个观测值——每次抽取的规模，不是抽取的次数。它一次出现在 √n 上、一次出现在 n 上，这个差别就是全部的实际信息：方差按 n 成比例下降，标准误只按它的平方根下降
X̄
样本均值，这里把它当成一个随机量而不是一个数。一次抽样给出一个 X̄；把抽样重复下去就得到 X̄ 的分布，三个输出描述的是那个分布，不是任何一份具体的样本
SE
标准误——样本均值的标准差，也是本页的主结果。置信区间是拿它搭的，检验统计量是拿它除的，所以它才是那个值得读的数，而不是它的平方（方差）

需要知道一个样本均值在不同样本之间会有多大起伏时用它——设计研究之前、读到报告里的一个标准误想知道它怎么来的、或者想核对一下自己对样本量的直觉。它通常要纠正的那条直觉是「样本大一倍，估计就准一倍」：并不是，因为标准误按平方根下降。从 100 个观测加到 400 个，估计的散布减半；再要减半，得花 1600 个。最上面那两个结论对任何形状的总体都成立，所以可以在对分布一无所知的时候先用。这一页给不出的是「某个 n 够不够大到让样本均值近似正态」——那取决于原分布有多偏，它是一个判断，不是一次计算。

算例

  1. 默认情形：均值 100、标准差 15 的总体，每次抽 36 个

    1. 样本均值的方差：σ² / n = 225 / 36 = 6.25
    2. 标准误：√6.25 = 2.5
    3. 样本均值的均值：100，等于总体均值，没有变
    4. 与 σ = 15 比一比：每次抽 36 个把散布缩小到 1/6，而 6 正是 √36

    15 和 36 都是挑过的，好让算术能心算出来——225 除以 36 是 6.25，开方得到齐整的 2.5。第三行值得多看一眼，恰恰因为它看起来什么都没发生：所有样本均值的均值就是总体均值，任何样本量下都是，而且这是关于期望的一个事实，不是近似。看到 100 = 100 就是这一行的意义，所以哪怕它只是把输入念了回来也要印。

  2. 同一个总体，改成每次抽 9 个而不是 36 个

    1. 样本缩小到四分之一，方差因此变成四倍：225 / 9 = 25
    2. 标准误：√25 = 5
    3. 均值仍然是 100——缩小样本动的是散布，别的什么都没动
    4. 与第一格相比：n 掉到四分之一，标准误只翻了一倍

    这一对把平方根定律摆成了看得见的东西：样本除以四，标准误只翻倍，因为按 n 成比例缩放的是方差。反过来读，它就是「精度很贵」的原因——四倍的样本买到两倍的改善，而再要两倍的改善，得花上最初样本的十六倍。每一个样本量的决定都是这笔交易，下面的参考表把这个规律铺到更宽的 n 范围上。

  3. 每次只抽一个观测，散布一点没动

    1. n = 1 时样本均值就是那一个观测值，抽样分布因此就是总体本身
    2. 方差：225 / 1 = 225，也就是 σ²
    3. 标准误：√225 = 15，也就是 σ
    4. 样本均值的均值仍然是 100

    n = 1 这个端点值得看一眼，因为整件事是从这里锚住的：样本量为 1 就是从总体里抽一个，什么都没有被平均掉，于是标准误就是总体标准差本身。其他任何样本量都是这个起点除以 √n。页面接受 n = 1 而不要求至少两个，因为它是一个正当而且有启发的输入——抽样分布只是还没有被样本收窄而已。

局限

公式最上面那两条恒等式对任何总体、任何 n 都成立，但它们描述的只是抽样分布的前两个矩。定理的第三个主张——近似正态——才是绝大多数实际用途所依赖的，而它恰恰是这一页核不了的那一半，因为 n 要多大取决于原分布有多偏：对大致对称的总体，10 常常就够了；对长尾分布，可能要几百个观测样本均值才稳下来。大家反复引用的那个 30，请当成经验法则而不是结论。公式还假定观测之间相互独立，从小总体里不放回地抽样就违反这一条——样本量那一页会套用这个修正，并且给出比这一页更少的人数。这里没有任何东西是从数据估出来的：两个输入都是总体值，如果你手上只有样本标准差，那该去的是置信区间那一页，它知道这两者的区别。

常见问题

标准差和标准误有什么区别？
标准差描述的是单个观测值离均值有多远；标准误描述的是一个样本均值离总体均值有多远。后者是前者除以 √n，这个除法就是两者差别的全部内容：σ = 15 的总体，你抽 9 个还是抽 900 个，它都同样地散；但 900 个观测的均值落到真值附近的距离只有 100 个观测的三分之一。所以 σ 用的是数据自己的单位，而标准误会随研究规模缩小——这也是为什么进置信区间或进检验统计量的是标准误。
样本取得更大，样本均值的均值会变吗？
不会，而这正是大家最难相信的那条结论。抽样分布的均值在任何样本量下都等于总体均值，从 n = 1 起就是如此，因为取平均不会把估计往任何一个方向推——它只是让估计变得不那么起伏。样本均值的分布是绕着同一个中心变窄、变高。样本量买到的是精度，从来不是准度：它缩小估计的散布，却不移动估计的中心。对照之下，有偏差的抽样方法移动的是中心，而且多少样本量都拉不回来——这就是为什么这两种失败方式值得分开来看。
样本要多大，中心极限定理才适用？
取决于总体的形状，而且没有一个对所有分布都管用的门槛。对称的总体在 n = 10 时就已经表现良好，而偏得很厉害的总体可能要几百个观测，样本均值才接近正态。大家熟悉的那个 30 来自对轻度偏态数据的模拟研究，是一个合理的默认值，不是定理。这一页在任何形状假设都不加的情况下能给你的，是中心和宽度——均值和标准误在任何 n 下都是精确的。只有正态近似需要大样本，也只有建立在它之上的置信区间和 P 值继承这个要求。
为什么样本均值的方差比数据的方差小那么多？
因为取平均会抵消掉各个观测独立的误差，而这个抵消按样本量成比例进行——而大家平时拿来比的标准误，只按样本量的平方根成比例。σ = 15、n = 36 时，方差从 225 掉到 6.25，是 36 倍；标准差从 15 掉到 2.5，只有 6 倍。两行都印出来正是为了这件事。定理通常是用方差陈述的，而实际被使用的形式是标准误，两个倍数之间的差距就是那个平方根。
这一页和标准误计算器是同一个东西吗？
它们从不同的输入算出同一个量，要哪一个取决于你手上有什么。这一页收的是总体标准差与样本量——任何数据收集之前就存在的两个值——是规划研究、或者核对「n 如何驱动精度」这类直觉时该用的工具。标准误计算器收的是样本本身，从样本里算出标准差，那是数据到手之后、总体值未知时该用的。两者的差别正好是中间那一步估计，而到了置信区间那一页，这步差别才有后果。

参考资料

相关计算器

标准误计算器根据样本或比例计算均值的标准误。样本量计算器算达到指定误差范围所需的样本量。置信区间计算器算均值的置信区间，或比例的置信区间。标准差计算器算样本与总体标准差、方差与均值。