Калькулятор теплового расширения

ΔL = α · L · ΔT и, для изотропного твёрдого тела, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

Коэффициент линейного теплового расширения, в миллионных долях на градус — константа материала, которую измеряют, наблюдая за удлинением бруска при известном изменении температуры. Это малое число, произнесённое вслух: 23,1×10⁻⁶ у алюминия означают, что метр алюминия прибавляет 23,1 микрометра на кельвин, и поэтому в повседневной жизни ничто не выглядит расширяющимся. У обычных материалов коэффициенты расходятся более чем в тридцать раз: от примерно 1,5×10⁻⁶ у инвара — сплава, специально сделанного нечувствительным к этому эффекту и шедшего на стержни маятников и точные приборы, которым это было нужно, — до 55×10⁻⁶ и выше у ПВХ и других пластиков. Поэтому выбрать правильную строку и есть почти вся работа; вся арифметика после этого — одно умножение

L

Длина при начальной температуре, в миллиметрах, если выбрана эта единица. Это исходная длина, а не конечная и не средняя — различие, которое всплывает, как только вы попробуете идти в обратную сторону: от измеренной конечной длины к коэффициенту, и именно там немалое число ручных расчётов тихо ошибается. Базовой единицей здесь взят миллиметр, потому что он держит ответ читаемым: метр алюминия, нагретый на 40 K, удлиняется на 0,924 мм, и печатать это как 0,000924 м не помогает никому. Ноль — допустимый ввод: брусок нулевой длины не расширяется. А отрицательный — нет, поэтому нижняя граница поля замкнута нулём, и проверка внутри отвергает всё, что ниже

ΔT

Изменение температуры в кельвинах (или в градусах Цельсия — это одно и то же по размеру, и здесь это изменение, а не температура, так что годится любое). Отрицательные значения нормальны и означают охлаждение: сталь, остывшая на 40 K, сжимается, и расширение выходит отрицательным — ровно так, как и должно говорить это вычисление. Пределы ±500 K покрывают диапазон от жидкого азота до печи и оставляют поле широко открытым для читателя, работающего в десятках градусов, где и живёт почти вся практика

ΔL

Изменение длины в миллиметрах, печатается рядом с новой длиной, чтобы сразу были видны и величина, и результат её прибавления. В абсолютных числах оно мало, и в этом вся ловушка: 0,9 мм звучит ничтожно, пока бруску некуда деваться. Закреплённый с обоих концов брусок не может просто не расширяться — расширение превращается в напряжение, а поскольку модуль упругости велик, сила получается совсем не малой. Именно поэтому рельсы укладывают с зазорами, а у длинного моста на одном конце деформационный шов, а не сплошное полотно. Эта страница даёт изменение длины при свободном расширении; напряжение, возникающее, когда расширению не дают хода, — второй расчёт, и настоящий ущерб живёт именно там

3 · α · ΔT

Объёмная часть, показанная как деформация в процентах, а не как объём, потому что это то, что то же измерение даёт вам бесплатно: каждое из трёх измерений растёт на α · ΔT, поэтому объём сплошного куба растёт примерно на 3 · α · ΔT. С множителем три приходят две оговорки. Он верен для изотропных материалов — металлов, стёкол и пластиков, рассматриваемых как однородные, — но не для дерева, которое расширяется вдоль волокон иначе, чем поперёк, не для слоистых композитов и не для монокристаллов. И это приближение малых деформаций: точный множитель равен (1 + α·ΔT)³ − 1, что при таких величинах совпадает с 3αΔT во многих знаках, а при изменении температуры, достаточно большом, чтобы это стало важно, — уже нет

Пользуйтесь этим до того, как жёстко закрепить оба конца чего-нибудь: при укладке рельса, при подвеске трубопровода между опорами, при остеклении впритык, при креплении алюминиевой детали к стальной и при выборе зазора в мостовом полотне. И для бытовой версии того же вопроса — металлическая крышка, которая снимается после горячей воды, или банка, которая не открывается, пока её не прогреют: механизм в том, что крышка расширяется первой, потому что у неё больше коэффициент или меньше масса. Страница отвечает на вопрос о свободном, ничем не стеснённом расширении. Если деталь закреплена с двух концов, она сообщит вам длину, которой деталь хотела бы стать, а куда более полезное число — возникшее вместо этого напряжение — берётся из модуля упругости материала, а не отсюда.

