反对数计算器

x ＝ b^y （b 是底数，y 是对数，x 是真数）

y

对数，你手上那个指数。−1000 到 1000 之间的任何值都收，而负数不是特殊情况：底数 10 的 −2 次方是 0.01，一个小于 1 的答案，那正是负对数该有的意思。小数指数也收，结果通常是一个无理数

b

底数，被乘方的那个数。它必须为正，而且不能是 1。底数 1 在这里失败得比在对数那一页更糟：反过来算的时候，1 的任何次方都安静地返回 1，没有这个守卫的计算器会对每一个输入的对数都印出真数 1。小于 1 的底数照收，它描述的是衰减而不是增长

b^y

幂本身，也就是这一页执行的那一步运算。页面做的事就是一次乘方，外加两道判断结果能不能印出来的溢出检查。把底数提到指数那么多次方，等同于把底数沿着一条幂的数轴往上推，所以指数上一个不大的变化会让答案变化很多

x

真数，原来那个对数所取自的数，也是这一页唯一的输出。它恒为正，因为正数的任何次方都是正的——所以与对数那一页不同，这里没有零或负数要拒收。输入的对数正好是 0 时真数是 1，任何底数下都如此，因为任何数的零次方都是 1

凡是从对数值回到原数的时候都是这一页：查反对数表、把回归或标度变换之后的结果还原回原来的量、以及解那些以指数形式给出答案的方程。它也收底数小于 1 的情形，所以衰减模型里反解出来的真数同样算得出来。正方向的问题——已知真数求对数——用对数计算器，两页的底数是同一个框，答案互为逆运算。只想算一个幂、对数的来历不是重点时改用幂运算计算器，那一页能算任意指数的幂并且把乘方展开写出来；而增长模型里反解期数的情况可以接着看指数增长计算器。

1. 3 的常用反对数

   1. 把底数提到对数那么多次方：10 的三次方
   2. 10 × 10 × 10 ＝ 1000
   3. 真数是精确的 1000
   4. 与对数那一页对账：1000 的常用对数是 3

   两页的互逆关系在这里最好看。对数计算器收 1000 给出 3，这一页收 3 给出 1000，两个答案都不是近似值，而核对只是往任一方向做一次乘方。题目递给你的是两个数里的哪一个，都能到达另一个。

2. 负对数的反对数

   1. 负指数意味着取对应正次方的倒数
   2. 10 的 2 次方是 100，所以 10 的 −2 次方是 1 ÷ 100
   3. 真数是 0.01
   4. 真数小于 1 永远意味着那个对数是负的

   反对数被问到的事情里的一半，也是手算最容易做错的那一半。任何负对数都给出介于 0 与 1 之间的真数——不会是零、也不会是负数，因为正底数的任何次方都到不了那两个地方。真数正好等于 1 的那条线，对应对数等于零。

3. 小数对数的反对数

   1. 把指数拆开：10 的 2.5 次方是 10 的平方乘以 10 的平方根
   2. 10 的平方是 100，10 的平方根约等于 3.162278
   3. 100 × 3.162278 ＝ 316.227766
   4. 精确值是无理数，所以答案舍入到六位小数

   这一格把「对数表」与「对数」区分开：2.5 不是整数，所以反对数也不是整数。精确地写它是 100√10，一个无理数，多少位小数都写不完。印出来的六位是显示的界限，不是那个值本身。

底数必须为正且不能是 1，理由见上：朝这个方向算时，底数 1 会对每个输入都安静地返回 1，那是这一页最需要避免的失败方式。对数被限制在正负一千之间。超出这个范围，真数会超过双精度算术能表示的量级——大约 1e308——所以页面拒收而不是印一个 Infinity。同一条限制的另一头更要紧：底数 1e−15 的 100 次方在浮点里下溢成零，而零看起来是一个完全正常的答案，尽管没有任何对数以零为真数。那次下溢同样被拒收。结果舍入到六位小数显示。小于 1 的底数照收并给出小于 1 的真数，那是衰减的情形而不是错误。负底数一律拒收：负底数的整数次方是实数，但负底数的小数次方不是，而这一页收小数指数，所以两种都不收。

什么是反对数？

它就是某个对数原来所取自的那个数。1000 的常用对数是 3，所以 3 的常用反对数是 1000。写成公式，y 在底数 b 下的反对数是 b 的 y 次方。这个名字来自印刷的对数表：读者朝一个方向查对数，朝另一个方向查它的反对数。

反对数与「对数的逆运算」是一回事吗？

是一回事，而「对数的逆运算」这个说法更说明问题：两个运算互相抵消，所以先取对数再取它的逆运算，会回到一开始那个数。实际使用中，常用对数的逆运算写成 10 的 x 次方，自然对数的逆运算写成 e 的 x 次方。这一页对任意底数都算这个逆运算，不只那两个有名字的。

对数是负数时会怎样？

真数落在 0 与 1 之间。负指数意味着取对应正次方的倒数，所以 −2 的常用反对数是 1 ÷ 100，也就是 0.01。这不是需要单独处理的边界情形——它就是指数的普通行为，也是反对数唯一能给出很小的答案的途径。

底数为什么不能是 1？

因为 1 的任何次方都是 1，方程对这个真数就无解。这个失败朝这个方向算比在对数那一页更糟：计算「1 的 y 次方」根本不会报错，它安静地返回 1，于是页面会对每一个输入的对数都印出真数 1。那道守卫就是用来拦住这件事的。

很小的底数为什么会被拒收？

因为算术下溢了。底数 1e−15 的 100 次方远低于双精度算术能表示的最小正数，算出来的结果是零——而零看起来是一个完全合理的答案，事实上却没有任何对数以零为真数。页面拒收这个输入，而不是印一个看起来正常的错数。

真数可能是负数吗？

不可能。正数的任何次方都是正的，所以任何对数的真数都是正的，它的反对数也一定是。页面靠构造而不是靠检查输出来保证这件事——那些会破坏它的输入，也就是非正的底数或等于 1 的底数，在乘方发生之前就已经被拒收了。

• Antilogarithm — 对数的逆运算，来自反对数还要查印刷表的那个年代 — Wolfram MathWorld（美国）
• Exponentiation — 这一页那一步运算背后的运算，包括负指数与小数指数的行为 — Wolfram MathWorld（美国）
• Inverse Function — 对数与反对数这一对所属的一般概念，以及为什么两个方向都只有一步 — Wolfram MathWorld（美国）