1. Первый экран: метр алюминия, на 40 K теплее

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1000 мм · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1000 = 0,0231 мм на кельвин
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 мм
   4. Новая длина: 1000 + 0,924 = 1000,924 мм
   5. Объёмная деформация: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772 %

   Чуть меньше миллиметра на метре — для изменения температуры, которое может дать солнечный день; поэтому страница и существует, и поэтому ответ печатается с тремя знаками после запятой. Строка деформации — тот же результат с другой стороны: 0,28 % объёма мало, но это не ноль, и деталь, зажатая во всех трёх направлениях, поглотить это не может. Обратите внимание, что панель печатает и сам коэффициент: эта строка — выбранный вами материал, и она там для того, чтобы вы проверили список, прежде чем доверять остальному.

2. Классический случай: стальной рельс 25 м, 60 K солнечного нагрева

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25 000 мм · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25 000 = 0,3 мм на кельвин
   3. 0,3 · 60 = 18 мм
   4. Новая длина: 25 000 + 18 = 25 018 мм

   Восемнадцать миллиметров на одной рельсовой плети — от зимней ночи до летнего дня. Это то число, которое определяет, каким должен быть зазор, и поэтому пути укладывают с зазорами, а не одной непрерывной сварной лентой; и поэтому современный бесстыковой путь растягивают и закрепляют под контролируемым натяжением, чтобы те же 18 мм стали умеренным напряжением, размазанным по всей плети, а не 18 мм выброса на одном стыке. Выбор здесь не в том, расширяется ли сталь, — она расширяется всегда.

3. Охлаждение и отрицательный ответ: нержавеющая сталь, на 40 K холоднее

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 мм · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 мм на кельвин
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 мм
   4. Новая длина: 500 − 0,346 = 499,654 мм

   Не меняется ничего, кроме знака изменения температуры, и калькулятор сообщает о сжатии как об отрицательном расширении и о более короткой конечной длине. Это честная договорённость, и её же стоит держать при сборке: втулка из нержавеющей стали, охлаждённая в жидком азоте, надевается на вал, на который при комнатной температуре она бы не села, и её новая длина — те самые 499,654 мм, а не 500 мм, под которые её точили. Печатаются обе строки, потому что важны обе: величина усадки — для посадки, конечная длина — для сборочного чертежа.

4. Край таблицы: чугун, 100 м, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100 000 мм · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100 000 = 1,08 мм на кельвин
   3. 1,08 · 500 = 540 мм
   4. Новая длина: 100 000 + 540 = 100 540 мм
   5. Объёмная деформация: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62 %

   Полметра на ста метрах — при переходе от комнатной температуры к печи. Малый коэффициент чугуна и сделал его материалом блоков двигателей и станин станков: из обычных металлов он ходит меньше всех. Пример здесь для того, чтобы показать масштаб, на котором эффект перестаёт быть пренебрежимым: 540 мм — это не допуск, это конструктивная особенность. Он же объясняет, почему пределы у поля такие широкие: страница должна выдержать читателя, у которого действительно сто метров трубопровода идут из холода в жар, и она лучше ответит ему, чем откажет.

Строка объёмной деформации предполагает, что материал расширяется одинаково во всех направлениях, — это верно для металлов и стёкол и неверно для дерева, монокристаллов и слоистых композитов: там каждой оси нужен свой коэффициент, и множитель три не значит ничего. Сами коэффициенты приведены при опорной температуре около 20 °C, а α медленно растёт с температурой, поэтому ответ для размаха в 500 K — это экстраполяция от комнатного измерения, а не измерение при той температуре. Опубликованные значения к тому же расходятся: алюминий в одном из источников ниже — 23×10⁻⁶, в другом — 25×10⁻⁶, разница в несколько процентов, так что третий знак любого ответа считайте украшением, а первый — настоящей информацией. Эта страница даёт изменение длины при свободном расширении и ничего не говорит о том, что происходит, когда деталь закреплена с двух концов: то же расширение, которому не дали хода, становится напряжением порядка E·α·ΔT, а для стали на 60 K это заметно больше ста мегапаскалей — достаточно, чтобы выбросить рельс или разорвать сварной шов, и ничего этого в числах выше нет. Ничего она не говорит и о времени: толстая отливка нагревается неравномерно, поэтому расширение приходит градиентом и короблением, а не равномерным изменением длины. И она предполагает, что изменение происходит ниже точки размягчения материала, — пластик вблизи температуры стеклования или что угодно вблизи плавления уже вне того, что способен описать один коэффициент.

Какова формула теплового расширения?

Линейное расширение описывается формулой ΔL = α · L · ΔT: изменение длины равно коэффициенту линейного расширения материала, умноженному на исходную длину и на изменение температуры. Для твёрдого тела, которое расширяется одинаково во всех направлениях, объём в относительных величинах растёт втрое сильнее, поэтому объёмная деформация равна 3 · α · ΔT — то же соотношение, а множитель берётся из трёхмерности, а не из какой-то дополнительной физики. На странице показаны оба, и второе сообщается как деформация в процентах, а не как объём, потому что именно в таком виде его даёт коэффициент.

Насколько сталь расширяется на градус?

Примерно на 12×10⁻⁶ на кельвин, то есть метр стали прибавляет 0,012 мм на градус — двенадцать микрометров, около восьмой части толщины листа бумаги. За те 60 K, что отделяют зимнюю ночь от летнего дня, рельс длиной 25 м вырастает на 18 мм, — поэтому зазоры и существуют, и поэтому бесстыковой путь приходится натягивать и закреплять, а не просто укладывать. Алюминий отзывается примерно вдвое сильнее — 23×10⁻⁶, — а ПВХ более чем вчетверо сильнее стали: 55×10⁻⁶, и поэтому пластиковые трубопроводы требуют больше опор и более щедрых компенсаторов, чем металлические той же протяжённости.

Почему изменение объёма втрое больше изменения длины?

Потому что тепловое расширение идёт сразу в трёх направлениях, а объёмное расширение — это три линейных сразу. Каждое измерение прибавляет долю α·ΔT, поэтому объём куба растёт на (1 + α·ΔT)³ − 1, что при таких малых числах совпадает с 3·α·ΔT во много больше знаков, чем кому-либо нужно. Но множитель три — следствие изотропии: он предполагает, что материал расширяется одинаково вдоль каждой оси. Дерево — нет (поперёк волокон оно ходит куда сильнее, чем вдоль), как и монокристаллы, как и слоистые композиты, поэтому для них строка объёмной деформации на этой странице не приближение правильного ответа, а ответ на другой вопрос.

Длину вводить исходную или конечную?

Исходную — ту, что была при начальной температуре, до всякого нагрева. Это важнее, чем кажется: обратный переход от измеренной конечной длины к коэффициенту означает деление на исходную длину, и подстановка конечной даёт относительную ошибку порядка α·ΔT, что для стали пренебрежимо, а для пластика при большом изменении температуры — уже нет. Страница печатает и изменение, и новую длину, чтобы было видно, что есть что, и изменение всегда считается от того, что вы ввели.

При чём тут деформационные швы?

Это то, что строят, когда свободно расширяться не дают. Деталь, закреплённая с двух концов, не остаётся той длины, какой хотела бы быть: расширению сопротивляются, и оно превращается в напряжение порядка модуля упругости материала, умноженного на α·ΔT, — для стали на 60 K это заметно больше ста мегапаскалей, чего достаточно, чтобы выбросить рельс, выгнуть трубопровод или разорвать сварной шов. Деформационные швы, компенсаторы, продолговатые отверстия под болты и скользящие опоры — всё это способы дать материалу куда уйти, и существуют они потому, что за расчёт с этой страницы приходится платить тем или иным способом.

Почему разные таблицы дают разные коэффициенты?

Потому что коэффициент не вполне постоянен и не вполне согласован. α меняется с температурой, поэтому значение, приведённое при 20 °C, и значение, усреднённое по 0–100 °C, — разные числа для одного материала, а разные справочники публикуют разные сплавы под одним названием: алюминий в одном из источников ниже — 23×10⁻⁶, в другом — 25×10⁻⁶, а «нержавеющая сталь» покрывает семейство, коэффициенты которого идут примерно от 10 до 18×10⁻⁶. Для большинства задач расхождение составляет несколько процентов и решения не меняет. Когда оно важно — точные приборы, длинные участки, плотные посадки, — это повод измерить свою партию, а не искать другую таблицу.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox